1.1.1 第1课时 集合与元素-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 1.1.1　集合 第1课时　集合与元素 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.在具体情境中，了解空集的含义． 教学重点：1.集合的概念.2.元素与集合的关系.3.集合中元素的特性． 教学难点：1.对空集含义的理解.2.应用集合中元素的特性解决问题． 核心素养：1.通过对集合概念的学习逐步形成数学抽象素养.2.借助集合的特性的学习培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　集合与元素的相关概念 在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素． 知识点二　元素与集合的关系 集合论中最基本的关系是集合和它的元素之间的归属关系，表达归属关系的符号是∈，读作“属于”． 若S是一个集合，a是S的一个元素，记作a∈S，读作“a属于S”．若a不是集合S的元素，记作a∉S(或a∉S，a∈S)，读作“a不属于S”． 知识点三　集合中元素的三个特性 (1)互异性：同一集合中的元素是互不相同的． (2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的． (3)无序性：集合中的元素没有顺序． 知识点四　几种常用的数集及表示符号 名称 非负整数集(自然数集) 整数集 有理数集 实数集 符号 N Z Q R 名称 正实数集 负实数集 正整数集 负有理数集 符号 R＋ R－ Z＋或N＋ Q－ 知识点五　集合的分类 (1)元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集)． 没有元素的集合叫空集，记作∅．空集也是有限集． (2)元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)． 集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．(　　) (2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只居其一．(　　) (3)由－1，4，5构成的集合与由64，－1，125的立方根构成的集合相等．(　　) (4)集合N中的最小元素为0.(　　) (5)对于数集A＝{1，2，x2}，若x∈A，则x＝0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)下列所给的对象能组成集合的是(　　) A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 (2)用适当的符号(∈，∉)填空． 0________∅，0________{0}，0________N， －2________N＋，________Z，________Q， π________R. (3)已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________． 答案：(1)A　(2)∉　∈　∈　∉　∉　∉　∈　(3)3 集合的概念 　下列所给的对象能构成集合的是________. ①所有的正三角形； ②高一数学必修第一册课本上的所有难题； ③比较接近1的正数全体； ④某校高一年级的全体女生； ⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点； ⑥参加某运动会的年轻运动员． [解析]　①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因为“难题”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合． ③不能构成集合．因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合． ④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”． ⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”． ⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合． [答案]　①④⑤ 【感悟提升】　判断一组对象能否构成集合的方法 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，a3，…，an均不相同)能否构成集合的过程为 【跟踪训练】 1．判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)大于3的所有自然数组成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1，0.5，，组成的集合含有四个元素； (4)周长为10 cm的三角形组成一个集合． 解：(1)中的对象是确定的、互异的，所以可构成一个集合，故正确． (2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误． (3)中由于0.5＝，不符合集合中元素的互异性，故错误． (4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确． 元素与集合的关系 　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋. A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　∵π是实数，是无理数，∴①②正确；∵N＋表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个． [答案]　B (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． [解析]　∵∈N，x∈N，∴即∴0≤x<6，∴x＝0，1，2，3，4，5.当x分别为0，3，4，5时，相应的值分别为1，2，3，6，也是自然数，故填0，3，4，5. [答案]　0，3，4，5 【感悟提升】　判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件． 【跟踪训练】 2．(1)用符号“∈”或“∉”填空． ①0________N＋；②1________N； ③1.5________Z；④2________Q； ⑤4＋________R； ⑥若x2＋1＝0，则x________R. 答案：①∉　②∈　③∉　④∉　⑤∈　⑥∉ 解析：①∵0不是正整数，∴0∉N＋. ②∵1是自然数，∴1∈N. ③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5∉Z. ④∵2是无理数，∴2∉Q. ⑤∵4＋是无理数，无理数是实数，∴4＋∈R. ⑥∵满足x2＋1＝0的实数不存在， ∴x为非实数，∴x∉R. (2)已知集合A中的元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为________． 答案：－4<a≤－2 解析：∵1∉A，2∈A，∴即－4<a≤－2. 　集合中元素的特性及应用 　已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若－3∈A，求a的值； (2)若x2∈B，求实数x的值． [解]　(1)由－3∈A且a2＋1≥1， 可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．故a＝0或－1. (2)当x＝0，1，－1时，都有x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1. 【感悟提升】　利用集合元素的特性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． (2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练】 3．已知集合A包含三个元素：a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 解：因为A包含三个元素a－2，2a2＋5a，12， 且－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 解得a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，A中三个元素为－3，－3，12，不符合集合中元素的互异性，舍去． 当a＝－时，A中三个元素为－，－3，12，满足题意． 故a＝－. 　集合的分类 　下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集还是无限集． (1)非负奇数； (2)小于18的既是正奇数又是素数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的所有解； (5)在实数范围内方程组的解． [解]　(1)能构成集合，是无限集． (2)小于18的素数是2，3，5，7，11，13，17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集． (3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集． (4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组无解，能构成集合，是空集，故是有限集． 【感悟提升】　判断集合分类的方法 判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数． 【跟踪训练】 4．指出下列各组对象是否能组成集合？若能组成集合，则指出集合是有限集还是无限集． (1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数． 解：(1)中的对象能组成集合，它是一个有限集． (2)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (3)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (4)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (5)中的对象能组成集合，它是一个空集，故是有限集． (6)中的对象能组成集合，它是一个有限集． 1．下列所给的对象不能组成集合的是(　　) A．我国古代的四大发明 B．二元一次方程x＋y＝1的解 C．我班年龄较小的同学 D．平面内到定点距离等于定长的点 答案：C 解析：C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C. 2．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a的值为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 答案：B 解析：集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A.综上所述，a＝2或4.故选B. 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．集合N＋中的元素都是集合Q中的元素 B．集合N中的元素都是集合Z中的元素 C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D．集合Q中的元素都是集合R中的元素 答案：ABD 解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以C说法不正确，A，B，D说法正确．故选ABD. 4．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________． 答案：a＞3 解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a＜0的解，所以3－a＜0，解得a＞3. 5．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值． 解：∵a∈A且3a∈A，∴解得a<2. 又a∈N，∴a＝0或1. 一、选择题 1．现有以下说法，其中正确的是(　　) ①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 答案：D 解析：①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确． 2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B. 3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的所有解组成的集合，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－5 B．－4 C．4 D．5 答案：A 解析：因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5. 4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含有(　　) A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素 答案：A 解析：＝|x|，－＝－x.当x＝0时，它们均为0；当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中最多含有2个元素． 5．(多选)已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．－1∈M D．1∉M 答案：BCD 解析：①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以2∉M，3∈M，－1∈M，1∉M.故选BCD. 二、填空题 6．下列集合中，是空集的是________(填序号)． ①集合A中元素是x>8且x<5的实数； ②集合B中的元素是方程x2＋1＝0在R内的根； ③集合C中只有一个元素0； ④集合D中有0个元素． 答案：①②④ 解析：因为满足x>8且x<5的实数不存在，故集合A是空集；因为方程x2＋1＝0在R内无根，故集合B是空集；因为空集是不含任何元素的集合，故集合C不是空集，集合D是空集． 7．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素． 答案：3 解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素． 8．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________． 答案：6 解析：∵x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴整数a＝6. 三、解答题 9．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系． 解：∵a＝－＝0＋(－1)×，而0，－1∈Z，∴a∈A； ∵b＝＝＝＋，而，∉Z， ∴b∉A； ∵c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13，－4∈Z， ∴c∈A. 10．设x∈R，集合A中含有三个元素：3，x，x2－2x. (1)求元素x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． 解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3， 解得x≠－1，x≠0且x≠3. (2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2. 由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2. 经检验，知x＝－2时三个元素符合集合中元素的互异性． 故x＝－2. 11．由a2，2－a，4所组成的集合记为A. (1)是否存在实数a，使得A中只有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (2)若A中有两个元素，求a的值． 解：(1)由题意知，若A中只有一个元素，则这三个数相等，即a2＝2－a＝4，由2－a＝4，解得a＝－2. 此时a2＝4，所以符合条件． 故当a＝－2时，A中只有一个元素． (2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等． 当2－a＝4时，a＝－2，由(1)知此时集合A中只有一个元素，不符合题意； 当a2＝4，即a＝2或a＝－2(舍去)时，2－a＝0， 故此时集合A中有两个元素：0，4. 当a2＝2－a，即a2＋a－2＝0时，a＝1或a＝－2(舍去)， 此时a2＝2－a＝1， 显然集合A中有两个元素：1，4. 综上，当a＝2或a＝1时，集合A中有两个元素． 12．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； (2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素． 解：(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，即a≠0. 由a∈S，则∈S可得∈S， 即＝＝1－∈S. 故若a∈S，则1－∈S. (2)由2∈S，知＝－1∈S； 由－1∈S，知＝∈S， 当∈S时，＝2∈S， 因此当2∈S时，S中必含有－1和. (3)证明：由(1)，知a∈S，∈S，1－∈S. 下证：a，，1－三者两两互不相等． ①若a＝，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠； ②若a＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠1－； ③若＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴≠1－. 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$