高二数学期中模拟卷（上海专用，测试范围：沪教版2020必修第三册第十～十一章）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．“点A在直线上”用符号语言可以表示为 . 2．在正方体中，，则直线到平面的距离为 ． 3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 ． 4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为 . 8．已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 . （1）直线与直线相交； （2）直线与直线平行； （3）直线与直线是异面直线； （4）直线与直线成角. 11．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段 . 12．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列说法错误的是（    ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 14．已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）．羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为的两部分．若、，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）      ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 20．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 21．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． (1)求证：直线平面； (2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； (3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二上学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _____ _______________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．2 3． 4． 5． 6．8 7．/ 8． 9．45° 10．（3）（4）/(4)(3) 11．或 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B C B B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点Q在直线DC上. （6分） （2）根据正方体的性质可知， 所以异面直线与所成角为， （8分） 由于分别是的中点， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. （14分） 18．（1）连接，在平行四边形中， 因为为与的交点， 所以为的中点， （2分） 又为的中点,所以. 因为平面平面， 所以平面. （6分） （2）取中点,连接,， 因为为的中点,所以,且, 由平面，得平面， 所以是直线与平面所成的角. （8分） 因为底面为平行四边形，且，， 所以，则， 在Rt中,,所以,从而， 因为平面,平面,， 所以在Rt中，，， 所以直线与平面所成角大小为. （14分） 19．（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为， 则由题意有，得，圆锥高， 所以“笼具”的体积. （6分） （2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 圆锥的侧面积， 所以“笼具”的侧面积. （12分） 故造50个“笼具”的最低总造价为元. （14分） 答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元. 20．（1）若平面， 则， 由已知， 得， （2分） 这与矛盾，所以与平面不垂直． （4分） （2）取、的中点、，连接、、， 由，，得， ， 为直角梯形的中位线， （6分） ，又， 平面， （8分） 由平面，得，又且梯形两腰、必交， 平面, 又平面， 平面平面, （10分） （3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角, 作于，连， 由于平面,平面,故, ,平面,故平面 平面,所以 故为二面角的平面角, （12分） 即， 由已知，得， 又． ， ． ， 故二面角的大小为． （18分）    21．（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， （2分） 因为平面，平面， 所以平面； （4分） （2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB， 因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC， 所以CD⊥平面，故⊥平面， 所以,又与互相垂直，,面 故面,得.即为直角三角形， （6分） 在中，为中点，，所以为的三等分点，设， 由余弦定理可得： 解之：，所以故 ⊥平面，在中，. 与所成的角为 （10分） （3）过作于，过作于，连 为直截面，小球半径为的内切圆半径 因为，所以， 故AC⊥BC，则 （12分） 设所以，由解得， ； 由最小角定理 （14分） 由面,易知， 内切圆半径为： 则 （18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．“点A在直线上”用符号语言可以表示为 . 2．在正方体中，，则直线到平面的距离为 ． 3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 ． 4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为 . 8．已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 . （1）直线与直线相交； （2）直线与直线平行； （3）直线与直线是异面直线； （4）直线与直线成角. 11．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段 . 12．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列说法错误的是（    ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 14．已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）．羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为的两部分．若、，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）      ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 20．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 21．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． (1)求证：直线平面； (2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； (3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．“点A在直线上”用符号语言可以表示为 . 【答案】 【解析】A在直线上，即 故答案为： 2．在正方体中，，则直线到平面的距离为 ． 【答案】2 【解析】根据正方体的性质可知，. 又平面，平面， 所以，平面. 所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离. 又平面，所以点A到平面的距离即为. 所以，直线到平面的距离为2.    故答案为：2. 3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 ． 【答案】 【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为. 故答案为： 4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 【答案】 【解析】在正方体中，连接， 正方体的对角面是矩形，则， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 而，即是正三角形，则， 所以异面直线与所成的角为. 故答案为： 5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【解析】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 【答案】8 【解析】在坐标系中作出直观图对应的原图形，它是直角梯形，如图. 易得，，， 故原梯形的面积为：， 故答案为：8. 7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为 . 【答案】/ 【解析】设斜线和平面所成角为，则，. 故答案为：. 8．已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 【答案】 【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为， 因为，所以， 又，所以， 当两截面在球心的同侧时，， 解得，球的表面积为； 当两截面在球心的同侧时，，无解； 综上，所求球的表面积为. 故答案为：. 9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    【答案】45° 【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD， 又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD， 又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°． 故答案为：45°． 10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 . （1）直线与直线相交； （2）直线与直线平行； （3）直线与直线是异面直线； （4）直线与直线成角. 【答案】（3）（4）/(4)(3) 【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体， 可得与为异面直线，故（1）错误； 与为异面直线，故（2）错误； 直线与直线是异面直线，故（3）正确； 连接，，由正方体的性质可得，所以为异面直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成角为，故（4）正确； 故答案为：（3）（4）． 11．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段 . 【答案】或 【解析】如图所示，因为和都是平面的垂线，其垂足分别为， 可得，且， 如图（1）所示，当点在平面的同侧时， 过点作，垂足为，则， 又因为，可得， 在直角中，可得. 如图（2）所示，当点在平面的两侧时， 过点作的延长线的垂线，设，垂足为，则， 又因为，可得， 在直角中，可得. 故答案为：或. 12．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】如图， 过点作，交的延长线于点，连接，， 取的中点为，连接，过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面，， ，平面，在平面上的射影就是直线， 故就是直线与平面所成的角，即， ，， 又，，，平面， 平面，平面，， 故点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外， ，且，， 设，则，从而， ，如图， 当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值， 取得最大值为：． 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列说法错误的是（    ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】B 【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确. 故选：B 14．已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】若，则有，故可判断A错误. 若，则或，故B错误. 若，则存在直线与平行，所以，故C正确. 若，则或，故D错误. 故选：C. 15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）．羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为的两部分．若、，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为、、，，为线段，的中点， 所以且， 所以，， 即，， 因为，即，解得. 故选：B 16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）      ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】B 【解析】如图，连接，正方形中，， 正方体的棱平面，平面，， ，平面，所以平面， 又平面，所以，同理． ，平面，所以平面，①正确； 因为平面，平面，所以， 又平面平面，，平面，平面， 则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，则该角大小为，②错； 因为，，，所以， 所以四边形为平行四边形，因此有， 又平面，平面，所以平面， ，因此到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，③正确； 由于，因此异面直线与所成角就是与所夹的角， 即图中或，设正方体棱长为1，易知， 当点为中点时，此时， 因为是等边三角形，在线段，因此或中较小的角的范围是，④错误． 故选：B．    三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 【解析】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点Q在直线DC上. （6分） （2）根据正方体的性质可知， 所以异面直线与所成角为， （8分） 由于分别是的中点， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. （14分） 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 【解析】（1）连接，在平行四边形中， 因为为与的交点， 所以为的中点， （2分） 又为的中点,所以. 因为平面平面， 所以平面. （6分） （2）取中点,连接,， 因为为的中点,所以,且, 由平面，得平面， 所以是直线与平面所成的角. （8分） 因为底面为平行四边形，且，， 所以，则， 在Rt中,,所以,从而， 因为平面,平面,， 所以在Rt中，，， 所以直线与平面所成角大小为. （14分） 19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为， 则由题意有，得，圆锥高， 所以“笼具”的体积. （6分） （2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 圆锥的侧面积， 所以“笼具”的侧面积. （12分） 故造50个“笼具”的最低总造价为元. （14分） 答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元. 20．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 【解析】（1）若平面， 则， 由已知， 得， （2分） 这与矛盾，所以与平面不垂直． （4分） （2）取、的中点、，连接、、， 由，，得， ， 为直角梯形的中位线， （6分） ，又， 平面， （8分） 由平面，得，又且梯形两腰、必交， 平面, 又平面， 平面平面, （10分） （3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角, 作于，连， 由于平面,平面,故, ,平面,故平面 平面,所以 故为二面角的平面角, （12分） 即， 由已知，得， 又． ， ． ， 故二面角的大小为． （18分）    21．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． (1)求证：直线平面； (2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； (3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 【解析】（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， （2分） 因为平面，平面， 所以平面； （4分） （2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB， 因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC， 所以CD⊥平面，故⊥平面， 所以,又与互相垂直，,面 故面,得.即为直角三角形， （6分） 在中，为中点，，所以为的三等分点，设， 由余弦定理可得： 解之：，所以故 ⊥平面，在中，. 与所成的角为 （10分） （3）过作于，过作于，连 为直截面，小球半径为的内切圆半径 因为，所以， 故AC⊥BC，则 （12分） 设所以，由解得， ； 由最小角定理 （14分） 由面,易知， 内切圆半径为： 则 （18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$