24.4 弧长和扇形公式（第二课时）（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.4 弧长和扇形公式（第二课时）分层作业 基础训练 一、单选题 1．（2023九年级·云南·学业考试）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西安康·一模）若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·云南·模拟预测）用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（    ） A． B．1 C． D．4 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则展开图扇形的弧长为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（   ） A．3 B． C． D．2 6．（23-24九年级上·山东烟台·期末）将矩形纸片按如图所示进行裁剪，所裁剪出的扇形与圆刚好能够做成一个圆锥．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知圆锥的高与母线夹角，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为（　　） A． B． C． D．3 8．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 10．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 二、填空题 11．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为，母线长为，则圆锥形纸帽的侧面积为 （结果保留含的式子）． 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 13．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为 ． 14．（2023·山东聊城·模拟预测）蒙古包可以近似地看作由圆柱和圆锥组成．其中，底面圆半径为，圆锥高为，圆柱高为，门的高和宽分别为和，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛毡（接缝忽略不计），那么所需要羊毛毡的面积为 ． 15．（2023·浙江·模拟预测）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．则蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径长为 ．（结果保留根号）． （2）如图②中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成，点A在圆柱的底面圆周上，点B在母线上．当蚂蚁从点A以最短路径爬行到点B时与圆锥底面交于点E．若母线长为，圆柱的高为，的长为，的长为，则蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径长为 （取3）． 三、解答题 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 17．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 18．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 19．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4 弧长和扇形公式（第二课时）分层作业 基础训练 一、单选题 1．（2023九年级·云南·学业考试）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆锥的底面半径为，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：留下的扇形的弧长为， 则圆锥的底面半径为， 圆锥的高为． 故选：C 2．（2023·陕西安康·一模）若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆的半径是，根据圆的周长公式得出，再求出即可． 本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥底面圆的周长是解此题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径是， 则， 解得：， 即圆锥底面圆的半径是， 故选：B． 3．（2023·云南·模拟预测）用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设这个圆锥的底面圆半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 根据题意得， 解得， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故选：B 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则展开图扇形的弧长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥和扇形的相关计算，根据扇形面积公式先计算出扇形的半径，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设展开图扇形的半径为r， 由题意知， 解得， 展开图扇形的弧长， 故选D． 5．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆锥的侧面积．熟练掌握等边三角形的性质，圆锥的侧面积，其中是圆锥的底面周长，是圆锥的母线长，是解题的关键． 设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：A． 6．（23-24九年级上·山东烟台·期末）将矩形纸片按如图所示进行裁剪，所裁剪出的扇形与圆刚好能够做成一个圆锥．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的展开图，弧长公式，设，则小圆的直径为，根据弧长等于底面圆的周长，列等式解答即可． 【详解】设，则小圆的直径为， 根据题意，得， 解得， 故选C． 7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知圆锥的高与母线夹角，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数，设母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，底面圆半径为r，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等圆圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于n的方程即可． 【详解】解：设母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，底面圆半径为r， ∵圆锥的高与母线夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故选C． 8．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10， 则底面周长为，， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，． 故选：D． 9．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵底面半径是，母线长为， ∴， ∴侧面扇形圆心角为：， ∴， ∵为母线中点， ∴， 由两点间线段距离最短得， ， 故选：B． 10．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为，母线长为，则圆锥形纸帽的侧面积为 （结果保留含的式子）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，实数的混合运算等知识点，熟练掌握圆锥侧面积底面圆的周长母线长是解题的关键． 根据圆锥侧面积底面圆的周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥侧面积底面圆的周长母线长 ， 故答案为：． 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/216度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理及弧长公式，首先根据圆锥的高与母线之比为，设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为，利用勾股定理即可得到圆锥底面半径的长为，然后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长为，再利用弧长公式列出方程，即可求得． 【详解】解：设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为， 圆锥底面半径的长为， ， 解得：， 其侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 13．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据展开后的半圆弧长等于圆锥形烟囱帽的底面周长列方程求解即可．解题的关键是掌握：圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥的母线长． 【详解】解：设母线的长为， 由题意得：， 解得：， ∴母线的长为， 故答案为：． 14．（2023·山东聊城·模拟预测）蒙古包可以近似地看作由圆柱和圆锥组成．其中，底面圆半径为，圆锥高为，圆柱高为，门的高和宽分别为和，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛毡（接缝忽略不计），那么所需要羊毛毡的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱、圆锥的侧面积计算的实际应用，根据底面圆的半径，再利用勾股定理计算出母线长，根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，求它们的和，再减去门的面积即可得到答案，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵底面圆半径为，圆锥高为， ∴圆锥母线长为， ∴需要羊毛毡的面积为，， 故答案为：． 15．（2023·浙江·模拟预测）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．则蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径长为 ．（结果保留根号）． （2）如图②中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成，点A在圆柱的底面圆周上，点B在母线上．当蚂蚁从点A以最短路径爬行到点B时与圆锥底面交于点E．若母线长为，圆柱的高为，的长为，的长为，则蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径长为 （取3）． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆柱与圆锥的侧面展开图——最短路径问题，熟练掌握弧长公式，勾股定理解直角三角形，等边三角形的判断和性质，作辅助线构造出直角三角形，是解本题的关键． （1）先判断出为等边三角形，进而得出是等边三角形的高，即可得出结论； （2）在侧面展开图中，连接，延长交于点，设，根据，，得到，根据弧长公式得到，得到，即得的长． 【详解】（1）如图，为圆锥侧面展开图相关部分，连接，，，设． ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点B是中点，， ∴， ∴， ∴． ∵最短的路径是线段， ∴最短路径的长为； 故答案为：； （2）如图④，线段AB是蚂蚁从点A爬行到点的最短路径，连接，，，延长交于点，则四边形是矩形， 由展开图可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 17．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 18．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 19．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$