第四章 锐角三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

第四章 锐角三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．把的值代入计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 2．（本题3分）（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若，    ∴， 故答案选：B． 3．（本题3分）（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 5．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 6．（本题3分）（23-24九年级上·江西·期末）在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 7．（本题3分）（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据正方形面积计算公式可得，则，再由勾股定理得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， ∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 8．（本题3分）（2024·湖南·模拟预测）如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 9．（本题3分）（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 10．（本题3分）（2024九年级上·山东济南·专题练习）如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A、B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形的面积最小值为（   ）    A．10 B．8 C．6 D．该四边形面积无法取得最小值 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设直线解析式为，则代入可推出，再求出，得到，解直角三角形求出，，则；设，直线的解析式为，可得直线的解析式为，联立得，则，可得，则直线的解析式为，，则，根据即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 设直线解析式为， 把代入中得：，解得， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， ∵直线与反比例函数只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·练习）如果是锐角，，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12．（本题3分）（24-25九年级上·吉林·阶段练习）直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键． 【详解】解：， ， 代入函数可得， 解得， 故答案为：． 13．（本题3分）（2023·河南商丘·模拟预测）在中，，，，则的面积为 . 【答案】120 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形面积公式，先解直角三角形求出，再由勾股定理求出，最后再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 15．（本题3分）（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．点D在上，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点E， ，． 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 16．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用正方形性质和勾股定理求出的长，即的长，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴，， 由旋转得：， ∴， 故答案为：． 17．（本题3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．过点作于点，结合勾股定理和锐角三角函数即可求解； 【详解】解：过点作于点， 则 ，，， ， ∴， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 18．（本题3分）（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：①当点在线段上运动时，②当点在线段上运动时，运用解直角三角形、勾股定理等知识即可求得答案． 【详解】解：， 设，， 点从点出发沿向点运动，到达点时停止， 有以下两种情况： ①当点在线段上运动时，过点作于，过点作于，如图1， 在中，，，， ， ∴由勾股定理得，， 四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， 解得：或（负值舍去）， ． ②当点在线段上运动时，连接，过点作于，于，如图2所示： 同理，设，则，为直角三角形， 依题意得：，， ，， ， ， ， 即， 在中，， ， ，， ， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述：的长为1或． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 20．（本题6分）（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 21．（本题8分）（2024·山西·模拟预测）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：）    【答案】山峰的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 在中，，可求．在中，，可求，则．设的长为，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴．在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设的长为，则， ∵， ∴， 解得． 答：山峰的高度约为． 22．（本题8分）（九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 【答案】(1)的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里 (2)可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用： （1）作于E，于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出，求出，根据题意求出，根据正弦的定义求出； （2）设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，分别求出的长，勾股定理求出的长，判断即可． 【详解】（1）解：作于E，于F， 由题意得，，设海里， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里； （2）能，理由如下： 设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，， 由（1）知， ∴，， 由勾股定理，得： 故可以侦测到菲律宾渔船． 23．（本题9分）（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为； (2)纪念碑的实际高度为． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 24．（本题9分）（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 25．（本题10分）（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 26．（本题10分）（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点A在线段的垂直平分线上 (2) (3)存在使 【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可； （2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可； （3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，∵ ， ∴， 如图②所示，由题意得，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点A在线段的垂直平分线上； （2）解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作于G， 由（2）可知， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∵， ∴符合题意； 综上所述，存在使． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 锐角三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（本题3分）（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（23-24九年级上·江西·期末）在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 7．（本题3分）（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（2024·湖南·模拟预测）如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）（2024九年级上·山东济南·专题练习）如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A、B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形的面积最小值为（   ）    A．10 B．8 C．6 D．该四边形面积无法取得最小值 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·练习）如果是锐角，，那么的大小为 ． 12．（本题3分）（24-25九年级上·吉林·阶段练习）直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 13．（本题3分）（2023·河南商丘·模拟预测）在中，，，，则的面积为 . 14．（本题3分）（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 15．（本题3分）（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．点D在上，，连接，则 ． 16．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 17．（本题3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 18．（本题3分）（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 20．（本题6分）（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 21．（本题8分）（2024·山西·模拟预测）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：）    22．（本题8分）（九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 23．（本题9分）（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 24．（本题9分）（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 25．（本题10分）（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 26．（本题10分）（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$