第二章 实数 单元练习2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列六个数：，0，0.080080008，，，，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．下列写法错误的是(　　) A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B．a C． D．b 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的结果是（ ）. A． B． C． D． 9．已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 10．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，， 所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．计算: . 12．若实数m满足，则m的取值范围是 ． 13．若，则的立方根是 ． 14．已知，，则 ． 15．若一个正整数的两个平方根为与，则这个数是 ． 16．例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 三、解答题（共72分） 17．解方程：（每问4分，共8分） (1)； (2)． 18．计算：（每问4分，共8分） (1) (2) 19．计算：（每问3分，共12分） (1) (2) (3) (4) 20． （共8分） 已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 21．（共12分）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    22．（每问4分，共12分）阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______． (2)化简：（请写出计算过程） (3) 23．（每问4分，共12分）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C D A A B B 1．C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，二次根式，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【详解】解：无理数有：，，，共3个， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，它们为相反数，其中正的平方根，就是这个数的算术平方根．0的算术平方根是0；负数没有平方根．根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 3．D 【分析】根据平方根的概念和性质，对每个选项分别分析、解答． 【详解】解：A、；故本选项正确，不符合题意； B、；故本选项正确，不符合题意； C、；故本选项正确，不符合题意； D、；故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的概念及性质，学生应熟知它们的区别． 4．D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据平方根和算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、9的平方根是，没有平方根，则此项错误，不符合题意； B、没有算术平方根，则此项错误，不符合题意； C、，4的平方根是，则此项错误，不符合题意； D、的平方根与算术平方根都是，则此项正确，符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由图可知：，， ． 故选：D 7．A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式进行计算，先将式子变形为，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 8．A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键. 先根据二次根式的性质列方程组求得x的值，进而求得y的值，最后代入代数式计算即可. 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴，即， ∴. 故选A. 9．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 则， ， ， ， 故选：B． 10．B 【分析】根据题意，直接代入确定，然后代入面积计算公式即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】题目主要考查求代数式的值，理解题意是解题关键． 11．0 【分析】先去根号，然后进行加减运算即可. 【详解】解：原式=﹣4+4=0. 故答案为0. 【点睛】本题主要考查平方根与立方根.解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 12．/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 13．2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键． 14．31.9 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：31.9． 15． 【分析】本题考查平方根的定义，解一元一次方程，由平方根的定义得出，解方程即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个正整数的两个平方根为与， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故答案为：． 16．45 【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n， ∵，， ∴在第45行， 故答案为：45． 17．(1)，； (2) 【分析】本题考查的是利用平方根，立方根的含义解方程； （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）利用立方根的含义把方程化为，再解一次方程即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∴； 18．(1)3 (2) 【分析】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的化简，完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，二次根式的性质分别化简，再计算加法即可； （2）先根据平方差公式及二次根式的性质化简括号内的二次根式，合并后再计算除法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．(1) (2) (3)1 (4)0 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质等知识． （1）先利用二次根式的性质化简，然后进行二次根式的加减法即可． （2）先利用二次根式的性质化简，然后进行二次根式的加减法即可． （3）先利用二次根式的性质化简，然后再进行减法运算． （4）先利用二次根式的性质化简，然后再进行减法运算． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 20．(1) (2)121 (3) 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 21．(1)；；；；；；；；；； (2)． 【分析】（）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； 分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果； 此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． 【详解】（1），，，，， 故答案为：；；；；； ，，，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，， 故答案为：；；；；；； （2）观察数轴可知： ，，， 原式 ． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）； 故答案为： ； （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消． 23．(1) (2)当A，C，E三点共线时 (3)13 【分析】（1）根据题意，，，，设．得到，利用勾股定理解得即可． （2）连接，根据当，当三点共线时，的值最小． （3）根据，构造．如图所示，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，，，，设．得到， 利用勾股定理，得， ． ∴． （2）解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小． 故条件为三点共线． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是长方形， 故． 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$