专题11 双曲线的标准方程与性质七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题11 双曲线的标准方程与性质七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、双曲线的定义………………………………………………………………2 类型二、双曲线标准方程中的参数 4 类型三、焦点三角形 5 类型四、对称性 7 类型五、渐近线 10 类型六、离心率 12 类型七、与其他章节融合…………………………………………………………. 14 压轴能力测评（10题） 15 1. 双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 容易忽视双曲线定义的限制条件，在双曲线的定义中，对常数加了一个条件，即常数小于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为两条射线或无轨迹。 2.双曲线标准方程中的参数 确定双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。 3.焦点三角形 双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，其中||PF1|-|PF2||＝2a两边平方是常用技巧； 常见结论：①若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. ②P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. 4.对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过双曲线中心的直线与双曲线相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与双曲线相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与双曲线相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等； 5. 渐近线 －＝1(a>0，b>0) 渐近线方程为：y＝±x； －＝1(a>0，b>0) 渐近线方程为：y＝±x； 等轴双曲线渐近线互相垂直，共轭双曲线有共同的渐近线。 6.离心率 e＝，且e，等轴双曲线e＝；共轭双曲线的离心率的倒数的平方和等于1。 7. 与其他章节融合 与三角形、不等式以及平面向量等章节融合。 类型一、双曲线的定义 例．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】记的右焦点为， 由题意可知：双曲线的一条渐近线为，可知点在的渐近线上， 且，即， 且，，则， 可知和均为等边三角形， 则，即， 所以双曲线的方程为. 不妨设A在上方， 则的周长为， 又因为的直线方程为，与双曲线方程联立得， 整理得，解得， 且，可知，所以的周长为. 故答案为：. 【变式训练1】双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为，可得，解得，所以， 又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 【变式训练2】若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 类型二、双曲线标准方程中的参数 例．（多选）已知方程，则（   ） A． 时，方程表示椭圆 B． B．时，所表示的曲线离心率为 C． 时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得； 【详解】解：因为， 对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确； 对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确； 对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误； 故选：BC 【变式训练1】（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当k=4时，曲线C为圆 B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件 D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为 【答案】ABC 【分析】A．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状； B．将，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程； C．先分析曲线为焦点在轴上的椭圆时对应的的取值范围，再根据区间与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件； D．根据离心率为分析出双曲线方程中的关系，由此求解出的值并进行判断. 【详解】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为，为圆心在原点，半径为的圆，所以选项A正确； 对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为，，， 焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以选项B正确； 对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足，解得，则， 所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确； 对于D选项，当曲线C的方程表示离心率为的双曲线时， 有，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4， 此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为，所以选项D错误； 故选：ABC. 类型三、焦点三角形 例．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为 ． 【答案】 【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b， ∴． 设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则， 设∠=θ，在△中，由余弦定理得， ， 即，化简可得， ∴， ∵， ，，，，． 故答案为：． 【变式训练1】设双曲线C:（）的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为______. 【答案】 【分析】方法一：利用，可列出的面积方程和勾股定理方程，结合题意即可解题； 方法二：根据焦点三角形的面积公式列出方程求解即可. 【详解】 方法一：不妨设双曲线左支上，，则， ∵， ∴①，且②， 又∵离心率为，∴③； 解①②③得，则. ∴双曲线方程为. 方法二:， 又∵离心率为， ∴ ， ∴，则双曲线方程为. 故答案为：. 【变式训练2】设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】令双曲线的焦点，设， 则，即有， ，同理， 而，故， 因此， 即，所以双曲线C的离心率. 故选：D 类型四、对称性 例．已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立． (1)求该双曲线的标准方程； (2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用双曲线的定义可得，然后利用两边之和大于第三边以及可得，即可求得方程； （2）设，则，得到直线，的方程，两条方程与可得到，然后算出的范围即可 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由及双曲线的定义，得，解得， 由可得， 又恒成立，所以，解得． 因为该双曲线离心率小于等于，所以，即，解得， 所以，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为，所以点只能在双曲线的右支上，    设，则， 因为在双曲线上，所以， 易得，所以直线的斜率为， 直线的方程为①， 同理可求得直线的方程为②， 由①×②得③， 将代入③得，化简得， 令①=②即，化简得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 【变式训练1】倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 . 【答案】 【分析】设出直线方程方程与双曲线方程联立，利用弦长公式进行求解即可. 【详解】由双曲线标准方程可知：，所以有， 因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点， 所以直线方程方程为，与双曲线联立得： ，设，， 因此有：， 所以. 故答案为： 【变式训练2】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意，结合图形的对称性可得四边形为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定理求解即可. 【详解】如图，若在第一象限，因为，所以， 由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以， 又因为，所以，， 在中，，解得．    故选：B 类型五、渐近线 例．经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】作出图形，设，则，利用二倍角正切公式求出的值，计算出、，由可求得的值. 【详解】如下图所示： 设，则， 则， 双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为， 因为，则，故， 由勾股定理可得， 因为，整理可得， 又因为，解得. 故选：D 【变式训练1】已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 当时，，即，又， 因为M是线段的中点，所以，得， 所以，即， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 【变式训练2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线右焦点为，连接. 又中，，则, 由直线可得，则， 又由双曲线可得， 则，则有，即 又，则有， 整理得，解之得 则双曲线的渐近线方程为.    故选：C 类型六、离心率 例．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】方法一：依题意，设，则， 在中，， 则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二：依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为： 【变式训练1】已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】B 【详解】由，故，则， 即双曲线与圆有交点， 即，即，即， 即双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B. 【变式训练2】知，为双曲线（，）的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 E．均不是 【答案】A 【详解】如图， 设，，， 则（当且仅当在顶点时取等号）， 所以，即， 所以. 故选：A. 类型七、与其他章节融合 例．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，交双曲线的左支于点M，直线交双曲线的右支于另一点N，若，，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由双曲线的定义得，又，得．又， 所以，又，所以． 设，则，． 由，得， 即，得，因此． 在中，． 在中，由余弦定理得，得， 所以，得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故答案为：.    【变式训练1】已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，且， 在中，由余弦定理得： . 因为，所以， 平方化简整理得，. 又，所以，即， 所以，得，则. 故选：B. 1．已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立； 当时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立； 所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知直线与双曲线相交于不同的两点，，，为双曲线的左右焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在双曲线上，所以根据双曲线的定义，可得， 又因为，所以，. 因为点是的中点，所以，平方后得①. 在中利用余弦定理可得：， 即②. ①②两式联立得：. 又因为在双曲线中，所以，即. 所以渐近线方程为. 故选：C 3．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设圆心为，直线与圆相切于点， 则故， 由于，所以，故， 因此在，由， 故，即. 故选：D 4．已知双曲线，直线. 双曲线上的点到直线的距离最小，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意得直线与双曲线无交点； 设直线的平行线，直曲联立， 整理得：， 由直线与双曲线相切知：， 解得，由图形可知时，双曲线上的点到直线的距离最小， 代入，即，解得. 故选：D. 5.（多选）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，，利用余弦定理结合，，进而可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为直线：， 可知直线过右焦点，斜率， 设直线的倾斜角为，则，可得， 设， 由，可得，，，故B正确； 在中，可知， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去）， 可得双曲线的离心率为，，故A正确，D错误； 在中，可知， 由余弦定理， 即，解得，故C错误； 故选：AB. 6．（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．当轴时， D．过点作，垂足为 【答案】ACD 【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出，K为的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得，判断D. 【详解】对于A，由双曲线可知，右顶点， 其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2， 不妨取渐近线，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，由于， 故双曲线的离心率为，B错误； 对于C，，当轴时，将代入中， 得，即得， 由于P在双曲线右支上，故，C正确； 对于D，连接并延长交的延长线于E， 由题意知，为的角平分线，结合， 可知，K为的中点，而O为的中点， 故，D正确， 故选：ACD 7．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】记的右焦点为， 由题意可知：双曲线的一条渐近线为，可知点在的渐近线上， 且，即， 且，，则， 可知和均为等边三角形， 则，即， 所以双曲线的方程为. 不妨设A在上方， 则的周长为， 又因为的直线方程为，与双曲线方程联立得， 整理得，解得， 且，可知，所以的周长为. 故答案为：. 8．已知椭圆，直线与椭圆交于两点（点在点上方），为坐标原点，以为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则的离心率的最大值为____________. 【答案】 【详解】椭圆的左顶点为，直线过点， 且直线与椭圆交于两点（点在点上方），所以， 因为，只要，即只要. 联立 ， 得，即（*） 注意到为方程（*）的一个根，故， 则， 所以点，可得， 由于，故， 令，得， 即，所以离心率的取值范围是，则的离心率的最大值为. 故答案为： 9．已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解； （2）利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为. 因为双曲线经过点，所以，解得. 故双曲线的方程为. （2）证明：因为为的中点，所以. 设直线的方程为， 所以， 直线的方程为， 直线的方程为. 联立, 可得， 所以 又因为，所以， 则. 同理可得. , ， 所以. 故三点共线. 10.在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求点的坐标,使得的面积最小. 【答案】(1)；(2)存在或；(3)的坐标是或或或 【分析】（1）根据渐近线方程得,点在双曲线上得,列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图:    根据题意得:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为,所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图:      因为, 由（2）知,即,代入上式得: , 当且仅当,即时等号成立, 此时, 所以的坐标是或或或时,的面积最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 双曲线的标准方程与性质七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、双曲线的定义………………………………………………………………2 类型二、双曲线标准方程中的参数 4 类型三、焦点三角形 5 类型四、对称性 7 类型五、渐近线 10 类型六、离心率 12 类型七、与其他章节融合…………………………………………………………. 14 压轴能力测评（10题） 15 1. 双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 容易忽视双曲线定义的限制条件，在双曲线的定义中，对常数加了一个条件，即常数小于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为两条射线或无轨迹。 2.双曲线标准方程中的参数 确定双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。 3.焦点三角形 双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，其中||PF1|-|PF2||＝2a两边平方是常用技巧； 常见结论：①若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. ②P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. 4.对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过双曲线中心的直线与双曲线相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与双曲线相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与双曲线相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等； 5. 渐近线 －＝1(a>0，b>0) 渐近线方程为：y＝±x； －＝1(a>0，b>0) 渐近线方程为：y＝±x； 等轴双曲线渐近线互相垂直，共轭双曲线有共同的渐近线。 6.离心率 e＝，且e，等轴双曲线e＝；共轭双曲线的离心率的倒数的平方和等于1。 7. 与其他章节融合 与三角形、不等式以及平面向量等章节融合。 类型一、双曲线的定义 例．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 . 【变式训练1】双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练2】若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 类型二、双曲线标准方程中的参数 例．（多选）已知方程，则（   ） A． 时，方程表示椭圆 B． B．时，所表示的曲线离心率为 C． 时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【变式训练1】（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当k=4时，曲线C为圆 B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件 D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为 类型三、焦点三角形 例．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为 ． 【变式训练1】设双曲线C:（）的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为______. 【变式训练2】设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（   ） A． B． C．3 D．2 类型四、对称性 例．已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立． (1)求该双曲线的标准方程； (2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程． 【变式训练1】倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 . 【变式训练2】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 类型五、渐近线 例．经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 类型六、离心率 例．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【变式训练1】已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【变式训练2】知，为双曲线（，）的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 E．均不是 类型七、与其他章节融合 例．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，交双曲线的左支于点M，直线交双曲线的右支于另一点N，若，，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【变式训练1】已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知直线与双曲线相交于不同的两点，，，为双曲线的左右焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（   ）． A． B． C． D． 3．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．已知双曲线，直线. 双曲线上的点到直线的距离最小，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C． D． 6．（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．当轴时， D．过点作，垂足为 7．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 . 8．已知椭圆，直线与椭圆交于两点（点在点上方），为坐标原点，以为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则的离心率的最大值为____________. 9．已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线. 10.在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求点的坐标,使得的面积最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$