1.2.3 第1课时 含有量词的命题-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 1.2.3　全称量词和存在量词 第1课时　含有量词的命题 (教师独具内容) 课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假． 教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题构成及全称量词命题和存在量词命题真假的判定． 教学难点：全称量词命题与存在量词命题真假的判定． 核心素养：通过用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应教学内容提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　量词 “每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词． 知识点二　全称量词命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“∀”表示．设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M(当x取值a∈M时，p(a)成为一个命题)，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称量词命题．用符号简单地表示为∀x∈M，p(x)． 知识点三　存在量词命题 “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“∃”表示．语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作存在量词命题．用符号简单地表示为∃x∈M，p(x)． 1．对全称量词和全称量词命题的理解 (1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题． (2)有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”． 2．对存在量词和存在量词命题的理解 存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　) (3)全称量词命题一定含有全称量词．(　　) (4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　) (5)一个全称量词可以包含多个变量．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 (2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)． (3)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)． (4)“所有的素数是奇数”是________命题(填“真”或“假”)． 答案：(1)B　(2)有些　存在　(3)全称量词　(4)假 　全称量词命题与存在量词命题的判断 　指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)存在实数x＞1，使x2＞1； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)有一个实数x，x不能取倒数． [解]　(1)命题中有量词“存在”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于1的实数集合．该命题可以写成“∃x∈R，x>1，使x2＞1”． (2)命题中省略了量词“所有”，这是一个全称量词，它的作用范围是自然数集合．该命题可以写成“∀x∈N，x2≥0”． (3)命题中有量词“有一个”，这是存在量词，它的作用范围是实数集合．该命题可以写成“∃x∈R，x没有倒数”． 【感悟提升】　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【跟踪训练】 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)圆内接四边形的对角互补； (2)存在实数x，满足x2＋2x－3＝0； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直． 解：(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补． (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2＋2x－3＝0. (3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直． 　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x<x； (4)某些平行四边形是菱形． [解]　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，并且是真命题． (2)该命题是存在量词命题．因为存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)该命题是全称量词命题，因为存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)该命题是存在量词命题．由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以该命题是真命题． 【感悟提升】　全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧 (1)全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判断 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． 【跟踪训练】 2．判断下列命题的真假： (1)任何实数都有平方根； (2)存在有理数x，使x2－2＝0； (3)∀x∈R，x2－x＋1>0； (4)∃x∈Z，3x＋4＝5. 解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题． (2)因为方程x2－2＝0没有有理数根，所以该命题为假命题． (3)因为x2－x＋1＝＋>0恒成立，所以该命题为真命题． (4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题． 　含有量词的命题的应用 　已知命题“∀x∈[1，2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． [解]　∵“∀x∈[1，2]，x2－m≥0”成立， ∴x2－m≥0在x∈[1，2]恒成立． 又y＝x2－m在[1，2]上的最小值为1－m. ∴1－m≥0，解得m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]． [条件探究]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：∵“∃x∈[1，2]，x2－m≥0”成立， ∴x2－m≥0在x∈[1，2]有解． 又函数y＝x2在[1，2]上的最大值为22＝4. ∴4－m≥0，即m≤4. ∴实数m的取值范围是(－∞，4]． 【感悟提升】　应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． (2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【跟踪训练】 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A， 又B≠∅，所以解得2≤m≤3. 即m的取值范围是{m|2≤m≤3}． (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，即m≥2，所以m＋1≥3. 所以解得2≤m≤4. 即m的取值范围是{m|2≤m≤4}． 1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①③是全称量词命题，②是存在量词命题． 2．下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．所有的有理数都有倒数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数 D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B 解析：0是有理数，但0没有倒数，A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以∀x∈R，x2＋1≥1，故B是真命题；对于无理数，()2＝3是有理数，故C是假命题；整数20能被5整除，但其末位数字是0，故D是假命题． 3．(多选)下列存在量词命题中，是假命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x＋3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有的三角形没有外接圆 D．某些四边形不存在外接圆 答案：AC 解析：A中，Δ＝4－4×3＝－8＜0，是假命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C是假命题，因为所有的三角形都有外接圆；D是真命题，因为只有对角互补的四边形才有外接圆．故选AC. 4．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________． 答案：存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y>1 解析：命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y>1”． 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∃x∈R，|x|＋2≤0； (2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立； (3)每个二次函数的图象都与x轴相交． 解：(1)存在量词命题． ∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，使|x|＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题． ∵x2＋x＋8＝＋>0，∴命题为假命题． (3)全称量词命题，假命题． 如存在y＝x2＋x＋1的图象与x轴不相交． 一、选择题 1．下列命题中为存在量词命题的是(　　) A．所有的整数都是有理数 B．每个三角形至少有两个锐角 C．有些三角形是等腰三角形 D．正方形都是菱形 答案：C 解析：A，B，D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．所有菱形的四条边都相等 D．∀x>0，是无理数 答案：C 解析：A是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；B是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；C是全称量词命题，也是真命题，故C正确；D是全称量词命题，但不是真命题，故D不正确．故选C. 3．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a≠0.若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1 答案：B 解析：依题意∀x∈R，x2＋2x－a≠0恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 4．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 答案：C 解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，因为x∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C. 5．(多选)已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，B＝{x|x>3}，则下列命题为真命题的是(　　) A．∃m∈A，m∉B B．∃m∈B，m∉A C．∀m∈A，m∈B D．∀m∈B，m∈A 答案：AD 解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝{y|y≥2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以A，D为真命题，B，C为假命题．故选AD. 二、填空题 6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________． 答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”，因此命题用符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”． 7．下列命题，是全称量词命题的有________；是存在量词命题的有________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 答案：①②③　④ 解析：①中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；②中省略了全称量词，应是任何有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形，是全称量词命题；③中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；④中含有存在量词“至少”，是存在量词命题． 8．已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤ 解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，即32－4a≥0，得a≤，故实数a的取值范围是a≤. 三、解答题 9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)有理数都是实数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x∈{x|x>0}，x＋>2. 解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题． (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题，且为假命题，当x＝1时，x＋＝2. 10．已知命题p：“∃x∈[－1，1]，2x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：若命题p为真命题，即∃x∈[－1，1]，使a≤2x2成立，即a小于或等于2x2的最大值，所以a≤2. 若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根． 所以Δ＝4－4×1×(2－a)≥0.解得a≥1. 所以实数a的取值范围为[1，2]． 11．若x∈R，函数y＝ax2＋2ax＋3＋a，且y≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解：若a＝0，则y＝3>0，符合题意； 若a≠0，则y＝ax2＋2ax＋3＋a是一元二次函数， ax2＋2ax＋3＋a≥0恒成立， 只需即解得a>0. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥0}． 12．已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围． 解：因为x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}， 所以y1∈{y|0≤y≤9}， y2∈{y|－4－m≤y≤－m}， 又因为∀x1∈{x|－1≤x≤3}， ∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2， 即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0， 所以实数m的取值范围是m≥－4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$