高二数学期中模拟卷（上海专用沪教版2020，测试范围：必修第三册第十章～十一章）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。 5．难度系数：0.72。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不重合的两个平面最多有 条公共直线 2．已知球的表面积是，则该球的体积为 . 3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B= ; 4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为 ．（填序号） ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； ③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 6．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为 . 7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 8．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为 ． 9．如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则 . 10．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ． 11．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为 ．    12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 14．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 15．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 16．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证：直线平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 18．如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． (1)求证：； (2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.    (1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点； (2)求点C到平面BED的距离. 20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF （1）求证：PO⊥底面ABCD （2）求直线与OF所成角的大小. （3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由. 21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。 5．难度系数：0.72。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不重合的两个平面最多有 条公共直线 2．已知球的表面积是，则该球的体积为 . 3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B= ; 4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为 ．（填序号） ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； ③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 6．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为 . 7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 8．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为 ． 9．如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则 . 10．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ． 11．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为 ．    12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 14．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 15．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 16．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证：直线平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 18．如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． (1)求证：； (2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.    (1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点； (2)求点C到平面BED的距离. 20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF （1）求证：PO⊥底面ABCD （2）求直线与OF所成角的大小. （3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由. 21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。 5．难度系数：0.72。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不重合的两个平面最多有 条公共直线 【答案】1 【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交， 当相交时，有且只有一条公共直线. 故答案为：1 2．已知球的表面积是，则该球的体积为 . 【答案】 【解析】设球的半径为r，则表面积， 解得， 所以体积， 故答案为： 3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B= ; 【答案】 【解析】如图，    若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等 此时； ②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，此时. 故答案为70或110. 4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】 【解析】如图,因为平面,平面, 所以,所以为直线与底面所成的角， 所以, 所以， 故答案为：. 5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为 ．（填序号） ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； ③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 【答案】③ 【解析】①过平面外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面时，有无数个平面垂直于平面，故①错误； ②若三点在平面同侧，则；若三点在平面两侧，则与相交，故②错误； ③直线与平面内的任意一条直线垂直，则垂直于平面内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得，故③正确； ④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误； 故答案为：③ 6．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】如下图： 连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，连接，因为面ABCD，所以，又因为，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，设，则，. 故答案为：. 7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 【答案】 【解析】解：由题意得： 圆锥的底面周长是，则，解得： 可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示： 则圆锥的侧面展开图中：，， 所以在圆锥侧面展开图中： 故答案为： 8．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】 【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且，， 所以，而上下底面周长分别为、， 故该圆台的侧面积为. 故答案为： 9．如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则 . 【答案】1 【解析】在三棱柱中，易知侧面为平行四边形，设其面积为，上的高为， 在平行四边形中，易知四边形为梯形或平行四边形，设其面积为，且其高为， 则， 在三棱柱中，易知平面，点到平面的距离与点到平面的距离，设该距离为， 连接，作图如下： 则， 设三棱柱的体积，由图可知，，即， 故答案为：. 10．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ． 【答案】3 【解析】如图，设二面角为，点，且， 过点A作平面，垂足为，连接， ∵平面，， ∴， 又∵，平面ABC， ∴平面ABC， 平面ABC，则， 故二面角的平面角为， 在Rt△ABC中，， 故点A到平面的距离为3. 故答案为：3. 11．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为 ．    【答案】 【解析】在正方形中，， 折起后两两互相垂直， 故该三棱锥的外接球，即以为棱的长方体外接球， 不妨设正方形边长为2，则， 故，则， 因为， 而该三棱锥的表面积与正方形的面积相同，即， 则，即，故， 所以. 故答案为：. 12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个 【答案】32 【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法； 然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性： （1）全同侧，这样的平面有2个； （2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧， 1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线， 考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面， 故共有6个， 所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个， 故答案为：32 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体. 故选B. 14．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 【答案】D 【解析】对于A，如在正方体中，平面和平面都与平面ABCD垂直，但这两个平面不平行，所以A错误， 对于B，如在正方体中，平面和平面，平面中所有平行于交线的直线都与平面平行，但这两个平面不平行，所以B错误， 对于C，如在正方体中，平面和平面，分别为的中点，则在平面内，且都与平面平行，但这两个平面不平行，所以C错误. 对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面时，一定在内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确． 故选：D 15．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 16．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 【答案】A 【解析】如图，取的中点，连接； 设正方体的棱长为， 因为，且平面，平面， 平面； 同理平面，且； ∴平面平面，∴; ∵面，所以与平面所成的角为； 又， 所以与所成的角为（或其补角）； ； 当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为； 当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为； ，； 对于，当为中点时，； 当与或重合时，最小，又， ， ， ，，故A正确，BC错误， 又，，所以D选项错误. 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证：直线平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 【解析】（1）设和交于点，则为的中点，连接， （1分) ∵是的中点， ∴， (3分) 又∵平面，平面， ∴直线平面； (6分) （2）由(1)知，， ∴即为异面直线与所成的角， (8分) ∵，，且， ∴． 又， ∴ 故异面直线与所成角的大小为． (14分) 18．如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． (1)求证：； (2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）证明：根据圆柱性质，平面， 因为平面，所以， 又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以， 因为且平面，所以平面， (2分) 又因为平面，所以， 因为，且，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． (6分) （2）解：过点作，是垂足，连接， 根据圆柱性质，平面平面，且平面平面, 且平面，所以平面， 因为平面，所以是在平面上的射影， 从而是与平面所成的角， (8分) 设圆柱的底面半径为，则， 所以圆柱的体积为，且， 由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且， 且， 在直角中，可得，所以． (14分) 19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.    (1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点； (2)求点C到平面BED的距离. 【解析】（1）取的中点，连接、，如图，    依题意，在中，，则， 而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且， 因为平面，且，则有，且， 从而得四边形为平行四边形，， (4分) 又平面，平面， 则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点； (6分) （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面所以平面 因为，于是得平面， 因为平面，平面，所以， (8分) 因为，所以， 则等腰底边上的高，， 而，设点C到平面BED的距离为d， 由得， 即，解得， 所以点C到平面BED的距离为1 (14分) 20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF （1）求证：PO⊥底面ABCD （2）求直线与OF所成角的大小. （3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点， 在中，PB=PD，可得PO⊥BD， 因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC， (3分) 又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD. (4分) （2）连接OF，取AP中点为E，连接OE， 因为底面ABCD是菱形，ACBD=O， 由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE. ， 故∠EOF为直线与OF所成的角， (8分) 又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=. (10分) （3）存在，， 连接CE，ME， 因为AP=4AF，E为AP中点，所以， 又因为，所以在中，，即EMBF， (12分) 因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF， 由（2）知ECOF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF， 因为ECEM=E，所以平面EMC平面BDF， 因为CM平面EMC，所以CM平面BDF. (18分) 21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【解析】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． (2分) 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． (4分) （2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． (6分) 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. (10分) （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， (11分) 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． (18分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．1 2． 3． 4． 5．③ 6． 7． 8． 9．1 10．3 11． 12．32 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B D B A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）设和交于点，则为的中点，连接， （1分) ∵是的中点， ∴， (3分) 又∵平面，平面， ∴直线平面； (6分) （2）由(1)知，， ∴即为异面直线与所成的角， (8分) ∵，，且， ∴． 又， ∴ 故异面直线与所成角的大小为． (14分) 18．（1）证明：根据圆柱性质，平面， 因为平面，所以， 又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以， 因为且平面，所以平面， (2分) 又因为平面，所以， 因为，且，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． (6分) （2）解：过点作，是垂足，连接， 根据圆柱性质，平面平面，且平面平面, 且平面，所以平面， 因为平面，所以是在平面上的射影， 从而是与平面所成的角， (8分) 设圆柱的底面半径为，则， 所以圆柱的体积为，且， 由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且， 且， 在直角中，可得，所以． (14分) 19．（1）取的中点，连接、，如图，    依题意，在中，，则， 而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且， 因为平面，且，则有，且， 从而得四边形为平行四边形，， (4分) 又平面，平面， 则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点； (6分) （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面所以平面 因为，于是得平面， 因为平面，平面，所以， (8分) 因为，所以， 则等腰底边上的高，， 而，设点C到平面BED的距离为d， 由得， 即，解得， 所以点C到平面BED的距离为1 (14分) 20．（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点， 在中，PB=PD，可得PO⊥BD， 因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC， (3分) 又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD. (4分) （2）连接OF，取AP中点为E，连接OE， 因为底面ABCD是菱形，ACBD=O， 由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE. ， 故∠EOF为直线与OF所成的角， (8分) 又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=. (10分) （3）存在，， 连接CE，ME， 因为AP=4AF，E为AP中点，所以， 又因为，所以在中，，即EMBF， (12分) 因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF， 由（2）知ECOF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF， 因为ECEM=E，所以平面EMC平面BDF， 因为CM平面EMC，所以CM平面BDF. (18分) 21．（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． (2分) 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． (4分) （2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． (6分) 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. (10分) （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， (11分) 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． (18分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二上学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _____ _______________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！