1.1.3 集合的交与并-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 1.1.3　集合的交与并 (教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.交集与并集的含义.2.求两个集合的并集与交集． 教学难点：1.正确理解“或”和“且”的含义.2.并集、交集与补集的运算性质及综合应用． 核心素养：1.借助Venn图培养直观想象素养.2.通过并集、交集与补集的运算提升数学运算素养． 知识点一　交集 自然语言 符号语言 Venn图表示 把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 交集的运算性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A． 知识点二　并集 自然语言 符号语言 Venn图表示 把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 并集的运算性质：A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A． 1．集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否． 2．交集的性质 (1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)A⊆B⇔A∩B＝A；A∩B＝A∪B⇔A＝B. (3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)． 3．并集的性质 (1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A⊆A∪B，B⊆A∪B. (2)A⊆B⇔A∪B＝B；A∪B＝∅⇔A＝B＝∅. 4．交、并集与补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U. (2)A∩(∁UA)＝∅. (3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (4)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 5．从Venn图可以直观地看出，对于两个有限集A，B，必有：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.(　　) (2)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.(　　) (3)对任意集合A，B，A∩B⊆A⊆A∪B总成立．(　　) (4)对于任意集合A，B，A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A总成立．(　　) (5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　) A．(－1，3) B．(－1，0) C．(0，2) D．(2，3) (3)已知集合A＝{1，2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________． (4)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{4}，则∁U(M∪N)＝________． 答案：(1)D　(2)A　(3)0　(4){1，5} 　集合交集的运算 　(1)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，则A∩B＝(　　) A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5} C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5} [解析]　将集合A，B画在数轴上，如图所示，由图可知A∩B＝{x|2<x<3}，故选C. [答案]　C (2)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，B＝{1，3，4，6，7}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} [解析]　∵∁UB＝{2，5，8}，∴A∩(∁UB)＝{2，5}，故选A. [答案]　A 【感悟提升】　 1．求集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 2．解决集合混合运算问题的一般顺序 对于混合运算，要类比实数的加、减运算：谁在前头先算谁，有括号的先算括号里面的． 【跟踪训练】 1．(1)设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 答案：B 解析：易知M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N＝{－1，0，1}，故选B. (2)设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________． 答案：{x|x∈R且x≠0} 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R且x≠0}． 　集合并集的运算 　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} [解析]　M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D. [答案]　D (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} [解析]　在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A. [答案]　A 【感悟提升】　求集合并集的基本方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)图形法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解． 【跟踪训练】 2．(1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，3} C．{1，3，9} D．{0，1，3，9} 答案：D 解析：因为M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，所以M∪N＝{0，1，3，9}．故选D. (2)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1} 答案：C 解析：因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}． 　集合基本运算的应用 　(1)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． [解]　∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4. 当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意． ∴a＝4. (2)已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． [解]　∵A∩B≠∅，∴A≠∅. 设m取值的全集为U，则U＝{m|(－4)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1}． 若A∩B＝∅，则方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负， 则⇒－3≤m≤－1， ∵{m|－3≤m≤－1}关于U的补集为{m|m<－3}， ∴实数m的取值范围为m<－3. 【感悟提升】　 (1)求集合运算中参数的思路：将集合中的运算关系转化为集合间的关系，再转化为方程(组)或不等式(组)求解． (2)对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时应从问题的反面入手探求已知和未知的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接原则的体现． 这种“正难则反”策略运用的就是补集思想，而已知全集U，求子集A，若直接求A有困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A，求A即可． 【跟踪训练】 3．(1)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若A∪B＝B，求实数m的取值范围． 解：因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以 解得－4≤m≤－， 故实数m的取值范围为. (2)已知全集U＝R，集合A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}，且(∁UB)∩A＝∅，求实数b的取值范围． 解：由题意，B＝{－4，1，2}，且A⊆B. ①若A＝∅，则Δ＝9－4b<0，得b>； ②若A≠∅，则方程x2－3x＋b＝0有实根，设实根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1＋x2＝3. 又A⊆B，所以A＝{1，2}，所以由根与系数的关系得b＝1×2＝2. 综上，实数b的取值范围是. 1．设集合A＝{x|－2<x<0}，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－2<x<1} C．{x|－1≤x<0} D．{x|－2<x≤1} 答案：D 解析：依题意，A∪B＝{x|－2<x≤1}．故选D. 2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(B)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 答案：D 解析：由补集的概念和已知条件可得，＝{x|x≥1}，又根据交集的定义可知A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．故选D. 3．(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　) A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 答案：AC 解析：因为A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{0，1，3，4}，A，C正确；又全集U＝{0，1，2，3，4}，所以∁UB＝{2，4}，B错误；集合A＝{0，1，4}的真子集有7个，D错误．故选AC. 4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 答案：{(3，1)} 解析：由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝，解得故A∩B＝{(3，1)}． 5．设集合A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B； (2)求(A∪B)∩C. 解：(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，∴a＝－8，b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}． (2)∵A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}， ∴(A∪B)∩C＝{2}． 一、选择题 1．集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 答案：A 解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}．故选A. 2．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 答案：A 解析：把集合A，B表示在同一数轴上，如图所示，由图可得，A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A. 3．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则∁Z(P∪Q)＝(　　) A．M B．P C．Q D．∅ 答案：A 解析：集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，表示被3整除的整数构成的集合，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，表示被3除余数为1的整数构成的集合，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，表示被3除余数为2的整数构成的集合，故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合，∁Z(P∪Q)＝M.故选A. 4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　　) A．k<0或k>3 B．2<k<3 C．0<k<3 D．－1<k<3 答案：C 解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1<x<3}．若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3. 5．(多选)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则下列说法正确的是(　　) A．A∪B＝{1，2，3} B．集合A有4个 C．A∩(∁UB)＝{3} D．(∁UA)∩(∁UB)＝{3，4} 答案：ABC 解析：∵∁U(A∪B)＝{4}，U＝{1，2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3}，故A正确；又B＝{1，2}，∴A＝{1，3}或A＝{2，3}或A＝{1，2，3}或A＝{3}，故B正确；∵B＝{1，2}，∴∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}，故C正确；∵(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{4}，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x－1}，则(∁UM)∩(∁UN)＝________． 答案：{(4，3)} 解析：由题意可知，M＝{(x，y)|y＝x－1，且x≠4，y≠3}，∁UM＝{(x，y)|y≠x－1或x＝4，y＝3}，∁UN＝{(x，y)|y＝x－1}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝{(4，3)}． 7．设集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a可能取的值有________个． 答案：3 解析：由A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±，0，a可能取的值有3个． 8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________． 答案：－4 解析：如图所示，可知a＝1，b＝6，2a－b＝－4. 三、解答题 9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 解：把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示， 由图可得∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}． A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}． 10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3，4}，求实数a，b，c的值． 解：由A∩B＝{－3}，得－3∈A. ∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1. ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3，4}． 又A∪B＝{－3，4}，A≠B，A∩B＝{－3}， ∴B中只有一个元素－3， ∴解得b＝6，c＝9. ∴a＝－1，b＝6，c＝9. 11．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B. 解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C得7∈A，7∈B且－1∈B， 所以在集合A中，有x2－x＋1＝7，解得x＝－2或x＝3. 当x＝－2时，在集合B中，有x＋4＝2， 又2∈A，故2∈A∩B＝C， 但2∉C，故x＝－2不符合题意，舍去． 当x＝3时，在集合B中，有x＋4＝7. 故有2y＝－1，解得y＝－，经检验满足A∩B＝C. 综上可知，x＝3，y＝－. 此时A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}． 故A∪B＝{－4，－1，2，7}． 12．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值． 解：A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A， ∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则m＝1； ②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4， 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知，m＝1或m＝2符合条件． 综上可得，m＝1或m＝2. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$