专题12相似三角形中的六类基础模型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题12 相似三角形中的六类基础模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、A字模型 1 类型二、8字模型 4 类型三、射影定理 6 类型四、三角形内接矩形模型 12 类型五、三平行模型 类型六、线束模型 压轴能力测评（10题） 13 类型一、 A字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ①∆ADE~∆ABC ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD 若∠1=∠2 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD [补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型 [双反A字模型] 若∠1=∠2=∠3 ①∆AEB~∆DEA~∆DAC ②AB•AC=BE•CD ③()2= 类型二、 8字模型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥CD ①∆AOB~∆COD ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆AOB~∆COD 类型三、射影定理 已知 图示 结论（性质） 若∠ABC=∠ADB=90° ①∆ABC~∆ADB~∆BDC ②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） ③AB•BC=BD•AC（面积法） 类型四、 三角形内接矩形模型 已知 图示 结论（性质） 若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC ①∆ABC~∆ADG ② ③若四边形DEFG为正方形 即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值 类型五、 三平行模型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥EF∥CD ① ② 类型六、线束模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ① （左图） ②（右图） 若AB∥CD ①（左图） ②（右图） 类型一、A字模型 例．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵AE=2，EC=3， ∴AC=AE+EC=5， ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式训练1】．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　） A． B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】试题解析：由题意得：DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∵∠C=∠DEA， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB, ∴=, ∵A′为CE的中点， ∴C A′=E A′， ∴C A′=E A′=AE， ∴==， ∴DE=1. 故选D. 【变式训练2】中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【变式训练3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 类型二、8字模型 例．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵AE∥DF， ∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D， ∴△CEG∽△CDH， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵AB∥CD，AE∥DF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵AE∥DF， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵AE∥DF， ∴△BFH∽△BAG， ∴， ∵AB＞FA， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键． 【变式训练1】．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD ∵E为CD的中点， ∴DE：CD=1：2 ∵AB//DE ∽， ：：：4，EF:AF=1:2 设，则， ：：2， ：：：2， ， ， 是平行四边形ABCD的对角线， ， ， ：：：5． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 【变式训练2】．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 【变式训练3】．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出， 即可得出答案； 【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 类型三、射影定理 例．如图，在中，，于点，设，，，. 求证：（1）. （2）. （3）以，，为边的三角形是直角三角形. 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）要证明，只需证=1即可，在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证． （2）根据三角形的面积公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a2+b2=c2，再利用完全平方公式整理即可得证； （3）先分别求出（a+b）2，h2，（c+h）2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】证明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB， ,即， ∵====1， ∴； (2)∵CD⊥AB,∠ACB=90∘， ∴S△ABC=ab=ch， ∴ab=ch， ∵∠ACB=90°， ∴a2+b2=c2， ∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2， ∵a、b、c、h都是正数， ∴(a+b)2<(c+h)2， ∴a+b<c+h； (3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2； h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面积公式推导)， ∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2， ∴(c+h)2=h2+(a+b)2， ∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质. 【变式训练1】．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， （1）找出图中所有的相似三角形，分别是 ； （2）求证： 【答案】（1）△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．（2）证明见解析． 【详解】试题分析：（1）由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，即可证得∠ADC=∠BDC=90°，又由同角的余角相等，证得∠A=∠BCD，根据有两角对应相等的三角形相似，证得△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD； （2）由相似三角形的对应边成比例，证得结论． 试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD． （2）∵△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2=AD•BD． 考点：相似三角形的判定与性质． 【变式训练2】．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似 (2)见解析 (3)顶点A的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算． （1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明； （3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ③，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为或． 【变式训练3】．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形． (1)如图1，在，，，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点； (2)如图2，在中，，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再由为的角平分线，求出，所以和是相似的两个等腰三角形，并且，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可证明结论 （2）由点D是的黄金分割点，可得比例式，利用此比例式求出，再根据相似三角形的判定方法证得，则，即可求解的长 【详解】（1）证明：在中，，， ∵为的角平分线， ， ． ， 即 点为腰的黄金分割点； （2）解：点是的黄金分割点， ． 又， ，是斜边上的高， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判定和性质以及黄建分割的定义是解答此题的关键． 类型四、 三角形内接矩形模型 例．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 【变式训练1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 【答案】（1）12cm；（2） 【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案； （2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案． 【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm， ∴BC＝＝25（cm）， ∵BC×AD＝AB×AC， ∴AD＝＝＝12（cm）； 即BC边上的高为12cm； （2）设正方形EFGH的边长为xcm， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC． ∴＝，即＝， 解得：x＝， 即正方形EFGH的边长为cm． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练2】．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t； （2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值； （3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式； （4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值． 【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB， ∴∠A＝∠ADP＝45°， ∴AP＝DP＝2t， 故答案为2t， （2）如图， ∵四边形DEFP是正方形， ∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°， ∵∠A＝∠B＝45°， ∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°， ∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF， ∵AB＝AP+PF+FB， ∴2t+2t+2t＝8， ∴t＝； （3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积， 即S＝DP2＝4t2， 当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积， ∵AP＝DP＝PF＝2t， ∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t， ∵BF＝HF＝8﹣4t， ∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8， ∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE， ∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32， 综上所述，S与t之间的函数关系式为. （4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝5a， ∴， ∴， ∴t＝， 如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝3a， ∵， ∴， ∴t＝， 综上所述：t＝或. 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键． 类型五、 三平行模型 例．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】解：∵， ∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB， ∴， ∵， ∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， △BGH∽△BDC， ∴， ∴， ∵AB=2，CD=3， ∴， 解得：GH=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式训练1】．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 【变式训练2】．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF． （1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 【答案】（1）见解析（2）2 【分析】（1）通过已知条件，易证△ADF≌△CDE，即可求得； （2）根据＝，易求得BE和BF，根据已知条件可得＝＝，证明△AMF∽△CMD，，再证明△ABC～△MEC,即可求出ME． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE， 又∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF， ∴∠ADF＝∠CDE， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE， ∴CE＝AF． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 由（1）得：CE＝AF＝2， ∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x， ∵＝，AF＝2， ∴，解得x＝， ∴BE＝BF＝， ∵＝，且CE＝AF， ∴＝＝， ∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF， ∴△AMF∽△CMD， ∴， ∴，且∠ACB＝∠ACB, ∴△ABC～△MEC,    ∴∠CAB＝∠CME=∠ACB， ∴ME=CE=2． 【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和性质是解答此题的关键． 类型六、 线束模型 例．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，，求证：、互相平分． （1）请结合图1，写出证明过程： 证明：连结、． ，， ______．同理可得______． ____________． ∴，互相平分． 【探索应用】 （2）如图2，在图（1）条件下，点为的中点，连接交于点，设与交于点． ①求证：； ②求的值； （3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值． 【答案】（1），，四边形是平行四边形；（2）①证明见解析；②；（3）的值为． 【分析】（1）由三角形中位线定理及平行四边形的判定可得出答案； （2）①证出，根据可证明；②由三角形中位线定理可得出答案； （3）分两种情况，由菱形的性质及相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：连结、． ，， ，同理可得． 四边形是平行四边形， 、互相平分； （2）解：①，， 为的中位线， ， ，， 点为的中点， ，点为的中点， ， ， 在和中， ， ； ②为的中位线， ， ， ， ； （3）解：四边形是菱形， ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， ， ， 分两种情况：①如图，当时，则， ， ， 在中，， ． ②如图，当 时，则， ，， ， 在中，， ． 综上所述， 的值为． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质及菱形的性质是解题的关键． 【变式训练1】．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 【变式训练2】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 【答案】（1）12cm；（2） 【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案； （2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案． 【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm， ∴BC＝＝25（cm）， ∵BC×AD＝AB×AC， ∴AD＝＝＝12（cm）； 即BC边上的高为12cm； （2）设正方形EFGH的边长为xcm， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC． ∴＝，即＝， 解得：x＝， 即正方形EFGH的边长为cm． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练3】．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 1．如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M，若，则线段的长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似 三角形的判定方法是解决问题的关键； 根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 2．如图，点分别在的边上，已知，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选B． 3．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．根据相似三角形的判定与性质得到，再根据相似三角形的性质可求出． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ． 故选：B 4．如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：D． 5．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 6．已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 7．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． (1)如图1，连接，若平分，，试求的长度； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，，，试求的面积． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)27 【分析】（1）根据三角形中位线定义以及角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质可得即可； （2）利用三角形中位线定理可得，，再根据相似三角形的判定和性质，得出即可； （3）根据全等三角形、等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系判断是等腰直角三角形，再根据三角形面积的计算方法以及（2）的结论进行计算即可． 本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握三角形中位线定理、三角形全等 的判定和性质以及等腰三角形的性质是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，连接， 、分别是边、边上的中线， 是的中位线， ，且， ， 平分， ， ， ， 即的长度为3； （2）证明：、分别是边、边上的中线， 是的中位线， ，且， ，， ， ， ； （3）解：延长交于点， ，、分别是、边上的中线， ，， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， ， ， 是等腰三角形的顶角平分线， ，， 即， ， ， 又，， ，， ， ． 8．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，推出，得出，根据，推出，得出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的应用，关键是得出△DOF∽△DBE． 9．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 10．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质可得，然后根据平行线的判定可得，，最后根据平行四边形的判定即可得证； （2）①先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据（1）已求，从而可得，然后根据线段的和差即可得； ②先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，由此即可得证． 【详解】（1）∵是等边三角形 ∴， 在中， ∴ ∵点是线段的中点 ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形； （2）①如图，连接，交于点 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴； ②如图，作，垂足为 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12相似三角形中的六类基础模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、A字模型 1 类型二、8字模型 4 类型三、射影定理 6 类型四、三角形内接矩形模型 12 类型五、三平行模型 类型六、线束模型 压轴能力测评（10题） 13 类型一、 A字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ①∆ADE~∆ABC ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD 若∠1=∠2 ①∆ADE~∆ABC ②AC2=AB•AD [补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型 [双反A字模型] 若∠1=∠2=∠3 ①∆AEB~∆DEA~∆DAC ②AB•AC=BE•CD ③()2= 类型二、 8字模型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥CD ①∆AOB~∆COD ② 若∠1=∠2或∠3=∠4或 ①∆AOB~∆COD 类型三、射影定理 已知 图示 结论（性质） 若∠ABC=∠ADB=90° ①∆ABC~∆ADB~∆BDC ②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） ③AB•BC=BD•AC（面积法） 类型四、 三角形内接矩形模型 已知 图示 结论（性质） 若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC ①∆ABC~∆ADG ② ③若四边形DEFG为正方形 即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值 类型五、 三平行模型 已知 图示 结论（性质） 若AB∥EF∥CD ① ② 类型六、线束模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥BC ① （左图） ②（右图） 若AB∥CD ①（左图） ②（右图） 类型一、A字模型 例．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【变式训练1】．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　） A． B．3 C．2 D．1 【变式训练2】中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【变式训练3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 类型二、8字模型 例．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【变式训练2】．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【变式训练3】．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 类型三、射影定理 例．如图，在中，，于点，设，，，. 求证：（1）. （2）. （3）以，，为边的三角形是直角三角形. 【变式训练1】．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， （1）找出图中所有的相似三角形，分别是 ； （2）求证： 【变式训练2】．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【变式训练3】．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形． (1)如图1，在，，，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点； (2)如图2，在中，，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长． 类型四、 三角形内接矩形模型 例．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【变式训练1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 【变式训练2】．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 类型五、 三平行模型 例．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【变式训练1】．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【变式训练2】．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF． （1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 类型六、 线束模型 例．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，，求证：、互相平分． （1）请结合图1，写出证明过程： 证明：连结、． ，， ______．同理可得______． ____________． ∴，互相平分． 【探索应用】 （2）如图2，在图（1）条件下，点为的中点，连接交于点，设与交于点． ①求证：； ②求的值； （3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值． 【变式训练1】．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【变式训练2】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 【变式训练3】．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 1．如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M，若，则线段的长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．如图，点分别在的边上，已知，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若，则的值为（   ） 5．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 6．已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 7．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． (1)如图1，连接，若平分，，试求的长度； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，，，试求的面积． 8．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 9．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 10．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$