七年级数学期中模拟卷（鲁教版七上第1～3章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第1章三角形+第2章轴对称+第3章勾股定理。 5．难度系数： 0.7。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．太极曲线 D．蝴蝶形曲线 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．已知中，，则长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据三角形的三边关系，得，即． 故选：A． 3．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； ∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选A． 4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】解：∵三角形的内角和等于180度，如果其中两个内角之和小于第三个内角， ∴第三个内角大于90度， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选：C． 5．有下列说法，其中正确的有　(　  　) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①错误，不是三角形的图形也能全等； ②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同； ③错误，边长不同的正方形不全等； ④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形． 所以正确的只有一个. 故选A． 6．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S=9+4=13，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S=9－4=5，故选项B符合题意； C、由勾股定理得：S=4+3=7，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S=4－3=1，故选项D不符合题意， 故选：B． 7．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 【答案】D 【详解】解：如图，将圆柱展开： ∵圆柱高8cm，底面周长为12cm， ∴BC＝8cm，AC＝6cm， 根据勾股定理得：AB＝＝10（cm）， 即爬行的最短路程是10cm， 故选：D． 8．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 9．如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（   ） A． B． C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【详解】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动， ∴；故选项A正确； ∵为等边三角形， ∴， 又， ∴；故选项B正确； 当为的中点时，， ∵， ∴是等边三角形；故选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∴是个定值；故选项D错误； 故选D． 10．如图，的内角平分线与外角的平分线交于点，过作分别交于两点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF， ∵S△EBD＝•BE•DM，S△FBD＝•BF•DN，BD是∠EBC的平分线，DM⊥AB，DN⊥CB， ∴DM＝DN， ∴S△EBD：S△FBD＝BE：BF，①正确； ∵DE是∠AEF的平分线， ∴AD＝DO， ∵DB是∠ABC的平分线， ∴DA＝DN， ∴DO＝DN， ∴DF是∠EFC的平分线， ∴∠EFD＝∠CFD，②正确； ∵HD∥BF， ∴∠HDB＝∠FBD， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠HBD＝∠CBD， 于是∠HBD＝∠HDB， 故HB＝HD． 但没有条件说明HF与HB必然相等，③错误； 由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点， 故D为△BEF的内心， 于是FD为∠EFC的平分线， 故∠CFD＝∠EFD， 又∵DH∥BC， ∴∠HDF＝∠CFD， 故∠GDF＝∠DFE， 于是GF＝GD， 又∵HB＝HD， ∴HD−GD＝HG， 即BH−GF＝HG，④正确． 故①②④正确． 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12．在中，，与的平分线交于点O，则 度． 【答案】130 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵与的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：130． 13．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米． 【答案】8 【详解】解：，，， 树折断之前的高度为8米． 故答案为：8． 14．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 【答案】20 【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 详解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）． 故答案为20． 15．如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为 ．    【答案】8 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解答题标记步骤分 16．（7分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形． 【详解】如图所示： --------------------------------7分 17．（7分）如图，点F、B、E、C在同一直线上，若，，求证：≌． 【详解】证明：， ，--------------------------------1分 即，--------------------------------2分 在和中 ，--------------------------------5分 ≌．--------------------------------7分 18．（7分）如图，一块草坪的形状为四边形，其中∠，．求这块草坪的面积．    【详解】解：连接，--------------------------------1分   ， 在直角中，由勾股定理得， ，--------------------------------3分 ，--------------------------------4分 又， 在中， ， ，即是直角三角形，--------------------------------5分 ，--------------------------------6分 答：该草坪的面积为．--------------------------------7分 19．（8分）如图，一架长5m的梯子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1 m，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1 m吗？用所学知识论证你的结论． 【详解】在Rt△ACB中，BC=3，AB=5， 则米，--------------------------------2分 DC=4-1=3米．--------------------------------3分 在Rt△DCE中，DC=3，DE=5， 则米，--------------------------------7分 BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．--------------------------------8分 20．（8分）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 【详解】（1）解：如图，即为所求； --------------------------------2分 （2）如图，点即为所求；--------------------------------4分 （3）如图，点即为所求；--------------------------------6分 （4）过点作于点， ∵， ∴， ∴，--------------------------------7分 ∴点到的距离为．--------------------------------8分 21．（9分）问题情境：已知Rt△ABC的周长为56，斜边长c=25，求△ABC的面积． 解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c= ___， 因为c=25，所以a+b=___， 所以（a+b）2=___， 所以a2+ ___=961 因为a2+b2=c2， 所以c2+2ab=961， 所以 ___+2ab=961， 所以ab= 168（第1步） 所以△ABC的面积=ab=× 168= 84（第2步）． 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 ___（填序号）． ①整体思想；   ②数形结合思想；     ③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 【详解】解：（1）∵Rt△ABC的周长为56， ∴a+b+c=56， ∵c=25， ∴a+b=31， ∴（a+b）2=961， ∴a2+2ab+b2=961 ∵a2+b2=c2， ∴c2+2ab=961， ∴625+2ab=961， ∴ab= 168（第1步） ∴△ABC的面积=ab=× 168= 84（第2步）． 故答案为：①56  ②31    ③961（填312也可以）  ④2ab+b2      ⑤625   --------------------------------3分 （2）∵由第1步到第2步中用了整体代入， ∴体现的数学思想是①． 故答案为①．--------------------------------6分 （3）设直角三角形的两直角边分别是a、b， 斜边为c ∵三角形面积为6 ∴ab=6， ∴2ab=24 ∵a2+b2=c2 ∴a2+2ab+b2=52 +2ab ∴（a+b）2=25+24=49--------------------------------7分 ∵a+b˃0 ∴ a+b=7--------------------------------8分 所以这个直角三角形的周长是：a+b+c=7+5=12．--------------------------------9分 22．（10分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米，--------------------------------2分 ∵千米， ∴千米；--------------------------------4分 （2）解：∵， ∴，--------------------------------6分 ∴千米--------------------------------8分 ∴修建公路的费用为（万元）．--------------------------------10分 23．（10分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处，已知，． (1)求的长； (2)求的长． 【详解】（1）解：由题意得，--------------------------------1分 ∴，--------------------------------3分 由折叠的性质可得， ∴；--------------------------------5分 （2）解：由题意得， 设，则，--------------------------------6分 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴，--------------------------------8分 解得，--------------------------------9分 ∴--------------------------------10分 24．（12分）（1）如图1：已知中，以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则与的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图2，已知，以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，试判断与有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，已经测得，，米，米，且，求的长． 【详解】解：（1）和是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：--------------------------------4分 （2）结论：．--------------------------------5分 理由：和是等边三角形， ，， ， ， ，--------------------------------6分 在和中， ， ∴，--------------------------------7分 ∴；--------------------------------8分 （3）如图3中，在的上方作等边，连接，． ，， 是等边三角形，--------------------------------9分 同法可证， ∴， ，， ，--------------------------------10分 在中，米，米， （米）．--------------------------------11分 米，即的长为500米．--------------------------------12分 25．（12分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝，--------------------------------2分 由面积的两种算法可得：，--------------------------------4分 解得：CD＝；--------------------------------5分 （2）在Rt△ABD中，，--------------------------------7分 在Rt△ADC中，，--------------------------------9分 所以，--------------------------------11分 解得：．--------------------------------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年七年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7 分） 18．（7 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年七年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第1章三角形+第2章轴对称+第3章勾股定理。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由 4 个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（ ） A． 笛卡尔心形线 B． 三叶玫瑰形曲线 C． 太极曲线 D． 蝴蝶形曲线 2．已知△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 5，𝐵𝐶 = 4，则𝐴𝐶长度的取值范围是（ ） A．1 < 𝐴𝐶 < 9 B．1 ≤ 𝐴𝐶 < 9 C．1 < 𝐴𝐶 ≤ 9 D．1 ≤ 𝐴𝐶 ≤ 9 3．如图，工人师傅设计了一种测零件内径𝐴𝐵的卡钳，卡钳交叉点 O为𝐴𝐴 ，𝐵𝐵 的中点，只要量出𝐴 𝐵 的 长度，就可以道该零件内径𝐴𝐵的长度．依据的数学基本事实是（ ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．有下列说法，其中正确的有 ( ) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母 S表示所在 正方形的面积，其中 S的值恰好等于 5 的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，一圆柱高 8cm，底面周长是 12cm，一只蚂蚁从点 A爬到点 B处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 8．如图，△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵𝐴𝐶 = 80°，∠𝐴𝐶𝐵 = 70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A．∠𝐵𝐴𝑄 = 40° B．𝐷𝐸 = 𝐵𝐷 C．𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 D．∠𝐸𝑄𝐹 = 25° 9．如图，点 P，Q是等边△ 𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的动点，它们分别从点 A，B同时出发，以相同的速度向点 B， C方向运动（不与点 B，C重合）．连接𝐴𝑄, 𝐶𝑃, 𝑃𝑄，其中𝐴𝑄与𝐶𝑃交于点M．针对点 P，Q的运动过程，下 列结论错误的是（ ） A．𝐵𝑄 = 𝐴𝑃 B．△𝐴𝐵𝑄 ≌△ 𝐶𝐴𝑃 C．△𝐵𝑃𝑄的形状可能是等边三角形 D． CMQ 的度数随点 P，Q的运动而变化 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … 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𝐷𝐸.求证：△ 𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐹． 18．（7 分）如图，一块草坪的形状为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，其中∠𝐵 = 90°, 𝐴𝐵 = 8𝑚, 𝐵𝐶 = 6𝑚，𝐶𝐷 = 24𝑚,𝐴𝐷 = 26𝑚．求这块草坪的面积． 19．（8 分）如图，一架长 5m 的梯子 AB 斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底 3m，如果梯子的顶端 沿墙下滑 1 m，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 m 吗？用所学知识论证你的结论． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 20．（8 分）如图，每一个小正方形的边长为𝑚． (1)画出格点△ 𝐴𝐵𝐶关于直线𝐷𝐸的对称的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)在𝐷𝐸上画出点𝑃，使𝑃𝐴 + 𝑃𝐶最小； (3)在𝐷𝐸上画出点𝑄，使|𝑄𝐴 − 𝑄𝐵|最大； (4)求点𝐵到𝐴𝐶所在直线的距离． 21．（9 分）问题情境：已知 Rt△ABC 的周长为 56，斜边长 c=25，求△ABC 的面积． 解法展示：设 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a，b，则 a+b+c= ___， 因为 c=25，所以 a+b=___， 所以（a+b）2=___， 所以 a2+ ___=961 因为 a2+b2=c2， 所以 c2+2ab=961， 所以 ___+2ab=961， 所以 ab= 168（第 1 步） 所以△ABC 的面积=ab=× 168= 84（第 2 步）． 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第 1 步到第 2 步体现出来的数学思想是 ___（填序号）． ①整体思想； ②数形结合思想； ③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为 6，斜边长为 5，求这个直角三角形的周长． 22．（10 分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公 路如图所示，现从 A地分别向 C、D、B三地修了三条笔直的公路𝐴𝐶、𝐴𝐷和𝐴𝐵，C地、D地、B地在同一 笔直公路上，公路𝐴𝐶和公路𝐶𝐵互相垂直，又从 D地修了一条笔直的公路𝐷𝐻与公路𝐴𝐵在 H处连接，且公 路𝐷𝐻和公路𝐴𝐵互相垂直，已知𝐴𝐶 = 9千米，𝐴𝐵 = 15千米，𝐵𝐷 = 5千米． (1)求公路𝐶𝐷的长度； (2)若修公路𝐷𝐻每千米的费用是 200 万元，请求出修建公路𝐷𝐻的总费用． 23．（10 分）如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿直线𝐴𝐸折叠，顶点 D恰好落在𝐵𝐶边上的 F点 处，已知𝐶𝐸 = 3cm，𝐴𝐵 = 8cm． (1)求𝐶𝐹的长； (2)求𝐵𝐶的长． 24．（12 分）（1）如图 1：已知△ 𝐴𝐵𝐶中，以𝐴𝐵，𝐴𝐶为直角边向外作等腰直角三角形𝐴𝐵𝐷和等腰直角三角 形𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐶𝐷，则 BE 与𝐶𝐷的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图 2，已知△𝐴𝐵𝐶，以𝐴𝐵，𝐴𝐶为边向外作等边三角形𝐴𝐵𝐷和等边三角形𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐶𝐷，试 判断 BE 与𝐶𝐷有什么数量关系？并说明理由； （3）如图 3，要测量池塘两岸相对的两点𝐷，𝐶之间的距离，已经测得∠𝐴𝐷𝐵 = 60°，∠𝐴𝐶𝐵 = 30°，𝐵𝐶 = 300米， 400AC  米，且𝐴𝐷 = 𝐵𝐷，求𝐷𝐶的长． 25．（12 分）如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是 大正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和， 即 ab×4＋（b－a）2，从而得到等式 c2＝ ab×4＋（b－a）2，化简便得结论 a2＋b2＝c2．这里用两种求法来 表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问 题： (1)如图 2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求 CD的长度． (2)如图 3，在△ABC中，AD是 BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设 BD＝x，求 x的值． 2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第1章三角形+第2章轴对称+第3章勾股定理。 5．难度系数： 0.7。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．太极曲线 D．蝴蝶形曲线 2．已知中，，则长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．有下列说法，其中正确的有　(　  　) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 8．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（   ） A． B． C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 10．如图，的内角平分线与外角的平分线交于点，过作分别交于两点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 12．在中，，与的平分线交于点O，则 度． 13．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米． 14．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 15．如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为 ．    三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解答题标记步骤分 16．（7分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形． 17．（7分）如图，点F、B、E、C在同一直线上，若，，求证：≌． 18．（7分）如图，一块草坪的形状为四边形，其中∠，．求这块草坪的面积．    19．（8分）如图，一架长5m的梯子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1 m，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1 m吗？用所学知识论证你的结论． 20．（8分）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 21．（9分）问题情境：已知Rt△ABC的周长为56，斜边长c=25，求△ABC的面积． 解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c= ___， 因为c=25，所以a+b=___， 所以（a+b）2=___， 所以a2+ ___=961 因为a2+b2=c2， 所以c2+2ab=961， 所以 ___+2ab=961， 所以ab= 168（第1步） 所以△ABC的面积=ab=× 168= 84（第2步）． 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 ___（填序号）． ①整体思想；   ②数形结合思想；     ③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 22．（10分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 23．（10分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处，已知，． (1)求的长； (2)求的长． 24．（12分）（1）如图1：已知中，以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则与的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图2，已知，以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，试判断与有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，已经测得，，米，米，且，求的长． 25．（12分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年七年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第 1 章三角形+第 2 章轴对称+第 3 章勾股定理。 5．难度系数： 0.7。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由 4 个 数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（ ） A． 笛卡尔心形线 B． 三叶玫瑰形曲线 C． 太极曲线 D． 蝴蝶形曲线 2．已知△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 5，𝐵𝐶 = 4，则𝐴𝐶长度的取值范围是（ ） A．1 < 𝐴𝐶 < 9 B．1 ≤ 𝐴𝐶 < 9 C．1 < 𝐴𝐶 ≤ 9 D．1 ≤ 𝐴𝐶 ≤ 9 3．如图，工人师傅设计了一种测零件内径𝐴𝐵的卡钳，卡钳交叉点 O为𝐴𝐴 ，𝐵𝐵 的中点，只要量出𝐴 𝐵 的 长度，就可以道该零件内径𝐴𝐵的长度．依据的数学基本事实是（ ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．有下列说法，其中正确的有 ( ) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母 S表示所在 正方形的面积，其中 S的值恰好等于 5 的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，一圆柱高 8cm，底面周长是 12cm，一只蚂蚁从点 A爬到点 B处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 8．如图，△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵𝐴𝐶 = 80°，∠𝐴𝐶𝐵 = 70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A．∠𝐵𝐴𝑄 = 40° B．𝐷𝐸 = 𝐵𝐷 C．𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 D．∠𝐸𝑄𝐹 = 25° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 9．如图，点 P，Q是等边△ 𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的动点，它们分别从点 A，B同时出发，以相同的速度向点 B， C方向运动（不与点 B，C重合）．连接𝐴𝑄, 𝐶𝑃, 𝑃𝑄，其中𝐴𝑄与𝐶𝑃交于点M．针对点 P，Q的运动过程，下 列结论错误的是（ ） A．𝐵𝑄 = 𝐴𝑃 B．△𝐴𝐵𝑄 ≌△ 𝐶𝐴𝑃 C．△𝐵𝑃𝑄的形状可能是等边三角形 D． CMQ 的度数随点 P，Q的运动而变化 10．如图，𝛥𝐵𝐸𝐹的内角∠𝐸𝐵𝐹平分线𝐵𝐷与外角∠𝐴𝐸𝐹的平分线交于点𝐷，过𝐷作𝐷𝐻//𝐵𝐶分别交𝐸𝐹、𝐸𝐵于 𝐺、𝐻两点．下列结论：①𝑆 : 𝑆 = 𝐵𝐸: 𝐵𝐹；②∠𝐸𝐹𝐷 = ∠𝐶𝐹𝐷；③𝐻𝐷 = 𝐻𝐹；④𝐵𝐻 − 𝐺𝐹 = 𝐻𝐺，其中 正确的结论有（ ） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 12．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 80°，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点 O，则∠𝐵𝑂𝐶 = 度． 13．如图，一根树在离地面 3 米处断裂，树的顶部落在离底部 4 米处．树折断之前有 米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 14．如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时 一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 15．如图，∠𝐴𝑂𝐵 = 45°，点M、N分别在射线 OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为 12，P是直线MN上 的动点，点 P关于 OA对称的点为𝑃 ，点 P关于 OB对称的点为𝑃 ，当点 P在直线 NM上运动时，△𝑂𝑃 𝑃 的 面积最小值为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解答题标记步骤分 16．（7 分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为 1 个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了 3 个 小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所 构成的图形是一个轴对称图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（7 分）如图，点 F、B、E、C 在同一直线上，若𝐵𝐹 = 𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐵 = 𝐷𝐸.求证：△ 𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐹． 18．（7 分）如图，一块草坪的形状为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，其中∠𝐵 = 90°, 𝐴𝐵 = 8𝑚, 𝐵𝐶 = 6𝑚，𝐶𝐷 = 24𝑚,𝐴𝐷 = 26𝑚．求这块草坪的面积． 19．（8 分）如图，一架长 5m 的梯子 AB 斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底 3m，如果梯子的顶端 沿墙下滑 1 m，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 m 吗？用所学知识论证你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（8 分）如图，每一个小正方形的边长为𝑚． (1)画出格点△ 𝐴𝐵𝐶关于直线𝐷𝐸的对称的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)在𝐷𝐸上画出点𝑃，使𝑃𝐴 + 𝑃𝐶最小； (3)在𝐷𝐸上画出点𝑄，使|𝑄𝐴 − 𝑄𝐵|最大； (4)求点𝐵到𝐴𝐶所在直线的距离． 21．（9 分）问题情境：已知 Rt△ABC 的周长为 56，斜边长 c=25，求△ABC 的面积． 解法展示：设 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a，b，则 a+b+c= ___， 因为 c=25，所以 a+b=___， 所以（a+b）2=___， 所以 a2+ ___=961 因为 a2+b2=c2， 所以 c2+2ab=961， 所以 ___+2ab=961， 所以 ab= 168（第 1 步） 所以△ABC 的面积=ab=× 168= 84（第 2 步）． 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第 1 步到第 2 步体现出来的数学思想是 ___（填序号）． ①整体思想； ②数形结合思想； ③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为 6，斜边长为 5，求这个直角三角形的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 22．（10 分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路 如图所示，现从 A地分别向 C、D、B三地修了三条笔直的公路𝐴𝐶、𝐴𝐷和𝐴𝐵，C地、D地、B地在同一笔 直公路上，公路𝐴𝐶和公路𝐶𝐵互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路𝐷𝐻与公路𝐴𝐵在H处连接，且公路𝐷𝐻和 公路𝐴𝐵互相垂直，已知𝐴𝐶 = 9千米，𝐴𝐵 = 15千米，𝐵𝐷 = 5千米． (1)求公路𝐶𝐷的长度； (2)若修公路𝐷𝐻每千米的费用是 200 万元，请求出修建公路𝐷𝐻的总费用． 23．（10分）如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿直线𝐴𝐸折叠，顶点D恰好落在𝐵𝐶边上的F点处，已知𝐶𝐸 = 3cm，𝐴𝐵 = 8cm． (1)求𝐶𝐹的长； (2)求𝐵𝐶的长． 24．（12 分）（1）如图 1：已知△ 𝐴𝐵𝐶中，以𝐴𝐵，𝐴𝐶为直角边向外作等腰直角三角形𝐴𝐵𝐷和等腰直角三角 形𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐶𝐷，则 BE 与𝐶𝐷的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图 2，已知△𝐴𝐵𝐶，以𝐴𝐵，𝐴𝐶为边向外作等边三角形𝐴𝐵𝐷和等边三角形𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐶𝐷，试判 断 BE 与𝐶𝐷有什么数量关系？并说明理由； （3）如图 3，要测量池塘两岸相对的两点𝐷，𝐶之间的距离，已经测得∠𝐴𝐷𝐵 = 60°，∠𝐴𝐶𝐵 = 30°，𝐵𝐶 = 300米， 400AC  米，且𝐴𝐷 = 𝐵𝐷，求𝐷𝐶的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（12 分）如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大 正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4＋（b－a）2，从而得到等式 c2＝ ab×4＋（b－a）2，化简便得结论 a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表 示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图 2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求 CD的长度． (2)如图 3，在△ABC中，AD是 BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设 BD＝x，求 x的值． ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第1章三角形+第2章轴对称+第3章勾股定理。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．太极曲线 D．蝴蝶形曲线 2．已知中，，则长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为，的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．有下列说法，其中正确的有　(　  　) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 8．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（   ） A． B． C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 10．如图，的内角平分线与外角的平分线交于点，过作分别交于两点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 12．在中，，与的平分线交于点O，则 度． 13．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米． 14．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 15．如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为 ．    三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解答题标记步骤分 16．（7分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形． 17．（7分）如图，点F、B、E、C在同一直线上，若，，求证：≌． 18．（7分）如图，一块草坪的形状为四边形，其中∠，．求这块草坪的面积．    19．（8分）如图，一架长5m的梯子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1 m，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1 m吗？用所学知识论证你的结论． 20．（8分）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 21．（9分）问题情境：已知Rt△ABC的周长为56，斜边长c=25，求△ABC的面积． 解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c= ___， 因为c=25，所以a+b=___， 所以（a+b）2=___， 所以a2+ ___=961 因为a2+b2=c2， 所以c2+2ab=961， 所以 ___+2ab=961， 所以ab= 168（第1步） 所以△ABC的面积=ab=× 168= 84（第2步）． 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 ___（填序号）． ①整体思想；   ②数形结合思想；     ③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 22．（10分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 23．（10分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处，已知，． (1)求的长； (2)求的长． 24．（12分）（1）如图1：已知中，以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则与的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图2，已知，以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，试判断与有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，已经测得，，米，米，且，求的长． 25．（12分）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年七年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1 2 5 6 10 A C A B D D D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.三角形具有稳定性 12.130 13.8 14.20 15.8 三、解答题：本大题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(7分) 【详解】如图所示： 7分 17.(7分) 【详解】证明：：BF=CE ÷BF+BE=CE+BE, --1分 即EF=CB, ---2分 在△ABC和△DFE中 AB=DE -5分 ∠ABC=∠DEF EF=CB ÷△ABC≌△DFE(SAS)· -7分 18.(7分) 【详解】解：连接AC, --1分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 "∠B=90°， B 在直角△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2, ÷AC2=82+62=100, ---3分 ÷AC=10m 4分 又CD=24mAD=26m, 在△ACD中， 102+242=262, :AC2+CD2=AD2,即△ACD是直角三角形， -5分 “S四边形A8m=ACCD-AB·BC=青×10×24支×8×6=96cm2 -6 分 答：该草坪的面积为96m2。 -7分 19.(8分) 【详解】在Rt△ACB中，BC=3,AB=5, 则AC=AB2BC=4米， -2分 DC=4-1=3米. 3分 在Rt△DCE中，DC=3,DE=5, 则CE=VDE2-DC2=4米， --7分 BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑动了1米. 。--8分 20.(8分) 【详解】(1)解：如图，△ABC即为所求： ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 而学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 D -2分 B E (2)如图，点P即为所求： ---4分 (3)如图，点Q即为所求： --6分 (4)过点B作BM⊥AC于点M, ”AC=V32+42=5 S△4Bc=AC·BM=是×5×BM=3×5-克×3×4-克×1×2-克×1×5， 六8M=号， 7分 点B到AC的距离为1出， -8分 5 21.(9分) 【详解】解：(1)Rt△ABC的周长为56， ..a+b+c=56, ∵c=25, ∴.a+b=31, ∴.(a+b)2=961, ∴.a2+2ab+b2=961 a2+b2=c2, ∴.c2+2ab=961, ∴.625+2ab961, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .ab=168(第1步) △ABC的面积号ab号×168=84（第2步）. 故答案为：①56②31③961（填312也可以）④2ab+b2 ⑤625 -3分 (2):由第1步到第2步中用了整体代入， 体现的数学思想是①， 故答案为① 。- -6分 (3)设直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c ,三角形面积为6 号ab-6, ∴.2ab=24 a2+b2-c2 ∴.a2+2ab+b2=52+2ab .(a+b)2=25+24=49. .7分 ,∵a+b>0 ∴.a时b=7-- -8分 所以这个直角三角形的周长是：a+b+c=7+5=12. -9分 22.(10分) 【详解】(1)解：：∠C=90°，AC=9千米，AB=15千米， BC=√AB2-AC2=12千米，-----2分 ,BD=5千米， ∴CD=7千米； 4分 (2)解：DH⊥AB, S△4BD=iBD:AC=AB·DH ，--6分 六DH=42=等=3千米 --8分 .修建公路DH的费用为3×200=600（万元）， -10分 23.(10分) 【详解】(1)解：由题意得∠C=90°，CD=AB=8cm, -1分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ..DE=CD-CE=5cm 3分 由折叠的性质可得DE=EF=5cm, CF=EF2-CE2 =4cm 5分 (2)解：由题意得AD=BC,∠B=90°， 设AD=BC=XCm,则BF=BC-CF=(x-4)cm,-6分 由折叠的性质可得AF=AD=xCm, 在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2+BF2=AF2, 小82+(x-4)2=x28分 解得x=10: ---9分 ….BC=10cm -10分 24.(12分) 【详解】解：(I):△ABD和△ACE是等腰直角三角形， ·AB=AD,AE=AC, :∠BAD=∠CAE=90°， ·∠BAD+∠BAC=∠CAE+BAC ·∠CAD=∠EAB, 在△EAB和△CAD中， AB=AD ∠EAB=∠CAD AE=AC ·△CAD≌△EAB(SASO)' ..BE=CD. 故答案为：BE=CD -4分 (2)结论：BE=CD 5分 理由：：△ABD和△ACE是等边三角形， ·AB=AD,AE=AC :∠BAD=∠CAE=90°， ÷∠BAD+∠BAC=∠CAE+BAC ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ÷∠CAD=∠EAB, -6分 在△EAB和△CAD中， AB=AD ∠EAB=∠CAD AE=AC .△CAD≌△EAB(SAS), -7分 ·BE=CD:- 8分 (3)如图3中，在AC的上方作等边△ACE,连接BE,AB E :AD=DB,∠ADB=60°， B 图3 ·△ADB是等边三角形， 9分 同法可证△BAE兰△DAC, ∴·BE=CD, :∠ACB=30°，∠ACE=60°， ÷∠BCE=90°，- --10分 在Rt△BCE中，CE=AC=400米，BC=300米， BE=VBC+EC2=V3002+4002=500(米).- -1】分 ÷CD=BE=500米，即DC的长为500米. -12分 25.(12分) 【详解】(1)解：在R1△4BC中，AB=32+42=5' 2分 由面积的两种算法可得：专×3×4=×5·CD' -4分 解得：CD=号 ---5分 (2)在R△ABD中，AD2=42-x2=16-2 7分 在R△4DC中，AD2=52.CD2=52.(6-x)2=-11+12x-x2 -9分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 所以16-x2=-11+12x-x2, -11分 解得：x=子 --12分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年七年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第 1 章三角形+第 2 章轴对称+第 3 章勾股定理。 5．难度系数： 0.7。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由 4 个 数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（ ） A． 笛卡尔心形线 B． 三叶玫瑰形曲线 C． 太极曲线 D． 蝴蝶形曲线 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．已知△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 5，𝐵𝐶 = 4，则𝐴𝐶长度的取值范围是（ ） A．1 < 𝐴𝐶 < 9 B．1 ≤ 𝐴𝐶 < 9 C．1 < 𝐴𝐶 ≤ 9 D．1 ≤ 𝐴𝐶 ≤ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】A 【详解】解：根据三角形的三边关系，得5 − 4 < 𝐴𝐶 < 5 + 4，即1 < 𝐴𝐶 < 9． 故选：A． 3．如图，工人师傅设计了一种测零件内径𝐴𝐵的卡钳，卡钳交叉点 O为𝐴𝐴 ，𝐵𝐵 的中点，只要量出𝐴 𝐵 的 长度，就可以道该零件内径𝐴𝐵的长度．依据的数学基本事实是（ ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【详解】解：由题意，得：𝑂𝐴 = 𝑂𝐴 ,∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐴 𝑂𝐵 ,𝑂𝐵 = 𝑂𝐵 ， ∴△𝐴𝑂𝐵 ≌△ 𝐴 𝑂𝐵 (SAS)， ∴𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵 ； ∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选 A． 4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】解：∵三角形的内角和等于 180 度，如果其中两个内角之和小于第三个内角， ∴第三个内角大于 90 度， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选：C． 5．有下列说法，其中正确的有 ( ) ①只有两个三角形才能完全重合； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【详解】解：①错误，不是三角形的图形也能全等； ②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同； ③错误，边长不同的正方形不全等； ④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形． 所以正确的只有一个. 故选 A． 6．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母 S表示所在 正方形的面积，其中 S的值恰好等于 5 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵每个正方形中的数及字母 S表示所在正方形的面积， ∴每个正方形中的数字以及字母 S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S=9+4=13，故选项 A 不符合题意； B、由勾股定理得：S=9－4=5，故选项 B 符合题意； C、由勾股定理得：S=4+3=7，故选项 C 不符合题意； D、由勾股定理得：S=4－3=1，故选项 D 不符合题意， 故选：B． 7．如图，一圆柱高 8cm，底面周长是 12cm，一只蚂蚁从点 A爬到点 B处吃食，要爬行的最短路程是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm 【答案】D 【详解】解：如图，将圆柱展开： ∵圆柱高 8cm，底面周长为 12cm， ∴BC＝8cm，AC＝6cm， 根据勾股定理得：AB＝√6 + 8 ＝10（cm）， 即爬行的最短路程是 10cm， 故选：D． 8．如图，△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵𝐴𝐶 = 80°，∠𝐴𝐶𝐵 = 70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A．∠𝐵𝐴𝑄 = 40° B．𝐷𝐸 = 𝐵𝐷 C．𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 D．∠𝐸𝑄𝐹 = 25° 【答案】D 【详解】∵∠𝐵𝐴𝐶 = 80°，∠𝐴𝐶𝐵 = 70°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，𝐴𝑄平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐴𝑃 = ∠𝐵𝐴𝐶 = 40°， 故选项 A 正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是 BC的垂直平分线， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴∠𝐷𝐸𝐵 = 90°， ∵∠𝐵 = 30°，∴𝐷𝐸 = 𝐵𝐷， 故选项 B 正确，不符合题意； C．∵∠𝐵 = 30°，∠𝐵𝐴𝑃 = 40°，∴∠𝐴𝐹𝐶 = 70°， ∵∠𝐶 = 70°，∴𝐴𝐹 = 𝐴𝐶， 故选项 C 正确，不符合题意； D．∵∠𝐸𝐹𝑄 = ∠𝐴𝐹𝐶 = 70°，∠𝑄𝐸𝐹 = 90°， ∴∠𝐸𝑄𝐹 = 20°； 故选项 D 错误，符合题意． 故选：D． 9．如图，点 P，Q是等边△ 𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的动点，它们分别从点 A，B同时出发，以相同的速度向点 B， C方向运动（不与点 B，C重合）．连接𝐴𝑄, 𝐶𝑃, 𝑃𝑄，其中𝐴𝑄与𝐶𝑃交于点M．针对点 P，Q的运动过程，下 列结论错误的是（ ） A．𝐵𝑄 = 𝐴𝑃 B．△𝐴𝐵𝑄 ≌△ 𝐶𝐴𝑃 C．△𝐵𝑃𝑄的形状可能是等边三角形 D． CMQ 的度数随点 P，Q的运动而变化 【答案】D 【详解】解：∵点 P，Q以相同的速度向点 B，C方向运动， ∴𝐵𝑄 = 𝐴𝑃；故选项 A 正确； ∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形， ∴𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶,∠𝐵 = ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 60°， 又𝐵𝑄 = 𝐴𝑃， ∴△𝐴𝐵𝑄 ≌△ 𝐶𝐴𝑃；故选项 B 正确； 当𝑃,𝑄为𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点时，𝐵𝑃 = 𝐵𝑄， ∵∠𝐵=60°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴△𝐵𝑃𝑄是等边三角形；故选项 C 正确； ∵△𝐴𝐵𝑄 ≌△ 𝐶𝐴𝑃， ∴∠𝐴𝐶𝑃 = ∠𝐵𝐴𝑄， ∴∠𝐶𝑄𝑀 = ∠𝐴𝐶𝑃 + ∠𝐶𝐴𝑀 = ∠𝐵𝐴𝑄 + ∠𝐶𝐴𝑀 = ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°， ∴ CMQ 是个定值；故选项 D 错误； 故选 D． 10．如图，𝛥𝐵𝐸𝐹的内角∠𝐸𝐵𝐹平分线𝐵𝐷与外角∠𝐴𝐸𝐹的平分线交于点𝐷，过𝐷作𝐷𝐻//𝐵𝐶分别交𝐸𝐹、𝐸𝐵于 𝐺、𝐻两点．下列结论：①𝑆 : 𝑆 = 𝐵𝐸: 𝐵𝐹；②∠𝐸𝐹𝐷 = ∠𝐶𝐹𝐷；③𝐻𝐷 = 𝐻𝐹；④𝐵𝐻 − 𝐺𝐹 = 𝐻𝐺，其中 正确的结论有（ ） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：过 D 作 DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF， ∵S△EBD＝ •BE•DM，S△FBD＝ •BF•DN，BD 是∠EBC 的平分线，DM⊥AB，DN⊥CB， ∴DM＝DN， ∴S△EBD：S△FBD＝BE：BF，①正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∵DE 是∠AEF 的平分线， ∴AD＝DO， ∵DB 是∠ABC 的平分线， ∴DA＝DN， ∴DO＝DN， ∴DF 是∠EFC 的平分线， ∴∠EFD＝∠CFD，②正确； ∵HD∥BF， ∴∠HDB＝∠FBD， 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠HBD＝∠CBD， 于是∠HBD＝∠HDB， 故 HB＝HD． 但没有条件说明 HF 与 HB 必然相等，③错误； 由于点 D 为△BEF 的内角∠EBF 平分线 BD 与外角∠AEF 的平分线的交点， 故 D 为△BEF 的内心， 于是 FD 为∠EFC 的平分线， 故∠CFD＝∠EFD， 又∵DH∥BC， ∴∠HDF＝∠CFD， 故∠GDF＝∠DFE， 于是 GF＝GD， 又∵HB＝HD， ∴HD−GD＝HG， 即 BH−GF＝HG，④正确． 故①②④正确． 故选：B． 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 11．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定 性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 80°，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点 O，则∠𝐵𝑂𝐶 = 度． 【答案】130 【详解】解：∵在△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 80°， ∴∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 100°， ∵∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点 O， ∴∠𝑂𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑂𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶 + ∠𝑂𝐶𝐵 = 50°， ∴ 130BOC  ， 故答案为：130． 13．如图，一根树在离地面 3 米处断裂，树的顶部落在离底部 4 米处．树折断之前有 米． 【答案】8 【详解】解： 2 23 4 25  ，√25 = 5，5 3 8m  ， ∴树折断之前的高度为 8 米． 故答案为：8． 14．如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时 一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【答案】20 【详解】分析：将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′B 的长度即 为所求． 详解：如图： 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B=√𝐴′𝐷 + 𝐵𝐷 = √16 + 12 = 20（cm）． 故答案为 20． 15．如图，∠𝐴𝑂𝐵 = 45°，点M、N分别在射线 OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为 12，P是直线MN上 的动点，点 P关于 OA对称的点为𝑃 ，点 P关于 OB对称的点为𝑃 ，当点 P在直线 NM上运动时，△𝑂𝑃 𝑃 的 面积最小值为 ． 【答案】8 【详解】解：如图，连接𝑂𝑃，过点𝑂作OH MN 交𝑁𝑀的延长线于H ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵𝑆△ = 𝑀𝑁 ⋅ 𝑂𝐻 = 12，且𝑀𝑁 = 6， ∴𝑂𝐻 = 4， ∵点𝑃关于𝑂𝐴对称的点为𝑃 ，点𝑃关于𝑂𝐵对称的点为𝑃 ， ∴∠𝐴𝑂𝑃 = ∠𝐴𝑂𝑃 ，∠𝐵𝑂𝑃 = ∠𝐵𝑂𝑃 ，𝑂𝑃 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃 ， ∵∠𝐴𝑂𝐵 = 45°， ∴∠𝑃 𝑂𝑃 = 2(∠𝐴𝑂𝑃 + ∠𝐵𝑂𝑃) = 2∠𝐴𝑂𝐵 = 90°， ∴△𝑂𝑃 𝑃 的面积为 𝑂𝑃 ⋅ 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃 ， 由垂线段最短可知，当点𝑃与点H 重合时，𝑂𝑃取得最小值，最小值为𝑂𝐻 = 4， ∴△𝑂𝑃 𝑃 的面积的最小值为 × 4 = 8， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解答题标记步骤分 16．（7 分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为 1 个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了 3 个 小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所 构成的图形是一个轴对称图形． 【详解】如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 --------------------------------7 分 17．（7 分）如图，点 F、B、E、C 在同一直线上，若𝐵𝐹 = 𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐵 = 𝐷𝐸.求证：△ 𝐴𝐵𝐶≌ △𝐷𝐸𝐹． 【详解】证明：∵ 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸， ∴ 𝐵𝐹 + 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 + 𝐵𝐸，--------------------------------1 分 即𝐸𝐹 = 𝐶𝐵，--------------------------------2 分 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐹𝐸中 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐹 𝐸𝐹 = 𝐶𝐵 ，--------------------------------5 分 ∴△ 𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)．--------------------------------7 分 18．（7 分）如图，一块草坪的形状为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，其中∠𝐵 = 90°, 𝐴𝐵 = 8𝑚, 𝐵𝐶 = 6𝑚，𝐶𝐷 = 24𝑚,𝐴𝐷 = 26𝑚．求这块草坪的面积． 【详解】解：连接𝐴𝐶，--------------------------------1 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∵ ∠𝐵 = 90°， 在直角△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 +𝐵𝐶 ， ∴ 𝐴𝐶 = 8 + 6 = 100，--------------------------------3 分 ∴ 𝐴𝐶 = 10𝑚，--------------------------------4 分 又∵ 𝐶𝐷 = 24𝑚, 𝐴𝐷 = 26𝑚， 在△𝐴𝐶𝐷中， 2 2 210 24 26  ， ∴ 𝐴𝐶 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 ，即△ 𝐴𝐶𝐷是直角三角形，--------------------------------5 分 𝑆四边形 = 𝐴𝐶 ⋅ 𝐶𝐷 − 𝐴𝐵 ⋅ 𝐵𝐶 = × 10 × 24 − × 8 × 6 = 96cm ，--------------------------------6 分 答：该草坪的面积为96𝑚 ．--------------------------------7 分 19．（8 分）如图，一架长 5m 的梯子 AB 斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底 3m，如果梯子的顶端 沿墙下滑 1 m，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 m 吗？用所学知识论证你的结论． 【详解】在 Rt△ACB 中，BC=3，AB=5， 则𝐴𝐶 = √𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 4米，--------------------------------2 分 DC=4-1=3 米．--------------------------------3 分 在 Rt△DCE 中，DC=3，DE=5， 则 2 2 4CE DE DC   米，--------------------------------7 分 BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了 1 米．--------------------------------8 分 20．（8 分）如图，每一个小正方形的边长为𝑚． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 (1)画出格点△ 𝐴𝐵𝐶关于直线𝐷𝐸的对称的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)在𝐷𝐸上画出点𝑃，使𝑃𝐴 + 𝑃𝐶最小； (3)在𝐷𝐸上画出点𝑄，使|𝑄𝐴 − 𝑄𝐵|最大； (4)求点𝐵到𝐴𝐶所在直线的距离． 【详解】（1）解：如图，△𝐴 𝐵 𝐶 即为所求； --------------------------------2 分 （2）如图，点𝑃即为所求；--------------------------------4 分 （3）如图，点𝑄即为所求；--------------------------------6 分 （4）过点𝐵作𝐵𝑀 ⊥ 𝐴𝐶于点𝑀， ∵𝐴𝐶 = √3 + 4 = 5， ∴𝑆△ = 𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝑀 = × 5 × 𝐵𝑀 = 3 × 5 − × 3 × 4 − × 1 × 2 − × 1 × 5， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴𝐵𝑀 = ，--------------------------------7 分 ∴点𝐵到𝐴𝐶的距离为 ．--------------------------------8 分 21．（9 分）问题情境：已知 Rt△ABC 的周长为 56，斜边长 c=25，求△ABC 的面积． 解法展示：设 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a，b，则 a+b+c= ___， 因为 c=25，所以 a+b=___， 所以（a+b）2=___， 所以 a2+ ___=961 因为 a2+b2=c2， 所以 c2+2ab=961， 所以 ___+2ab=961， 所以 ab= 168（第 1 步） 所以△ABC 的面积=ab=× 168= 84（第 2 步）． 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第 1 步到第 2 步体现出来的数学思想是 ___（填序号）． ①整体思想； ②数形结合思想； ③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为 6，斜边长为 5，求这个直角三角形的周长． 【详解】解：（1）∵Rt△ABC 的周长为 56， ∴a+b+c=56， ∵c=25， ∴a+b=31， ∴（a+b）2=961， ∴a2+2ab+b2=961 ∵a2+b2=c2， ∴c2+2ab=961， ∴625+2ab=961， ∴ab= 168（第 1 步） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴△ABC 的面积= ab= × 168= 84（第 2 步）． 故答案为：①56 ②31 ③961（填 312也可以） ④2ab+b2 ⑤625 --------------------------------3 分 （2）∵由第 1 步到第 2 步中用了整体代入， ∴体现的数学思想是①． 故答案为①．--------------------------------6 分 （3）设直角三角形的两直角边分别是 a、b， 斜边为 c ∵三角形面积为 6 ∴ ab=6， ∴2ab=24 ∵a2+b2=c2 ∴a2+2ab+b2=52 +2ab ∴（a+b）2=25+24=49--------------------------------7 分 ∵a+b˃0 ∴ a+b=7--------------------------------8 分 所以这个直角三角形的周长是：a+b+c=7+5=12．--------------------------------9 分 22．（10 分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路 如图所示，现从 A地分别向 C、D、B三地修了三条笔直的公路𝐴𝐶、𝐴𝐷和𝐴𝐵，C地、D地、B地在同一笔 直公路上，公路𝐴𝐶和公路𝐶𝐵互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路𝐷𝐻与公路𝐴𝐵在H处连接，且公路𝐷𝐻和 公路𝐴𝐵互相垂直，已知𝐴𝐶 = 9千米，𝐴𝐵 = 15千米，𝐵𝐷 = 5千米． (1)求公路𝐶𝐷的长度； (2)若修公路𝐷𝐻每千米的费用是 200 万元，请求出修建公路𝐷𝐻的总费用． 【详解】（1）解：∵∠𝐶 = 90°，𝐴𝐶 = 9千米，𝐴𝐵 = 15千米， ∴ 2 2 12BC AB AC   千米，--------------------------------2 分 ∵𝐵𝐷 = 5千米， ∴𝐶𝐷 = 7千米；--------------------------------4 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 （2）解：∵𝐷𝐻 ⊥ 𝐴𝐵， ∴𝑆△ = 𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐷𝐻，--------------------------------6 分 ∴𝐷𝐻 = ⋅ = × = 3千米--------------------------------8 分 ∴修建公路𝐷𝐻的费用为3 200 600  （万元）．--------------------------------10 分 23．（10分）如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿直线𝐴𝐸折叠，顶点D恰好落在𝐵𝐶边上的F点处，已知𝐶𝐸 = 3cm，𝐴𝐵 = 8cm． (1)求𝐶𝐹的长； (2)求𝐵𝐶的长． 【详解】（1）解：由题意得∠𝐶 = 90°，𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 = 8cm，--------------------------------1 分 ∴𝐷𝐸 = 𝐶𝐷 − 𝐶𝐸 = 5cm，--------------------------------3 分 由折叠的性质可得𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 5cm， ∴𝐶𝐹 = √𝐸𝐹 − 𝐶𝐸 = 4cm；--------------------------------5 分 （2）解：由题意得𝐴𝐷 = 𝐵𝐶，∠𝐵 = 90°， 设𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝑥cm，则𝐵𝐹 = 𝐵𝐶 − 𝐶𝐹 = (𝑥 − 4)cm，--------------------------------6 分 由折叠的性质可得𝐴𝐹 = 𝐴𝐷 = 𝑥cm， 在Rt △𝐴𝐵𝐹中，由勾股定理得𝐴𝐵 + 𝐵𝐹 = 𝐴𝐹 ， ∴8 + (𝑥 − 4) = 𝑥 ，--------------------------------8 分 解得𝑥 = 10，--------------------------------9 分 ∴𝐵𝐶 = 10cm--------------------------------10 分 24．（12 分）（1）如图 1：已知△ 𝐴𝐵𝐶中，以𝐴𝐵，𝐴𝐶为直角边向外作等腰直角三角形𝐴𝐵𝐷和等腰直角三角 形𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐶𝐷，则 BE 与𝐶𝐷的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图 2，已知△𝐴𝐵𝐶，以𝐴𝐵，𝐴𝐶为边向外作等边三角形𝐴𝐵𝐷和等边三角形𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐶𝐷，试判 断 BE 与𝐶𝐷有什么数量关系？并说明理由； （3）如图 3，要测量池塘两岸相对的两点𝐷，𝐶之间的距离，已经测得∠𝐴𝐷𝐵 = 60°，∠𝐴𝐶𝐵 = 30°，𝐵𝐶 = 300米， 400AC  米，且𝐴𝐷 = 𝐵𝐷，求𝐷𝐶的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 【详解】解：（1）∵△ 𝐴𝐵𝐷和△ 𝐴𝐶𝐸是等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷，𝐴𝐸 = 𝐴𝐶， ∵ ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐸 = 90°， ∴ ∠𝐵𝐴𝐷 + ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐸 + 𝐵𝐴𝐶， ∴ ∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐸𝐴𝐵， 在△𝐸𝐴𝐵和△ 𝐶𝐴𝐷中， 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 ， ∴△ 𝐶𝐴𝐷 ≌△ 𝐸𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆())， ∴𝐵𝐸 = 𝐶𝐷． 故答案为：𝐵𝐸 = 𝐶𝐷--------------------------------4 分 （2）结论：𝐵𝐸 = 𝐶𝐷．--------------------------------5 分 理由：∵△ 𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸是等边三角形， ∴ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷，𝐴𝐸 = 𝐴𝐶， ∵ ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐸 = 90°， ∴ ∠𝐵𝐴𝐷 + ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐸 + 𝐵𝐴𝐶， ∴ ∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐸𝐴𝐵，--------------------------------6 分 在△𝐸𝐴𝐵和△ 𝐶𝐴𝐷中， 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 ， ∴△ 𝐶𝐴𝐷 ≌△ 𝐸𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，--------------------------------7 分 ∴𝐵𝐸 = 𝐶𝐷；--------------------------------8 分 （3）如图 3 中，在𝐴𝐶的上方作等边△ 𝐴𝐶𝐸，连接 BE ，𝐴𝐵． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∵ 𝐴𝐷 = 𝐷𝐵，∠𝐴𝐷𝐵 = 60°， ∴△ 𝐴𝐷𝐵是等边三角形，--------------------------------9 分 同法可证△ 𝐵𝐴𝐸 ≌△𝐷𝐴𝐶， ∴𝐵𝐸 = 𝐶𝐷， ∵ ∠𝐴𝐶𝐵 = 30°，∠𝐴𝐶𝐸 = 60°， ∴ ∠𝐵𝐶𝐸 = 90°，--------------------------------10 分 在𝑅𝑡 △ 𝐵𝐶𝐸中，𝐶𝐸 = 𝐴𝐶 = 400米，𝐵𝐶 = 300米， ∴ 𝐵𝐸 = √𝐵𝐶 + 𝐸𝐶 = √300 + 400 = 500（米）．--------------------------------11 分 ∴ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐸 = 500米，即𝐷𝐶的长为 500 米．--------------------------------12 分 25．（12 分）如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大 正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4＋（b－a）2，从而得到等式 c2＝ ab×4＋（b－a）2，化简便得结论 a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表 示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图 2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求 CD的长度． (2)如图 3，在△ABC中，AD是 BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设 BD＝x，求 x的值． 【详解】（1）解：在 Rt△ABC中，AB＝√3 + 4 = 5，--------------------------------2 分 由面积的两种算法可得： × 3 × 4 = × 5 ⋅ 𝐶𝐷，--------------------------------4 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 解得：CD＝ ；--------------------------------5 分 （2）在 Rt△ABD中，𝐴𝐷 = 4 − 𝑥 = 16 − 𝑥 ，--------------------------------7 分 在 Rt△ADC中，𝐴𝐷 = 5 − 𝐶𝐷 = 5 − (6 − 𝑥) = −11 + 12𝑥 − 𝑥 ，--------------------------------9 分 所以16 − 𝑥 = −11 + 12𝑥 − 𝑥 ，--------------------------------11 分 解得：𝑥 = ．--------------------------------12 分 2024-2025学年七年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$