特训04 2.1-2.5 等腰三角形 逆命题与逆定理（浙江精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训04 2.1-2.5 等腰三角形 逆命题与逆定理（浙江精选） 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·浙江衢州·阶段练习）下列命题是假命题的是（　　） A．有两个角为60°的三角形是等边三角形 B．对顶角相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．同位角相等 3．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·北京·期末）如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．16或20 8．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点B，A作，，，交于点F，若，，，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则（         ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点D在的中垂线上 D． 14．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（    ）    A． B．4 C． D． 15．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，．点D在边上从B至C的运动过程中，周长变化规律为（　　）    A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 16．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，在与中，，，，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的有（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 17．（2012·山东德州·一模）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长为 ． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是 ；这个逆命题是 命题（填“真”或“假”） 19．（15-16八年级上·江苏盐城·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度． 20．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，在等腰中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则 ． 21．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 22．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    23．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 24．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）． 25．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时， ． 三、解答题 27．（22-23八年级上·浙江温州·期末）如图，是等边三角形，将向两端延长至点D，E，使，连接，．求证：． 28．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，，分别是的中线和角平分线，． (1)若的面积是20，且，求的长． (2)若，求的度数． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 30．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 31．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点D是边上一点，以为边向上作等边，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 32．（2024·浙江温州·二模）如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，射线．    (1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数． 33．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）学完“等边三角形”一节后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正的边，上，且，，所在直线相交于点Q．求证：． (1)请完成这道思考题的证明； (2)做完（1）后，爱动脑筋的同学提出了如下问题：若将题中的点M，N分别移动到，的延长线上，是否仍能得到?请作出判断，并说明理由． 34．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 35．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】 （1）如图1，作三角形中的角平分线与的外角平分线交于点D，证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在等边三角形中，D，E分别是边的点，且满足，连接，交于点M．作，的角平分线，交于点N． ①证明； ②求的度数． 【拓展提高】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，当，求的度数．    36．（21-22八年级上·浙江台州·期末）如图1，在等边中，点是边上的一点，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：． (2)如图2，过，，三点分别作于点，于点，于点．求证：． (3)如图3，，垂足为点，若将点改为线段上的一个动点，连接，以为边作等边，连接．当时，直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 2.1-2.5 等腰三角形 逆命题与逆定理（浙江精选） 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可得答案． 本题考查了轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（21-22八年级上·浙江衢州·阶段练习）下列命题是假命题的是（　　） A．有两个角为60°的三角形是等边三角形 B．对顶角相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．同位角相等 【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定条件，对顶角的性质，角平分线的性质，平行线的性质进行逐一判断即可 【解析】解：A、有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，等边三角形的判定条件，对顶角的性质，角平分线的性质，平行线的性质熟知相关知识是解题的关键． 3．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 【解析】解：当这个内角就是底角时，它的底角为； 当这个内角是顶角时，则它的底角为：； 故选C． 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【解析】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答． 【解析】解：∵与关于直线l对称，， ∴， 故选：A． 6．（21-22八年级上·北京·期末）如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质； 根据等腰三角形的三线合一逐项判断即可． 【解析】解：A．∵， ∴，故A不符合题意； B．∵，D为的中点， ∴，故B不符合题意； C．∵，D为的中点， ∴，故C不符合题意； D．无法得出，故D符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断． 【解析】解：∵， ∴， 解得， 若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能组成三角形； 若4是底边长，则三角形的三边长为4，8，8，能组成三角形，周长为． 故选C． 8．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点B，A作，，，交于点F，若，，，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，可得，从而可得答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解． 【解析】如图所示： ∴符合条件的点C的个数为8． 故选C． 10．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【解析】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步解题即可． 【解析】解：∵等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴，， ∴， 故选D 12．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边对等角和三角形外角的性质依次计算和即可． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键． 13．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点D在的中垂线上 D． 【答案】D 【分析】根据题意作图可知：是的平分线，由此判断A正确；先求得，由是的平分线，求得，即可得到，判断B正确；过点D作于E，根据，证得是等腰三角形，得到，即可判断C正确；证明，得到，根据等底同高得到，即可得到，判断D错误． 【解析】解：由题意得：是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 过点D作于E， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点在的中垂线上，故C正确，不符合题意； ∵是的平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键． 14．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设,根据等边三角形的性质列方程求解即可． 【解析】解：设于G,交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点与点对应， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设, ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，．点D在边上从B至C的运动过程中，周长变化规律为（　　）    A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】先根据等边对等角得到，再由等边三角形的性质得到，利用三角形外角的性质证明，，进而证明得到，再根据三角形周长公式推出周长，点D在从B至C的运动过程中，则的长先变小后变大，则周长先变小后变大． 【解析】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵°， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴周长， ∴点D在从B至C的运动过程中， ∴的长先变小后变大， ∴周长先变小后变大， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，通过证明，得到是解题的关键． 16．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，在与中，，，，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的有（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可证出；由，得出，根据三角形外角的性质得出；由证明，得出对应边相等；由得到和面积等，且，从而证得点到、的距离相等，利用角平分线判定定理得到点在角平分线上． 【解析】解：∵，，， ∴、为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； 在和中， ∴， ∴，故③正确； ∵ ∴，， ∴点到、的距离相等， ∴点在的平分线上， 即：平分，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 二、填空题 17．（2012·山东德州·一模）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．分3是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【解析】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6， ， 不能组成三角形， ②3是底边时，三角形的三边分别为6、6、3， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是 ；这个逆命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形为全等三角形 假 【分析】本题考查了命题的真假性．根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可． 【解析】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形为全等三角形，假． 19．（15-16八年级上·江苏盐城·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案． 【解析】解：根据题意得：，， 如图（1），， 则， 如图（2），， ∴， ∴． 故这个等腰三角形的顶角是：或． 故答案为：或 20．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，在等腰中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，以及等边对等角，由题意求出，根据即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 21．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；正确确定相等关系列出方程是解题的关键． 设，，根据，即可列出方程，从而求解． 【解析】解：设，， ， 又， ， 则， 又， ， 解得， 的度数是． 故答案为：． 22．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    【答案】/150度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内外角关系，根据等边三角形得到，结合平角及三角形内外角关系求解即可得到答案； 【解析】解析：和是两个等边三角形， ∴， 在中，， ，， ， ∵，，， ． 23．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得． 【解析】解：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得：． ∴的周长为： ， 故答案为：15． 24．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【解析】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合要求； ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∴，①正确，故符合要求； ∵，， ∴，④正确，故符合要求； 综上：正确的有①②③④，共4个， 故答案为：①②③④． 25．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【解析】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时， ． 【答案】 【分析】作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，则，，而，，则，可证明，得，，可知点在经过点，且与垂直的直线上运动，当时，的值最小，此时，延长交于点，连结，可证明，得，由，，求得，，于是得到问题的答案， 【解析】解：作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 如图，则点在经过点，且与垂直的直线上运动， 当时，的值最小， 如图，，则，延长交于点，连结， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，三角形形内角和定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 27．（22-23八年级上·浙江温州·期末）如图，是等边三角形，将向两端延长至点D，E，使，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再证明，从而可得结论． 【解析】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记等边三角形的性质是解本题的关键． 28．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，，分别是的中线和角平分线，． (1)若的面积是20，且，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【解析】（1）解：是的中线，． ， 的面积是20，且， ， ， ； （2）是的中线，，， ，． 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． （1）根据等边三角形性质推出，根据即可证明； （2）根据（1）结论得到，根据，即得． 【解析】（1）∵，为等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 30．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【解析】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 31．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点D是边上一点，以为边向上作等边，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是2． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由，则． 【解析】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的长是2． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 32．（2024·浙江温州·二模）如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，射线．    (1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，连接，结合等边三角形的性质以及全等三角形的判定可得，则，则线段即为所求． （2）由（1）得．结合平行线的性质可得，进而可得，再由三角形外角的性质可得． 【解析】（1）解：如图，点F即为所求．    由作图可知：． ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 则， 则线段即为所求． （2）解：如图，    由（1）得． ∵， ∴， ∴ ． 在等边中， ． ∴， ∴． 33．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）学完“等边三角形”一节后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正的边，上，且，，所在直线相交于点Q．求证：． (1)请完成这道思考题的证明； (2)做完（1）后，爱动脑筋的同学提出了如下问题：若将题中的点M，N分别移动到，的延长线上，是否仍能得到?请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)仍能得到 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识． （1）由等边三角形的性质得，，而，即可证明，得，则； （2）可证明，得，则，可见仍能得到． 【解析】（1）证明：如图1， ∵是等边三角形， 在和中， （2）证明： 如图2，是等边三角形， 在和中， 34．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 【答案】(1)第二小组的方案可行，证明过程见详解 (2)证明方法见详解 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据题意可得，可证，所以，由此即可求解； （2）选择第一小组，可证是等腰直角三角形，可得，可得河宽；选择第三小组，可证是等腰三角形，可得，可得河宽． 【解析】（1）证明：第二小组的方案可行，理由如下， ∵点在点的正北方，从点向正东走到点， ∴， ∵点在点的正东，从点向南走到点， ∴点三点共线，， ∴， ∵树，标杆，人在一条直线上， ∴，且， ∴， ∴， ∴第二小组的方案可行； （2）解：第一小组，根据题意，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽； 第三小组，根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴河宽． 35．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】 （1）如图1，作三角形中的角平分线与的外角平分线交于点D，证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在等边三角形中，D，E分别是边的点，且满足，连接，交于点M．作，的角平分线，交于点N． ①证明； ②求的度数． 【拓展提高】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，当，求的度数．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）． 【分析】（1）延长到T．设，，利用三角形的外角的性质，构建方程组可得结论； （2）①根据证明三角形全等即可； ②利用（1）中结论解决问题即可； （3）分别求出，可得结论． 【解析】（1）证明：延长到T．设，， ， 则有， ∴， ∴； （2）①证明：如图2中，    ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）可知； （3）解：如图，    ∵．，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分， ∴平分， ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 36．（21-22八年级上·浙江台州·期末）如图1，在等边中，点是边上的一点，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：． (2)如图2，过，，三点分别作于点，于点，于点．求证：． (3)如图3，，垂足为点，若将点改为线段上的一个动点，连接，以为边作等边，连接．当时，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可； （2）利用面积法证明即可； （3）连接EC．由△ABD≌△CBE，推出∠BAD＝∠BCE＝30°，推出点E在射线CE上运动（∠BCE＝30°），利用垂线段最短解决问题即可． 【解析】（1）∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC， 即∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； （2）∵△ABD≌△CBE， ∴， ∵， ∵AF⊥BC，DM⊥BC，EN⊥BC， ∴BC•AF＝BC•DM＋BC•EN， ∴AF＝DM＋EN； （3）连接EC，如图所示： ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC， ∴∠BAF＝∠CAF＝30°，BF＝CF＝BC＝AB＝， ∴∠BCE＝∠BAF＝30°， ∴点E在射线CE上运动（∠BCE＝30°）， ∴当EF⊥EC时，EF的值最小，此时EF＝CF＝， 即EF的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$