1.1.2 子集和补集-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 1.1.2　子集和补集 (教师独具内容) 课程标准：1.理解子集、真子集、全集、补集的概念，能识别给定集合的子集，并能求(全集的)给定子集的补集.2.理解集合之间包含与相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系.3.能用Venn图表达集合间的关系． 教学重点：1.子集、真子集、全集、补集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系.5.会求集合的补集． 教学难点：1.两个集合之间关系的判定及集合的补集的求解.2.一些集合间关系符号的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况． 核心素养：1.通过对集合之间包含与相等的含义及子集、真子集、补集概念的理解提升数学抽象素养.2.借助子集、真子集、补集的求解及应用培养数学运算素养． 知识点一　子集 如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． (1)若A包含于B，则称A是B的一个子集． 规定：每个集合都是它自己的子集． 空集包含于任一集合，是任一集合的子集． (2)如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B． (3)如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB． (4)常用平面上的封闭图形的内部表示集合，这类表示集合间关系的示意图叫作Venn图． (5)包含关系的传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，B⊆C，则AC． 知识点二　补集 (1)如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以把集合U约定为全集(或基本集)． (2)补集 自然语言 若A是全集U的子集，U中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集，记作∁UA或 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 注意∁UA仍是U的一个子集，显然∁U(∁UA)＝A.一般地，不论A是否是B的子集，都可用B\A表示B中所有不属于A的元素组成的集合，它是B的一个子集． 1．对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2．集合子集的个数 若一个集合中含有n个元素，则 (1)子集的个数为2n. (2)真子集的个数为2n－1. (3)非空子集的个数为2n－1. (4)非空真子集的个数为2n－2. 3．{0}，∅，{∅}之间的区别与联系 {0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此∅{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合，因此∅作为一个元素时，有∅∈{∅}，∅作为一个集合时，有∅{∅}． 4．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． 5．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)A 减数b 减集合B 差a－b 补集∁AB 很明显，同一个集合，由于全集的不同，其补集也不相同(就好像同一个数，由于被减数不同，差也不同一样)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集．(　　) (2)空集是任何集合的真子集．(　　) (3)全集一定含有任何元素．(　　) (4)全集没有补集．(　　) (5)负整数集的补集是自然数集．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{2}，则下列关系正确的是(　　) A．B∈A B．B∉A C．B⊇A D．B⊆A (2)设全集为U，集合M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝(　　) A．{0，2，4，6} B．{0，2，4} C．{6} D．∅ (3)已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________． (4)若集合{2，4}＝{1－a，4}，则a＝________． 答案：(1)D　(2)A　(3)2　(4)－1 　集合间关系的判断 　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}； (5)M＝{x|x∈N＋，x是4，6的公倍数}，N＝{x|x＝12n，n∈N＋}． [解]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. (5)4和6的公倍数可以表示为{x|x＝12m，m∈N＋}，N＝{x|x＝12n，n∈N＋}，∴M＝N. 【感悟提升】　判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B； ②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则AB； ③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 【跟踪训练】 1．(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x∈N|x<8}，用适当的符号填空： ①A________B；②A________C； ③{2}________C；④2________C. 答案：①＝　②　③　④∈ 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的所有解组成的集合，即A＝{1，2}，而C＝{x∈N|x<8}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故①A＝B；②AC；③{2}C；④2∈C. (2)已知集合A＝，B＝，则集合A，B的关系为________． 答案：A＝B 解析：在集合A中，x＝，n∈Z.集合A中的元素是所有奇数除以3所得的数．在集合B中，x＝＋1＝＝.当n∈Z时，(n＋1)∈Z，2(n＋1)＋1为所有奇数，所以B中的元素是所有奇数除以3所得的数．故A＝B. 　写出集合的子集 　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． [解]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}， 由0个元素构成的集合A的子集：∅. 由1个元素构成的集合A的子集：{－4}，{－1}，{4}． 由2个元素构成的集合A的子集：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 由3个元素构成的集合A的子集：{－4，－1，4}． 因此集合A的子集：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 集合A的真子集：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 【感悟提升】　求集合子集、真子集的三个步骤 【跟踪训练】 2．(1)已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个． (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}， ∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， ∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 　补集的简单运算 　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　) A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7} [解析]　依题意，∁UA＝{2，4，7}． [答案]　C (2)已知全集为R，集合A＝{x|x<1或x≥5}，则∁RA＝________． [解析]　在数轴上画出集合A，由数轴，得∁RA＝{x|1≤x<5}． [答案]　{x|1≤x<5} (3)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． [解析]　因为集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}． [答案]　{2，3，5，7} 【感悟提升】　补集的求解步骤及方法 (1)步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集． (2)方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集的性质求解． 【跟踪训练】 3．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，m}，且∁UA＝{1，3，5}，则m的值为________． 答案：4 解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{1，3，5}，所以A＝{2，4}，又因为A＝{2，m}，所以m＝4. (2)若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝{x|x≤2}；③S＝{x|－4≤x≤1}． 解：①把集合A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图易知∁SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 　集合间关系的应用 　(1)设全集U＝R，集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若(∁UA)⊆B，则实数m的取值范围是________． [解析]　∵∁UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由(∁UA)⊆B可知m<1. [答案]　{m|m<1} (2)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a2023＋b2024＝________． [解析]　由A＝B，有或解方程组得或或由集合元素的互异性，知a≠1.∴a＝－1，b＝0，故a2023＋b2024＝－1. [答案]　－1 (3)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [解]　B⊆A，分两种情况考虑： ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有 解得－1≤m<2， 综上可得，实数m的取值范围为{m|m≥－1}． 【感悟提升】　由集合间的包含关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形； ②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【跟踪训练】 4．(1)已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求a的取值范围． 解：∵∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论： ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2； ②若A≠∅，则有或 ∴a≤1. 综上所述，a≤1或a≥2. (2)已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求实数x与y的值． 解：由已知，A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A. 若x＝0，则A＝{0，0，－y}，不满足元素的互异性； 若y＝0，则B＝{0，|x|，0}，也不满足元素的互异性． 所以只有x－y＝0，即y＝x. 所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}， B＝{0，|x|，x}． 所以x2＝|x|， 所以x＝0(舍去)或x＝1或x＝－1. 当x＝1时，A＝B＝{1，1，0}，而集合中的元素具有互异性，故x≠1. 当x＝－1时，A＝B＝{－1，1，0}满足题意． 所以x＝y＝－1. 1．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 答案：C 解析：易知集合A＝{0，1，2}，含有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 答案：B 解析：解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如B所示． 3．(多选)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的是(　　) A．1∈A B．{－1}∈A C．∅⊆A D．∁QA＝{x∈Q|x≠±1} 答案：ACD 解析：A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故A，C，D正确，B不正确． 4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，集合A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________． 答案：2 解析：根据题意，得a2－2a＋3＝3，且a＝2，解得a＝2. 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围． 解：(1)若AB，由图可知a＞2. (2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2. (3)由A＝B，可得a＝2. 一、选择题 1．下列关系式不正确的是(　　) A．{1}⊆{1，2} B．{0}⊆{1，2} C．{2}⊆{1，2} D．1∈{1，2} 答案：B 解析：∵0∉{1，2}，∴{0}⊆{1，2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确． 2．已知全集U＝{x|0≤2x≤10，x∈N}，集合A＝{x|x2－7x＋10＝0}，则∁UA＝(　　) A．{2，5} B．{0，1，2，5} C．{0，1，3，4} D．{1，3，4} 答案：C 解析：U＝{x|0≤2x≤10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{x|x2－7x＋10＝0}＝{2，5}，所以∁UA＝{0，1，3，4}． 3．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：D 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0，2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0，2}，共4个．故选D. 4．若集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系是(　　) A．M＝NP B．MN＝P C．MNP D．NPM 答案：B 解析：M＝，N＝＝(n∈Z，q＝n－1∈Z)，P＝，∴MN＝P.故选B. 5．(多选)已知集合A＝{1，2，4，8}，B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}，则下列四个结论正确的是(　　) A．AB B．{1，4，16，64}⊆B C．∁BA＝{16，32，64} D．集合B的真子集的个数为27 答案：ABC 解析：∵集合A＝{1，2，4，8}，∴集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1，2，4，8，16，32，64}，∴AB，A正确；{1，4，16，64}⊆B，B正确；∁BA＝{16，32，64}，C正确；集合B的真子集的个数为27－1，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．已知集合S，T，F之间的关系如图所示，则下列关系中错误的是________(只填序号)． ①FT；②ST；③FS；④SF. 答案：①③④ 解析：根据子集、真子集的概念，由Venn图的关系，可以看出ST正确，其余错误． 7．设全集U＝{2，4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－1}，则实数a的值为________． 答案：2 解析：由已知可得解得a＝2. 8．满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－4＝0}的集合M共有________个． 答案：3 解析：因为{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，其非空子集为{－2}，{2}，{－2，2}，所以满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－4＝0}的集合M共有3个． 三、解答题 9．判断下列集合间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}； (4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}． 解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA. (2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q. (3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}， B＝{x|2x－5≥0}＝， 利用数轴判断A，B的关系． 如图所示，AB. (4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}， B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B. 10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁UA，求实数a的取值范围． 解：由题意得∁UA＝{x|x≥－1}． ①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁UA. ②若B≠∅，则由B⊆∁UA，得2a≥－1且2a<a＋3， 解得－≤a<3. 综上可得，实数a的取值范围为a≥－. 11．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}． (1)若B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A⊆B，求实数a的取值范围． 解：(1)A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}， 因为B⊆A，所以分B＝A和BA两种情况讨论： ①当B＝A时，B＝{－4，0}，即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1； ②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 若B≠∅，则B＝{－4}或{0}，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件． 综上可知，实数a的取值范围为a＝1或a≤－1. (2)因为A⊆B，A＝{－4，0}，所以集合B中必含这两个元素． 又集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的根构成的集合，最多有2个元素，所以此时必有A＝B. 由(1)知，此时a＝1. 故实数a的取值范围为a＝1. 12．若集合{x|x2＋x＋a＝0}中至少有一个元素为非负实数，求实数a的取值范围． 解：由题意，知方程x2＋x＋a＝0至少有一个非负实根． 若方程无非负实根，即方程无实根或方程有两个负实根x1，x2. 当关于x的方程x2＋x＋a＝0无实数根时，则Δ＝1－4a<0，解得a>； 当关于x的方程x2＋x＋a＝0有两个负实数根时，则 解得0<a≤. 综上可得a>0，记A＝{a|a>0}． 所以满足题意的实数a的取值范围是∁RA＝{a|a≤0}． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$