专题15 指数函数（4大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题15 指数函数 指数型函数图像过定点问题 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·福建厦门·期中）函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数与是相同函数 B．函数恒过定点 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数，则 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数且的图象恒过定点 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）函数（且）的图像一定过点 . 求指数函数在区间内值域 1．（23-24高一上·福建福州·期中）设函数且表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）集合，，下列能表示从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（22-23高一上·福建厦门·期中）函数的定义域为. (1)设，求的取值范围； (2)求函数的值域. 6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数在区间[0，2]的最大值比最小值大，求实数a的值. 求指数型复合函数的值域 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 2．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递增 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，下面命题正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数在内单调递减 4．（22-23高一上·福建莆田·期中）写出一个定义域为，值域为的函数 . 5．（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 6．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域. 7．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知是奇函数. (1)求的值； (2)求函数在上的值域. 8．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，． (1)求的值域； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”．试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值． 判断指数函数的单调性 1．（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，，实数满足，若，，使得成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）若函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数： （1），； （2）， 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求的解析式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·福建福州·期中）设函数且是奇函数． (1)求的值； (2)若，判断并用定义证明函数的单调性，并求使不等式恒成立的t的取值范围． 判断指数型复合函数的单调性 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建三明·期中）下列命题正确的是（    ） A．已知函数的单调递增区间是 B．已知，则 C．若，则 D．是的充要条件 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数且，若，则的单调递增区间为 ． 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）对于函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)是否存在实数使函数为奇函数？证明你的结论． 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数． (1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）； (2)若，求的取值范围． 比较指数幂的大小 1．（23-24高一上·福建三明·期中）下列大小关系正确的是（    ） ①    ②    ③     ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建龙岩·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·期中）设 则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）设，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且，则（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若且，试比较与的大小关系； (3)令，若在R上的最小值为，求m的值． 根据指数函数的值域求参数 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是(    ) A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建·期中）已知函数，函数，若任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值. (3)对于函数，若，，，，，，满足，则为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求正实数的取值范围. 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数,其中且，满足. （1）求实数的值； （2）当，求的值域； （3）若关于的方程在区间上无解，求实数的取值范围. 指数函数最值与不等式的综合问题 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）当时，有，（且），则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知，，其中，. (1)当时，解不等式. (2)设，若，，恒有，求的取值范围. 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数（a是常数）. (1)当a=1时，求证以下两个结论∶ （i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）. （ii）f（x）的图像始终在的图像的下方. (2)设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围. 5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数. （1）若的最小值为，求实数的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·福建·期中）已知是定义在R上的奇函数. （1）求的解析式； （2）已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求a的取值范围. 7．（22-23高一上·福建·期中）已知函数． （1）求在区间的值域； （2）函数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围． 由指数型的单调性求参数 1．（23-24高一上·福建三明·期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·福建厦门·期中）函数（且）在上有最小值，无最大值，则有（    ） A． B． C．且 D． 5．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数对任意，都有成立，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，①如果，则a的值等于 ；②若满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，若其在区间上是增函数，则实数a，b应满足的条件为 . 8．（22-23高一上·福建福州·期中）如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间. (1)若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由； (2)已知函数，其中且，，. ①当时，若函数是上的等域函数，求的解析式； ②证明：当，时，函数不存在等域区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 指数函数 指数型函数图像过定点问题 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意到，由此即可得解. 【详解】因为，所以令即时，有， 即函数且的图象过定点. 故选：D. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质即可得到过定点 【详解】指数函数（且）过定点， 所以，当时的值恒为2，即过定点， 故选：B 3．（22-23高一上·福建厦门·期中）函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数且的图象过定点，再结合函数图象平移变换即可得答案. 【详解】因为指数函数且的图象过定点， 函数的图象由函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 故函数的图象过定点 故选：C. 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数与是相同函数 B．函数恒过定点 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】根据相同函数的概念结合根式函数的定义域可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D. 【详解】A选项，因为，所以，解得， 所以的定义域为， 因为，所以，解得或， 所以的定义域为，所以两函数不是相同函数，A错误； B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确； C选项，由得：，故函数的定义域为，C正确； D选项，，且， 故，D正确. 故选：BCD. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数且的图象恒过定点 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定、指数型函数定点的求法、根式型函数值域的求解方法和抽象函数定义域的求法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，由全称命题的否定知：原命题的否定为，，A正确； 对于B，，恒过定点，B正确； 对于C，令，则且，， 则当时，，的值域为，C错误； 对于D，令，解得：，的定义域为，D正确. 故选：ABD. 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）函数（且）的图像一定过点 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质计算可得. 【详解】函数（且），令可得， 即函数恒过点. 故答案为： 求指数函数在区间内值域 1．（23-24高一上·福建福州·期中）设函数且表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先令，再分、和三种情况求解即可. 【详解】设， 则， 又，所以，即， 所以， 因为，所以，故. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 综上所述，函数的值域是. 故选：B. 2．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，根据图象先确定，再由函数确定出c的取值范围， 再由确定出，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图，      当时，， 由图可知，，即 得，则， 由，即，得，求得， ∴， 故选：D 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）集合，，下列能表示从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可. 【详解】对A，，在此对应下，的取值集合为，故成立； 对B，，在此对应下，的取值集合为，故成立； 对C，，在此对应下，的取值集合为，故不成立； 对D，，在此对应下，的取值集合为，故成立； 故选：ABD 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得不等式对于恒成立，令可得不等式对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，再根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】不等式对于恒成立， 即不等式对于恒成立， 令，则，所以不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 令，则，函数在上单调递减， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 5．（22-23高一上·福建厦门·期中）函数的定义域为. (1)设，求的取值范围； (2)求函数的值域. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据指数函数的单调性，即可求得的范围； （2）利用换元法，结合二次函数值域的求解，即可得解. 【详解】（1）对，其在定义域单调递增，故. （2）根据（1）所得，的值域即为的值域， 又在单调递减，在单调递增， 又当时，；时，， 故的值域为. 6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数在区间[0，2]的最大值比最小值大，求实数a的值. 【答案】或 【分析】根据，分类讨论，利用函数的单调性建立方程求解即可. 【详解】当时，在上单调递减， ，得， 又； 当时，在上单调递增， ，得 ， 又； 综上所述，或. 求指数型复合函数的值域 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，分离常数后求出函数值域；D选项，根据A选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，， 则， 故的图象关于点对称，A正确； B选项，，，，故在上不是减函数，B错误； C选项，因为，所以， 则，故的值域为，C正确； D选项，由A知，，故， 又，且， 则， 因为在R上单调递增，又，所以， 故，故在R上单调递增， 故，解得，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】由指数函数的定义知A正确. 设，由知，故B错误； 且在上递增，而的表达式中，故在上递增，D正确. ，故C正确. 故选：ACD 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，下面命题正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数在内单调递减 【答案】ACD 【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D. 【详解】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称， 又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误； 又因为，， 所以，所以，故C正确； 因为，时， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ACD. 4．（22-23高一上·福建莆田·期中）写出一个定义域为，值域为的函数 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的定义域和值域考虑指数型函数且都可以. 【详解】因函数在上的值域为， 结合常见的基本初等函数，可考虑指数型函数：. 故答案为：（答案不唯一） 5．（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 6．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域. 【答案】(1)1(2)的定义域为；值域为 【分析】（1）由代入计算可得； （2）由（1）可得，即可求出函数的定义域，再将函数解析式变形为，结合指数函数与反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意知，函数的图象过点，可得， 解得； （2）由（1）知函数， ∵，，即的定义域为， 因为， 又∵，，∴，所以的值域为. 7．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知是奇函数. (1)求的值； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）是奇函数，所以，求出的值，并用定义验证即可. （2）根据的单调性得到的单调性，从而得到在上的值域. 【详解】（1）因为是奇函数，定义域为，所以，即， 当时，，， 为奇函数. 所以. （2），在任取，且， 则 ， 又因为，，， 所以，即在上单调递增. 又因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增. 所以,， 所以函数在上的值域为. 8．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，． (1)求的值域； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”．试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值． 【答案】(1)(2)存在，对称中心为(3)2 【分析】（1）根据得到，得到解析式，进而求出值域； （2）假设函数的图像存在对称中心，得到，整理后得到方程组，求出，，得到对称中心； （3）变形得到，因为，所以，根据，得到包含关系，得到不等式，求出. 【详解】（1）将代入，得，则， 又因为， 所以的值域为； （2）假设函数的图像存在对称中心， 则对于定义域内任何恒成立， 整理得恒成立， 所以， 解得，， 故函数的对称中心为； （3）因为对任意，都存在及实数，使得， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以，即的最大值为2 判断指数函数的单调性 1．（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知， 在上单调递减， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 故选：C. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，，实数满足，若，，使得成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知得出的单调性，求出的值域.进而根据已知结合的范围可得出只需满足即可.然后根据函数单调性的定义得出的单调性.分情况讨论，结合函数的单调性得出函数的最大值，列出不等式，求解不等式即可得出的最值，相减即可得出答案. 【详解】因为函数以及均为上的增函数， 所以，在上单调递增. 又，， 所以，. 又，，使得成立， 所以，在上的值域应为的子集. 又，所以，只需满足即可. ，且设， 则. 因为，， 所以，，， 所以，，， 所以，在上单调递减. 同理可得出，在上单调递增. ①当时，在上单调递减，此时， 所以有，整理可得，所以. 又，所以，此时的最小值为，； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 此时在上的最大值在或处取得， 要使，只需即可，即， 即，解得. 又，所以，， 此时的最大值为； ③当时，在上单调递增，此时， 所以有，整理可得，所以. 又，所以，此时的最小值为，. 综上所述，的最大值为. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）若函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的性质，讨论、分别求解集即可. 【详解】由题设在上为常数，在上为增函数， 当，即时，恒成立； 当，即，则时，成立； 综上，解集为. 故选：D 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数： （1），； （2）， 【答案】，答案不唯一 【分析】根据（1）得到函数单调递减，结合（2）的性质可令，满足要求. 【详解】由（1）可得在R上单调递减， 结合（2）可令，此时满足. 故答案为： 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求的解析式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据已知条件结合函数奇偶性的性质，列出方程组，求解即可得出答案； （2）令，根据已知只需满足即可.代入整理可得，.换元设，，根据二次函数的性质讨论对称轴与区间的关系，得出最小值，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）根据已知可得，，. 又，所以有， 所以，，. （2）令， 由已知可得，，恒成立， 只需满足即可. 由（1）可得，. 令，， 因为函数与均为R上的增函数， 所以，在上单调递增，所以. 设，， 根据二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增， 此时在处有最小值， 解得，所以恒成立； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 所以，在处有最小值， 整理可得，，解得. 又，所以. 综上所述，时，，所以有. 6．（23-24高一上·福建福州·期中）设函数且是奇函数． (1)求的值； (2)若，判断并用定义证明函数的单调性，并求使不等式恒成立的t的取值范围． 【答案】(1)(2)单调递减，证明见解析， 【分析】（1）根据函数是定义域为R的奇函数，直接由求得的值； （2）把（1）求得的的值代入函数解析式，判断其单调性，再利用定义证明，然后利用函数的单调性把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用判别式小于0求得的取值范围； 【详解】（1）函数是定义域为R的奇函数，， ，， 所以 函数是奇函数，满足题意； （2）且， 因为，， 又，且，， 单调递减，单调递减，故函数在R上单调递减． 证明如下： 设，则 ， 由于，， 则，即， ，即， 所以函数在R上为单调减函数； 不等式化为， ，即恒成立， ，解得． 判断指数型复合函数的单调性 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用奇偶性定义判断出为上的奇函数，根据的单调性得出的单调性，再结合单调性、奇偶性解不等式可得答案. 【详解】因为是上的单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 令， 时，， 所以为上的奇函数， 因为是上的单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 则，即， 可得，即. 所以错误，不一定成立，错误， 所以，而的正负不确定，故错误. 故选：A. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）下列命题正确的是（    ） A．已知函数的单调递增区间是 B．已知，则 C．若，则 D．是的充要条件 【答案】BC 【分析】判断函数的单调性判断A；配凑法求出解析式判断B；利用不等式性质判断C；利用充要条件的定义判断D. 【详解】对于A，函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数在上单调递减，A错误； 对于B，，因此，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，取，显然满足，而不成立，D错误. 故选：BC 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数且，若，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】化简函数，求出的范围，即可得出的单调递增区间. 【详解】由题意， 在且中， ， ∵， ∴，函数在上单调递增，在上单调递减， ∴的单调递增区间为， 故答案为：. 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用单调性定义证明在上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解. 【详解】（1）任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. （2）任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）对于函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)是否存在实数使函数为奇函数？证明你的结论． 【答案】(1)函数在定义域内单调递减，证明见解析(2)，证明见解析 【分析】（1）利用指数函数的图象与性质、函数单调性的定义分析运算即可得解得证. （2）利用指数函数的图象与性质、函数奇偶性的定义分析运算即可得解得证. 【详解】（1）解：由题意，函数，， 函数在定义域内单调递减， 证明：设，则 ， 由指数函数的图象与性质知，，则， ∴，即， ∴函数在定义域内单调递减. （2）解：当时函数为奇函数. ∵函数为奇函数， ∴由奇偶性的定义知，， 解得：. 证明：当时，，， ∵， ∴函数为奇函数， ∴当时，函数为奇函数. 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数． (1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，在和上都是减函数．(2)． 【分析】（1）由奇函数的定义求得参数，再由单调性定义证明． （2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解． 【详解】（1）由题意恒成立，即，整理得， ∴，， ，它在和上都是减函数， 设且均不为0，， 若，则，，，所以，即， ∴在上是减函数， 同理若，则，，，所以，即， ∴在上是减函数． （2），时，，时，， ，是奇函数，则， ，若，则，不合题意， ∴且，解得或． 比较指数幂的大小 1．（23-24高一上·福建三明·期中）下列大小关系正确的是（    ） ①    ②    ③     ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】利用指数函数、幂函数的性质比较大小. 【详解】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为幂函数在单调递减，所以， 即，④错误； 故选:C. 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小. 【详解】由在定义域上单调递减，所以得：， 由在定义域上单调递增，所以得：， 即：.故A项正确. 故选：A. 3．（23-24高一上·福建龙岩·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】由指数函数的性质有 又由递增知 故选：A 4．（23-24高一上·福建福州·期中）设 则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数与指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】设，由幂函数性质知在单调递增， 由，知， 设，因为， 由指数函数性质知在单调递减， 所以， 所以， 故选：B. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）设，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，由于在上单调递增，所以时，，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质、作差法以及指数函数、幂函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以 ，所以，故B错误； 对于C，因为，根据指数函数在上单调递增得，故C正确； 对于D，因为，根据幂函数在上单调递增得，故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】选项A根据不等式的性质可得；选项B运用作差法可判断；选项C根据指数函数的性质可判断；选项D运用作差法可判断. 【详解】选项A：因为，所以， 故，得，故A正确； 选项B： 因，，且，故，不确定符号，故B错误； 选项C：因，所以， 又因，所以，故C正确； 选项D：， 因为，所以，， 故，即，故D错误， 故选：AC 8．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若且，试比较与的大小关系； (3)令，若在R上的最小值为，求m的值． 【答案】(1)；(2)；(3)1. 【分析】（1）把代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得. （2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系. （3）利用换元法化简的解析式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的值. 【详解】（1）当时，函数， 不等式化为，即，解得，则， 所以不等式的解集为. （2）依题意， ， 由，得，又， 则，因此， 所以. （3）令，，则， 于是 ， 而，当且仅当，即，时取等号， 当，即时，则当时，取得最小值，，矛盾； 当，即时，则当时，取得最小值， 解得，则， 所以m的值是1. 根据指数函数的值域求参数 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意判断方程是否有解即可﹒ 【详解】对于A：当时，该方程无解，故A不满足； 对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足； 对于C：当时，时，解得或(舍)， 当时，时，无解，综上C满足； 对于D：无解，∴D不满足条件﹒ 故选：BC﹒ 2．（22-23高一上·福建·期中）已知函数，函数，若任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】分别求出在的值域是，在的值域是，由题意知，可得即可求解. 【详解】因为，，所以， ，当时， 若任意，存在，使得成立， 则， 即解得：， 故答案为 3．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值. (3)对于函数，若，，，，，，满足，则为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）将代入，利用指数函数的性质即可求解. （2）分离参数可得，求出的最小值即可求解. （3），利用指数函数的性质求出函数的值域即可求解. 【详解】（1）当时，. 因为，等价于.所以. 所以原不等式的解集为. （2），， 因为，所以， 设，， 设， 所以在时恒成立. ， 在上是减函数， 所以的最大值为. （3）. ①当时，在上是增函数，值域为， 所以，.又因为，所以. ②当时，，显然是可构造函数. ③当时，在上是减函数，值域为，则，即. 综上可知，的取值范围为. 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数,其中且，满足. （1）求实数的值； （2）当，求的值域； （3）若关于的方程在区间上无解，求实数的取值范围. 【答案】（1）2, （2）,（3） 【分析】（1）由，根据，即可求出结果； （2）先由（1）得令，得，根据二次函数单调性，即可求出结果； （3）根据（2）的结果，由关于的方程在区间上无解，即可得出结果. 【详解】（1）由，解得，因为，所以. （2）由（1）知 令，则， 由在上单调递增， 所以当时，，此时，  当时，，此时， 所以的值域为. （3）因为在区间上无解，所以或； 实数的取值范围为. 指数函数最值与不等式的综合问题 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）当时，有，（且），则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】解析：时，（，且）. 若，是增函数， 则有，可得，故有； 若，是减函数， 则有，可得，故有， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：AC. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】变换，再利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】恒成立，即，， 当且仅当，即时等号成立，故，即. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知，，其中，. (1)当时，解不等式. (2)设，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据得到，解得答案. （2）构造，，转化为，确定函数解析式，根据单调性计算最值得到，换元解不等式得到答案. 【详解】（1），所以，， 即，所以解集为， （2）设，，依题意可知， 因为， 则， 当时，在上单调递增，， 设，则， 当时，单调递增，，在上单调递增， 故在上单调递增， 当时，单调递减，，在上单调递减， 故在上单调递增， 综上所述：在上单调递增，可得在上单调递减， 所以， ， 且在上单调递增，则在上单调递增， 可得在上单调递增，所以， 因此恒成立， 设，即，则，解得， 即，解得， 结合可知，可得，所以的取值范围. 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数（a是常数）. (1)当a=1时，求证以下两个结论∶ （i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）. （ii）f（x）的图像始终在的图像的下方. (2)设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）（i）任取，化简计算并判断正负即可得出单调性； （ii）两个函数作差和0比较大小即可； （2）由题意可得，结合，利用换元法转化为，，再结合二次函数的性质即可. 【详解】（1）（i）由题意，（是常数），当时，， 证明: 函数在上单调递增，又，则， 于是得，即， 在上单调递增. （ii）， 即的图像始终在的图像的下方. （2）由题意，得，， 令，则，其对称轴为， ①当，即时，此时单调递减， ∴，即， 解得或， ∴； ②当，即时，此时先减后增左端点高， ∴即，无解； ③当，即时，此时先减后增右端点高， ∴即，无解； ④当，即时，此时单调递增， ∴即， 解得或， ∴； 综上，. 5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数. （1）若的最小值为，求实数的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）换元，问题转化为求二次函数在时有最小值，求实数的值，然后分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的单调性，求出函数的最小值，进而可求得实数的值； （2）由（1）结合，可得出对任意的恒成立，分析函数在区间上的单调性，求出的值域，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）， 换元，则. ①当时，二次函数在区间上单调递增，无最小值； ②当时，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，，，解得. 综上所述，； （2）由（1）知，若对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，其中，易知函数在区间上单调递增， 当时，，即，所以，， 因此，实数的取值范围是. 6．（23-24高一上·福建·期中）已知是定义在R上的奇函数. （1）求的解析式； （2）已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用函数的奇偶性，代入特殊值求解即可 （2）构造函数，利用函数的性质，判断出的单调性，使得成立等价于成立，进而求解 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数， 所以，即， 解得， 则. （2）令， 由（1）可知 . 易证函数与均是上的减函数， 则是上的减函数，且. 令， 对于任意，存在， 使得成立等价于成立， 即. 若，则在上单调递减， ， 故，解得； 若，则在上单调递增，， 故，解得. 综上所述，a的取值范围为. 7．（22-23高一上·福建·期中）已知函数． （1）求在区间的值域； （2）函数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）确定函数的单调性，得值域； （2）记，题意等价于，换元，设，由对勾函数得的单调性及最小值，是一次函数，最小值易求，从而可得的取值范围。 【详解】（1）易知在上单调递增， ∴值域为. （2）设， ，易知. 令，则 在上递减，在上递增. .即, 由题意知，，即. 由指数型的单调性求参数 1．（23-24高一上·福建三明·期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型复合函数的单调性求解. 【详解】设， 因为函数在区间上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可得， 函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故选：C. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数，以分段函数的单调性性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得，即， 所以实数的取值不可能是， 故选：D． 4．（22-23高一上·福建厦门·期中）函数（且）在上有最小值，无最大值，则有（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数的图象和性质，可知在上单调递减，即可得出答案. 【详解】解：由于（且）在上有最小值，无最大值， 可知在上单调递减，所以. 故选：B. 5．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数对任意，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性，保证每一段都是减函数，同时断开的地方也满足单调性即可. 【详解】任意，都有； 所以是减函数； 故答案为： 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，①如果，则a的值等于 ；②若满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由给定的分段函数及函数值列式计算即得；由给定不等式可得函数在R上单调递减，由此列出不等式组求解即得. 【详解】因函数，又，于是得，而，解得， 所以a的值等于； 因对任意，都有成立，则函数在R上单调递减， 因此，，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：； 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，若其在区间上是增函数，则实数a，b应满足的条件为 . 【答案】且. 【分析】设，利用复合函数的单调性分和两种情况讨论即得. 【详解】设， 当时，函数在区间上是增函数，即g(x)在区间上是增函数， ∴即； 当时，函数在区间上是增函数，即g(x)在区间上是减函数，但g(x)在区间上是增函数， 故不存在实数a，b使函数在区间上是增函数； 所以函数在区间上是增函数，实数a，b应满足的条件为且. 故答案为：且. 8．（22-23高一上·福建福州·期中）如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间. (1)若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由； (2)已知函数，其中且，，. ①当时，若函数是上的等域函数，求的解析式； ②证明：当，时，函数不存在等域区间. 【答案】(1)存在，等域区间为(2)①；证明见详解. 【分析】（1）结合函数单调性，写出一个即可； （2）①分类讨论确定函数增减性，再结合等域区间定义解方程即可； ②先由已知条件判断函数为减函数，再结合反证法和不等式性质即可得证. 【详解】（1）当时，的值域也为，故存在等域区间，等域区间为； （2）①当时，， 若，则函数为增函数，，即，； 若，则函数为减函数，，即，，不满足题意， 所以； ②当，时，，， 故为减函数，假设存在区间， 则，， 即，因为，， 所以，等式不成立，则当，时，函数不存在等域区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$