2.1.2 基本不等式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 2.1.2　基本不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握基本不等式≥(a，b≥0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式解决最值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设． 核心素养：1.通过基本不等式的证明培养逻辑推理素养.2.借助基本不等式解决最值问题提升数学运算素养． 知识点一　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意正数a，b，≥，当且仅当a＝b时等号成立． 把不等式≥(a>0，b>0)称为基本不等式． 知识点二　算术平均数与几何平均数 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数． 1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤≤(a，b∈R)； (2)≤≤(a，b均为正实数)； (3)＋≥2(a，b同号)； (4)(a＋b)≥4(a，b同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．基本不等式的推广 一般地，若a1，a2，a3，…，an是正实数，则有 ≥，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时取等号． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2.(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤.(　　) (4)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.(　　) (5)当x>1时，x＋≥2，所以x＋的最小值是2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)设x，y均为正数，且x＋4y＝4，则xy的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．16 (2)＋≥2成立的条件是________． (3)若x<1，则x＋的最大值为________． (4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________． 答案：(1)A　(2)a与b同号　(3)－1　(4)2 　对基本不等式的理解 　给出下面三个推导过程： ①因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2＝4是错误的； ③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均为正数，符合基本不等式成立的条件，故③推导过程正确． [答案]　D 【感悟提升】　基本不等式≥(a>0，b>0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 【跟踪训练】 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若x，y∈R，则＝|x|＋≥2. 答案：② 解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x>1，所以x＋>2；③中当x，y异号时，不成立． 　利用基本不等式进行大小比较 　已知a>0，b>0，且a≠b，则，，，中最小的是________． [解析]　解法一：∵＝≤＝≤，又a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≥，∴≤　.综上所述，≤≤≤　.∵a≠b，∴等号不成立，∴最小． 解法二：(特殊值法)令a＝4，b＝2，则＝3，＝2，＝，＝，∴最小． [答案]　 【感悟提升】　利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【跟踪训练】 2．已知正数0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是________． 答案：a＋b 解析：因为0<a<1，0<b<1，a≠b，所以a2＋b2>2ab，a＋b>2.所以最大的只能是a2＋b2与a＋b其中之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1，0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，因此a2＋b2<a＋b.所以a＋b最大． 　“拼凑法”求最值 　(1)若x<0，求＋3x的最大值． [解]　因为x<0， 所以＋3x＝－ ≤－2 ＝－12， 当且仅当－＝－3x， 即x＝－2时等号成立， 所以＋3x的最大值为－12. (2)若x>2，求＋x的最小值． [解]　因为x>2，所以x－2>0，＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以＋x的最小值为4. (3)已知0<x<，求x(1－2x)的最大值． [解]　因为0<x<， 所以1－2x>0，x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立， 所以x(1－2x)的最大值为. 【感悟提升】　“拼凑法”求最值的方法步骤 拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 【跟踪训练】 3．(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________． 答案： 解析：因为0<x<1，所以3－3x>0，所以x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号． (2)已知x<，则4x－2＋的最大值为________． 答案：1 解析：因为x<，所以4x－5<0，则5－4x>0，所以4x－2＋＝4x－5＋＋3.因为5－4x＋≥2＝2，所以4x－5＋≤－2.所以4x－5＋＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，4x－2＋取最大值1. 　“常数代换法”求最值 　已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值． [解]　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，x＋2y取最小值18. 【感悟提升】　“常数代换法”求最值的方法步骤 “常数代换法”适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 【跟踪训练】 4．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求＋的最小值． 解：解法一：＋＝·1 ＝(a＋2b)＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴＋的最小值为3＋2. 解法二：＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当即时，等号成立， ∴＋的最小值为3＋2. 1．若a，b为正实数，且a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A. B．1 C．2 D．2 答案：B 解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝2≥2，所以ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故选B. 2．若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t＝(　　) A．1＋ B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立． 3．若x，y为正实数，且x＋y＝4，则＋的最小值为________． 答案：1＋ 解析：因为x，y为正实数，所以(x＋y)＝4＋≥4＋2，当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．又x＋y＝4，所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋. 4．已知a>b>c，则与的大小关系是________． 答案：≤ 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴≤＝. 5．已知x>0，y>0，且x＋2y－2xy＝0，求2x＋y的最小值． 解：因为x>0，y>0，x＋2y－2xy＝0，所以＋＝1， 则2x＋y＝(2x＋y)＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立， 所以2x＋y的最小值为. 一、选择题 1．下列命题中正确的是(　　) A．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64 B．若a≠0，则a＋≥2＝4 C．若a，b∈R，则ab≥ D．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立 答案：A 解析：对于A，ab≤＝64，当且仅当a＝b＝8时等号成立，A正确；对于B，当a<0时，a＋<0，B错误；对于C，当a>0，b<0时，ab<0，≥0，C错误；对于D，当a<0，b<0时，a＋b<0，a＋b≥2不成立，D错误．故选A. 2．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 答案：C 解析：∵x>0，∴3－3x－＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．故选C. 3．若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 答案：C 解析：因为0<x<，所以1－4x2>0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C. 4．已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：解法一：∵x＋y＞2，∴＜，排除D；∵＝＝＞＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，∴＞，排除A，故选C. 解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小，故选C. 5．(多选)下列条件能使＋≥2成立的是(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 答案：ACD 解析：当，均为正数时，＋≥2，故只需满足a，b同号即可．故选ACD. 二、填空题 6．若－4<x<1，则的最大值为________． 答案：－1 解析：＝×＝，因为－4<x<1，所以x－1<0，＝－×≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立． 7．已知正数x，y满足x＋y＝1，则当x＝________时，的最小值是________． 答案：　3 解析：因为正数x，y满足x＋y＝1，所以＝＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝y＝时取等号，此时取得最小值3. 8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________． 答案：2 解析：＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 三、解答题 9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，求a＋2b的最小值． 解：因为2a＋b＝ab，所以＋＝1. a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b的最小值为9. 10．(1)若x<3，求2x＋1＋的最大值； (2)已知x>0，求的最大值． 解：(1)因为x<3，所以3－x>0. 又因为2(x－3)＋＋7＝－＋7， 由基本不等式可得 2(3－x)＋≥2＝2， 当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立， 于是－≤－2，－＋7≤7－2，故2x＋1＋的最大值是7－2. (2)＝. 因为x>0，所以x＋≥2＝2， 所以0<≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 故的最大值为1. 11．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 答案：4 解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝5， ∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当或时，等号成立． 12．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． 解：因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18. 由得或 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$