第三章 代数式（单元测试培优卷）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

第三章代数式（单元测试培优卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式符合通常书写规范的是（    ）． A． B． C． D．元 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的书写规范，根据字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面可对A进行判断；系数不能用带分数，由此可对B进行判断．根据代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式 可对C进行判断；答案中有加号或减号时，要把代数式括起来再加单位，于是可对D进行判断； 【详解】解：A、应该写成，故此选项不符合题意； B、应该写成，故此选项不符合题意； C、应该写成，故此选项不符合题意； D、元，书写规范，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列求代数式的值的计算，正确的是（    ） A．当时，代数式 B．当时，代数式 C．当时，代数式 D．当时，代数式 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把所给字母的值代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：A、当时，代数式，原式计算正确，符合题意； B、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； C、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； D、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； 故选；A． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列选项中，能用表示的是（    ）． A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握线段的长度和图形的周长、面积计算方法．分别计算各选项的结果，化简即可判断． 【详解】解：A、整条线段的长度为，故A不合题意； B、整条线段的长度为，故B不合题意； C、这个长方形的周长为，故C符合题意； D、这个图形的面积为，故D不合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的概念的理解，代数式的求值．由a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可分别得出a、b、c的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，，， 则， 故选：B． 5．（2024·福建福州·模拟预测）下面的四个问题中，都有a，b两个未知量： ①有两杯水，一杯的水温b是另一杯水温a的3倍低 ②土豆单价a比小米椒单价b的便宜2元 ③某文具店的装订机的价格b比文具盒的价格a的3倍少6元 ④有两根绳子，一根绳子的长度a比另一根绳子的长度b的3倍多6米其中，未知量b可以用表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了用代数式表示式， 根据题意列出代数式即可得出答案． 【详解】解：①有两杯水，一杯的水温b是另一杯水温a的3倍低，则， ②土豆单价a比小米椒单价b的便宜2元，则，则， ③某文具店的装订机的价格b比文具盒的价格a的3倍少6元，则， ④有两根绳子，一根绳子的长度a比另一根绳子的长度b的3倍多6米，则，则， 综上所述：①③符合， 故选：B． 6．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图是年月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，如果设其中一个数是，请你研究一下这三个数的和，那么这三个数的和不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用代数式表示式．若设第二个数为，根据竖排“第一数比第二数小，第三数比第二数大”，表示出第一个数为，第三个数为，求出三个数的和，得出三个数的和是的倍数，再判断即可求解． 【详解】解：若设第二个数为，则第一个数为，第三个数为． 三个数字之和是， 因为是正整数，所以三个数的和是的倍数． 、、都是的倍数，而不是的倍数， 故选：D． 7．（23-24七年级上·广东韶关·期中） 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义、求代数式的值、有理数的乘方，由相反数和倒数的定义得出，，从而推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）按下面的程序计算． 若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（    ） A．1 B．4 C．21 D．4或21 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，可以用倒推法解答此题，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当6时，； 当时，； 当时，x不是自然数； 所以开始输入的x的值是4或21， 故选：D． 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，要注意长方形窗框的横条有3条，观察图形求出长方形窗框的竖条长度是解答本题的关键．根据长方形窗框的横条长度求出长方形窗框的竖条长度，再根据长方形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形窗框的横条长度为， ∴长方形窗框的竖条长度为， ∴长方形窗框的面积为：， 故选∶C． 10．（2024·贵州黔东南·二模）无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的， 所以当n无穷大时，的值最接近． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25七年级上·河北张家口·阶段练习）若a，b互为相反数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相反数，代数式求值．熟练掌握相反数的定义，整体代入是解题的关键． 由a，b互为相反数，可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：8． 12．（23-24七年级上·广西桂林·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查有理数混合运算、代数式求值，根据题中运算法则代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，时， ， 故答案为：7． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）往返于甲、乙两地的航班，某天由甲地飞往乙地，当天风速为，飞机顺风飞行需要到达．如果设无风时飞机的速度为，顺风时飞机的速度是无风时的速度加上风速，则甲地到乙地的距离是 ．(用含x的式子表示) 【答案】/ 【分析】本题考查根据题意列代数式，解决本题的关键是掌握速度的求法．根据距离速度时间，顺风速度飞机速度风速列代数式化简即可． 【详解】解：根据距离速度时间， 则甲地到乙地的距离为． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知有理数，，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）有一组等式：，…，根据它们的规律，第10个等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据前几个等式的变化得到变化规律，进而可求解． 【详解】解：第1个等式为：， 第2个等式为：， 第3个等式为：， 第4个等式为：， …… 依次类推，第n个等式为： 故第10个等式为：， 故答案为：． 16．（22-23七年级上·广西桂林·开学考试）疫情期间，隔壁社区搭建如图1所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，则串起来搭建6顶帐篷需要 根钢管，有171根钢管可以串起来搭建 顶帐篷，如果想串起来搭建顶帐篷，需要 根钢管． 【答案】 72 15 6 【分析】本题考查图形中的数字规律，由题中搭建帐篷的钢管数，找到规律即可得到答案，读懂题意，准确找出规律是解决问题的关键． 【详解】解：搭建1顶帐篷用钢管数为17根； 搭建2顶帐篷用钢管数为（根）； 搭建3顶帐篷用钢管数为（根）； 以此类推，搭建6顶帐篷用钢管数为（根）； 搭建顶帐篷用钢管数为（根）； 故答案为：72，15，6． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了代数式的求值，将的值代入即可求解． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 18．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）（1）已知，． ①若，求的值； ②若，求的值； （2）若与互为相反数，求的值． 【答案】（1）①的值为；②的值为或；（2） 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，相反数和非负数的性质，代数式求值； （1）①首先利用绝对值的定义解得，，根据，确定，代入计算即可； ②根据，确定，代入计算即可； （2）利用相反数和非负数的性质求得，，再代入计算即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∵， ∴或； 当时，， 当时，； ∴的值为； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或； （2）由题意， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）回答下列问题： (1)小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给爱心基金，平均每月剩余的零花钱是多少？ (2)七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男生，男生的三分之一去参加篮球比赛了，班级剩余多少人？ (3)某种汽车油箱装满后有油，每小时耗油，行驶了，油箱剩余油量是多少？ (4)某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3件可以省多少元？ 【答案】(1)元 (2)名 (3) (4)元 【分析】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． （1）用一个季度零花钱的总数除以3即可； （2）全班总人数减去参加篮球赛的人数即可得出剩余人数； （3）用油的总体积减去用去油的体积，即可得出剩余油的数量； （4）用一件剩的钱数乘以3即可得出答案． 【详解】（1）解：小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给希望工程，一个季度有3个月，则平均每月剩余零花钱元； （2）解：七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，则班里还有人； （3）解：某种汽车油箱装满后有油，每小时耗油，行驶了，油箱剩余油量； （4）解：某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3件可以省元． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为米的正方形草地，若长方形的长为米，宽为米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积； (2)若长方形广场的长为20米，宽为10米，正方形的边长为1米，求阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)196平方米 【分析】（1）根据图形中的数据，可以用含、、的代数式表示出阴影部分的面积； （2）将，，代入（1）中的代数式，即可求得阴影部分的面积． 本题考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值． 【详解】（1）解：∵某长方形广场的四角都有一块边长为米的正方形草地，若长方形的长为米，宽为米． ∴由图可得，阴影部分的面积是平方米； （2）解：当，，时， （平方米）， 即阴影部分的面积是196平方米． 21．（21-22七年级上·浙江金华·期中）小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成（如图1），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成（如图2），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成（如图3）． (1)分别求出图1、图2、图3中装饰物的面积（结果要求化简）； (2)你能发现装饰物面积变化的规律吗？请用代数式表示． 【答案】(1)，， (2)（n为正整数） 【分析】（1）结合图形和圆的面积公式即可求出图1、图2、图3中装饰物所占的面积； （2）根据图1、图2、图3得出的装饰物所占的面积，即可求出装饰物面积变化的规律公式． 【详解】（1）根据题意得： 图1中装饰物的面积是：； 图2中装饰物的面积是：， 图3中装饰物的面积是：， （2）装饰物面积变化的规律是（n为正整数）． 【点睛】本题考查了代数式求值和列代数式等知识点的应用，这是一个实际问题，要求即能用数学知识解决，又要讲究漂亮和美观． 22．（21-22七年级上·云南文山·期中）一张正方形桌子可坐4人，按如图所示的方式将桌子拼在一起，回答下列问题． (1)两张桌子拼在一起可以坐___人，三张桌子拼在一起可以坐___人，n张桌子拼在一起可以坐____人． (2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子，按如图所示的方式每4张桌子拼成一张大桌子，则60张桌子可以拼成15张大桌子，共可坐多少人？ (3)在（2）中，若每4张桌子拼成一张大的正方形桌子，共可坐多少人？ (4)对于这家酒楼，（2）（3）中哪种拼桌子的方式能使坐的人更多？ 【答案】(1)6；8；2n+2 (2)150人 (3)120人 (4)（2）的拼桌子的方式能使坐的人更多 【分析】（1）观察三个图形得到每增加一个桌子就可多坐两个人，于是得到两张桌子、三张桌子、n张桌子拼在一起可以坐的人数； （2）计算出每4张拼成一个大桌子坐的人数，进一步求得15张大桌子，共可坐多少人； （3）由每一条边坐2个人得出答案即可； （4）比较（2）（3）得出答案即可． 【详解】（1）两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6（人）； 三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8（人）； n张桌子拼在一起可坐2（n+1）=2n+2（人）． 故答案为：6；8；2n+2； （2）∵每4张拼成一个大桌子， ∴每张大桌子坐的人数=2×4+2=10人，拼成的15张大桌子共坐150人； 答：按如图所示的方式拼成的大桌子共可坐150人． （3）解：由已知条件可知：一张大正方形桌子可坐2×4=8人． 60÷4=15（张） 15×8=120（人） 答：若每4张桌子拼成一张大的正方形桌子，共可坐120人． （4）解：因为150>120，所以，对于这家酒楼，在（2）、（3）两种拼桌子的方式中，（2）的拼桌子的方式能使坐的人更多． 【点睛】此题考查图形的变化规律，要结合图形来找到规律：如果如图摆放，则在4的基础上，多1张桌子，多2人是解决问题的关键． 23．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1) ，● ，〇 ． (2)请写出第2023个格子中的数． (3)前n个格子中所填整数之和能否为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为前n项的累差值．例如，前三项的累差值为． 若取前十项，请求出前十项的累差值为多少？（请写出必要的计算过程） 【答案】(1)，， (2)1 (3) (4)前10项的累差值为 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，以及绝对值，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，进行转化求解； （2）写出前几个数，找出规律即可得出答案； （3）找出相加的规律进行计算即可判断； （4）求出前三项的累差值，并求出前十项的累差值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：1，7，； （2）这一列数为：1，7，，1，7，……， ∴， ∴第2023个格子中的数是1； （3）∵，而，故 （4）根据题意得，； 由于前10个数中1出现了4次，而7与个出现了3次， ∴前10项的累差值． 故答案为：前10项的累差值为． ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章代数式（单元测试培优卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式符合通常书写规范的是（    ）． A． B． C． D．元 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列求代数式的值的计算，正确的是（    ） A．当时，代数式 B．当时，代数式 C．当时，代数式 D．当时，代数式 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列选项中，能用表示的是（    ）． A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D． 5．（2024·福建福州·模拟预测）下面的四个问题中，都有a，b两个未知量： ①有两杯水，一杯的水温b是另一杯水温a的3倍低 ②土豆单价a比小米椒单价b的便宜2元 ③某文具店的装订机的价格b比文具盒的价格a的3倍少6元 ④有两根绳子，一根绳子的长度a比另一根绳子的长度b的3倍多6米其中，未知量b可以用表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图是年月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，如果设其中一个数是，请你研究一下这三个数的和，那么这三个数的和不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·广东韶关·期中） 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）按下面的程序计算． 若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（    ） A．1 B．4 C．21 D．4或21 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·贵州黔东南·二模）无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25七年级上·河北张家口·阶段练习）若a，b互为相反数，则 ． 12．（23-24七年级上·广西桂林·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，则 ． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）往返于甲、乙两地的航班，某天由甲地飞往乙地，当天风速为，飞机顺风飞行需要到达．如果设无风时飞机的速度为，顺风时飞机的速度是无风时的速度加上风速，则甲地到乙地的距离是 ．(用含x的式子表示) 14．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知有理数，，满足，则的值为 ． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）有一组等式：，…，根据它们的规律，第10个等式为 ． 16．（22-23七年级上·广西桂林·开学考试）疫情期间，隔壁社区搭建如图1所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，则串起来搭建6顶帐篷需要 根钢管，有171根钢管可以串起来搭建 顶帐篷，如果想串起来搭建顶帐篷，需要 根钢管． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 18．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）（1）已知，． ①若，求的值； ②若，求的值； （2）若与互为相反数，求的值． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）回答下列问题： (1)小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给爱心基金，平均每月剩余的零花钱是多少？ (2)七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男生，男生的三分之一去参加篮球比赛了，班级剩余多少人？ (3)某种汽车油箱装满后有油，每小时耗油，行驶了，油箱剩余油量是多少？ (4)某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3件可以省多少元？ 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为米的正方形草地，若长方形的长为米，宽为米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积； (2)若长方形广场的长为20米，宽为10米，正方形的边长为1米，求阴影部分的面积． 21．（21-22七年级上·浙江金华·期中）小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成（如图1），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成（如图2），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成（如图3）． (1)分别求出图1、图2、图3中装饰物的面积（结果要求化简）； (2)你能发现装饰物面积变化的规律吗？请用代数式表示． 22．（21-22七年级上·云南文山·期中）一张正方形桌子可坐4人，按如图所示的方式将桌子拼在一起，回答下列问题． (1)两张桌子拼在一起可以坐___人，三张桌子拼在一起可以坐___人，n张桌子拼在一起可以坐____人． (2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子，按如图所示的方式每4张桌子拼成一张大桌子，则60张桌子可以拼成15张大桌子，共可坐多少人？ (3)在（2）中，若每4张桌子拼成一张大的正方形桌子，共可坐多少人？ (4)对于这家酒楼，（2）（3）中哪种拼桌子的方式能使坐的人更多？ 23．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1) ，● ，〇 ． (2)请写出第2023个格子中的数． (3)前n个格子中所填整数之和能否为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为前n项的累差值．例如，前三项的累差值为． 若取前十项，请求出前十项的累差值为多少？（请写出必要的计算过程） ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$