1.2.3 第2课时 含量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 第2课时　含量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断． 核心素养：1.通过含量词的命题的否定培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用提升数学运算素养． 知识点　　含量词命题的否定 一般地，命题“∀x∈I，p(x)”的否定是“∃x∈I，綈p(x)”；命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，綈p(x)”．即 綈(∀x∈I，p(x))⇔∃x∈I，綈p(x)； 綈(∃x∈I，p(x))⇔∀x∈I，綈p(x)． 1．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定． 2．对存在量词命题的否定及其特点的理解 存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题綈p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)命题“∀x∈{x|x≥0}，x3＋x≥0”的否定是“∀x∈{x|x≥0}，x3＋x<0”．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)“至多有一个”的否定为(　　) A．至少有一个 B．最多有两个 C．至少有两个 D．至多有一个 (2)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 (3)命题“∃x∈Q，x2＝7”的否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案：(1)C　(2)B　(3)真 　全称量词命题的否定 　写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)对所有正数x，>x＋1； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)每一个四边形的四个顶点共圆． [解]　(1)该命题的否定为：存在正数x，≤x＋1.该命题的否定是真命题． (2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数．该命题的否定是真命题． (3)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．该命题的否定是真命题． 【感悟提升】　 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． 【跟踪训练】 1．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解：(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题． (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题． (3)该命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题． 　存在量词命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. [解]　(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．该命题的否定是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．该命题的否定是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”．该命题的否定为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1. 【感悟提升】　 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 【跟踪训练】 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．该命题的否定是假命题，如2是素数也是偶数． (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋＝0”．该命题的否定是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋＝2＋＝≠0. (3)该命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．该命题的否定是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0. 1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案：B 解析：量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B. 2．命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x＋|x|<0 B．∀x∈R，x＋|x|≤0 C．∃x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x＋|x|<0 答案：D 解析：命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|<0”，故选D. 3．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 答案：C 解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C. 4．若命题“∃x∈R，x2＋x＋a－1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：依题意可得“∀x∈R，x2＋x＋a－1≥0”为真命题，所以＋a－≥0恒成立，所以a≥. 5．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：∀m∈R，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)q：有些梯形的对角线相等． 解：(1)綈p：∃m∈R，方程x2＋mx－1＝0无实数根． 由于方程x2＋mx－1＝0的根的判别式Δ＝m2＋4>0， ∴方程x2＋mx－1＝0必有实数根，故綈p是假命题． (2)綈q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，由于等腰梯形对角线相等，故綈q是假命题． 一、选择题 1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案：D 解析：原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数． 2．命题“∀x>0，x≥1”的否定是(　　) A．∀x>0，x<1 B．∃x>0，x<1 C．∃x≤0，x<1 D．∃x≤0，x≥1 答案：B 解析：命题“∀x>0，x≥1”的否定为“∃x>0，x<1”．故选B. 3．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则綈p是(　　) A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根 C．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根 答案：B 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根的否定为“∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”． 4．(多选)下列命题的否定是真命题的是(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：有些实数的绝对值是正数 D．p4：平行四边形是菱形 答案：AD 解析：若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1，p4为全称量词命题，且是假命题，则綈p1，綈p4是真命题．因命题p2，p3均为真命题，则綈p2，綈p3均为假命题．故选AD. 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1} 答案：B 解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a|a≥1}，故选B. 二、填空题 6．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________． 答案：∃x>0，使得x2－x＋3>0 解析：命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是“∃x>0，使得x2－x＋3>0”． 7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________． 答案：任意一个三角形都有外接圆 解析：该命题是存在量词命题，存在量词命题的否定是改量词，否结论，则命题的否定是“任意一个三角形都有外接圆”． 8．已知命题p：∀x∈R，x2＋4x≥m，则綈p是________，若綈p是假命题，则实数m的取值范围为________． 答案：∃x∈R，x2＋4x<m　{m|m≤－4} 解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为∃x∈R，x2＋4x<m.因为綈p是假命题，所以p是真命题，由题意，令y＝x2＋4x，因为y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4. 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)可以被5整除的数，末位是0； (2)能被3整除的数，也能被4整除； (3)非负数的平方为正数； (4)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)省略了全称量词“任何一个”，该命题的否定为有些可以被5整除的数，末位不是0，该命题的否定是真命题． (2)省略了全称量词“所有”，该命题的否定为存在一个能被3整除的数，不能被4整除，该命题的否定是真命题． (3)该命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”． 因为02＝0，不是正数，所以该命题的否定是真命题． (4)该命题的否定：“∀x，y∈Z，都有x＋y≠3”． 因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3， 所以该命题的否定为假命题． 10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0， 所以a≤1. 所以实数a的取值范围是a≤1. 11．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明：要证明结论的否定：两个方程都没有两个不相等的实数根，则有Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0. 所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1， 所以b＋c＝a－1. 所以1－4(a－1)＋a2≤0， 即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以要证明结论的否定是假命题，即证明结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 12．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知命题p，q都是真命题． 由∀1≤x≤3，都有m≥x成立，得m大于或等于x的最大值，即m≥3. 由∃1≤x≤3，使m≥x成立，得m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$