专题18 函数模型的应用（3大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题18 函数模型的应用 利用二次函数模型解决实际问题 1．（23-24高一上·福建福州·期中）一艘动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若每次拖4只小船，则每天能往返运货16次；若每次拖7只小船，则每天能往返运货10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返运货次数成正比例.设每次拖x只小船，每天往返运货y次，则y关于x的函数关系式为 ；为使每天运货总量最大，则每次应该拖 只小船. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在万到万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金单位：万元随着业绩值单位：万元的增加而增加，但不超过业绩值的． (1)若某业务员的业绩为万，核定可得万元奖金，若公司用函数（为常数）作为奖励函数模型，则业绩万元的业务员可以得到多少奖励？ (2)若采用函数，求的范围． （参考数值：） 3．（23-24高一上·福建三明·期中）某公司生产某种产品每年需要固定投资40万元，此外每生产1件该产品还需要额外增加投资1万元，已知年销售总收入R（单位：万元）关于年产量（单位：件）满足函数：，记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润=年销售总收入-年总投资）． (1)求y（万元）关于x（件）的函数关系式； (2)该公司的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值． 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y（单位：万元）与年产量x（单位：吨，）之间的函数关系式为，已知该生产线年产量最大为220吨． (1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本． (2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润? 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）秋风送爽，文旦歌香．文旦柚，中国三大名柚之一，每年9月下旬-11月中旬是文旦柚成熟采摘的季节，满山柚树，硕果累累．某乡镇以“共富果园”为目标，促进农业产业高质量发展，经调研发现，文旦柚果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，另肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知柚子的市场售价大约为12元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出关于的函数解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 6．（23-24高一上·福建福州·期中）2023年某旅游公司计划在福清儿童公园开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润销售额成本）. (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大?最大利润是多少? 7．（23-24高一上·福建·期中）福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0． (1)当时，求函数的表达式； (2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）． 分段函数模型的应用 1．（23-24高一上·福建福州·期中）某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 2．（23-24高一上·福建福州·期中）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力、夜间经济已经成为城市经济发展的重要驱动因素.根据城市研究院发布《2023年中国城市夜间经济发展报告》，福州市入选“中国夜经济繁荣度TOP100城市”第二梯队.光明港夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元. (1)给出以下三个函数模型： ①；②；③. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（不必说明理由）来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）； (2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 4．（23-24高一上·福建·期中）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产万件，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元．通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 5．（23-24高一上·福建漳州·期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？ 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电不超过度，每度元；超过度，但不超过度的部分，每度元；超过度，但不超过度的部分，每度元；超过度的部分，每度元.某月，两户共交电费元，已知，两户该月用电量分别为度、度. (1)求关于的函数关系式； (2)若，两户该月共交电费元，求，两户的用电量． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）某厂家为满足市场需求，拟加大某产品的生产力度.已知该厂家生产该种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本（单位：万元）.当年产量不足50千件时，；年产量不小于50千件时，.该产品每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润是多少？ 分式型函数模型的应用 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x 10 20 25 30 110 120 125 130 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求k的值； (2)根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式； (3)根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）为了存放机器设备，工厂计划建造一间占地30平方米且墙高为3米的长方体保管间．该保管间背面靠墙，无需建造费用．甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米60元，左右两面新建墙体报价为每平方米25元，屋顶和地面及其他报价共计1800元．设保管间正面墙体长度为米． (1)若由甲工程队建造该保管间，当正面新建墙体长度为多少米时，费用最低？最低费用为多少？ (2)现有乙工程队也参与该保管室建造竞标，其给出的整体报价为 元（），若无论正面新建墙体长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数的取值范围． 3．（22-23高一上·福建福州·期中）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米. （1）求S关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值， 4．（22-23高一上·福建福州·期中）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 5．（22-23高一上·福建省市国祺·期中）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 指数函数模型的应用 1．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 2．（22-23高一·福建省三明市·期中）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．128 B．130 C．132 D．134 3．（23-24高一上·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：）． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌､病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择. （参考数据：，，，，，，） (1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数） 对数函数模型的应用 1．（22-23高一上·福建福州·期中）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）（附：） A．22% B．33% C．44% D．55% 2．（23-24高一·福建省泉州市·期中）原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（    ）（参考数据：） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 3．（22-23高一上·福建·期中）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·福建龙岩·期中）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 利用给定函数模型解决实际问题 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调直发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数）．该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 （套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元． (1)求的值； (2)给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由．根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低． 2．（22-23高一上·福建福州·期中）受新冠疫情影响全球海运受到极大影响，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本单位：万元与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入单位：万元与货物量的函数关系式已知单次装箱的利润，且当时，． (1)求的值； (2)当单次装箱货物为多少吨时，单次装箱利润可以达到最大，并求出最大值． 3．（22-23高一上·福建福州·期中）近年来，网龙已成为全球在线及移动互联网教育行业的主要参与者，教育版图至今已覆盖192个国家.网龙协助政府打造面向全球的“中国·福建VR产业基地”，同时，网龙还将以“智能教育”为产业依托，在福州滨海新城打造国际未来教育之都——网龙教育小镇.网龙公司研发一种新产品，生产的固定成本为15000元，每生产一台产品须额外增加投入2000元，鉴于市场等多因素，根据初步测算，当每月产量为台时，总收入（单位：元）满足函数：，设其利润为，（利润=总收入-总成本） (1)求关于的函数关系式； (2)如何安排当月产量公司获利润最大？最大利润是多少？ 4．（22-23高一上·福建福州·期中）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴企业在收到政府（万元）补贴后，当补贴小等于5万元时，产量将维持在6万件不变，当补贴超过5万元时，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 5．（22-23高一上·福建福州·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费为（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站3千米处建仓库，则和分别为5万元和15万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 建立拟合函数模型解决实际问题 1．（23-24高一上·福建宁德·期中）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系近似地表示为. (1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元? (2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少元? 2．（22-23高一上·福建福州·期中）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示： （天 1 14 18 22 26 30 122 135 139 143 139 135 (1)给出以下四个函数模型： ①；②；③；④． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元），；若在距离车站9千米处建仓库，则仓库每月土地占地费为2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？ 4．（22-23高一上·福建宁德·期中）某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示： 第（天） 1 2 5 10 （万份） 20 15 12 11 (1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值． 5．（22-23高一上·福建福州·期中）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为x万元；每间肉食水产类店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%． (1)两类店面间数的建造方案有多少种？ (2)市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 函数模型的应用 利用二次函数模型解决实际问题 1．（23-24高一上·福建福州·期中）一艘动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若每次拖4只小船，则每天能往返运货16次；若每次拖7只小船，则每天能往返运货10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返运货次数成正比例.设每次拖x只小船，每天往返运货y次，则y关于x的函数关系式为 ；为使每天运货总量最大，则每次应该拖 只小船. 【答案】 6 【分析】根据题意设出一次函数解析式，代入对应数值求得答案，调好出每只小船的载重量，每日运货的总重量，进一步列出二次函数，利用二次函数的性质可求得结果. 【详解】由题意设，则，解得， 所以； 设每只小船的载重量为，每日的运货总重量为， 所以每日运货总重量为， 所以当时，取得最大值， 即每次拖6只小船. 故答案为：；6 2．（23-24高一上·福建三明·期中）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在万到万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金单位：万元随着业绩值单位：万元的增加而增加，但不超过业绩值的． (1)若某业务员的业绩为万，核定可得万元奖金，若公司用函数（为常数）作为奖励函数模型，则业绩万元的业务员可以得到多少奖励？ (2)若采用函数，求的范围． （参考数值：） 【答案】(1)万元奖励； (2). 【分析】（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决. （2）根据题意列出关于x的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数a的取值范围. 【详解】（1）函数模型为常数， 当时，，代入解得，即，当时，， 当时，， 所以业绩万元的业务员可以得到万元奖励． （2）函数模型， 因为函数在单调递增，则，， 由奖金不超过业绩值的，得， 于是对恒成立， 令，显然二次函数的图象开口向上且， 函数图象的对称轴，则只需， 即，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 3．（23-24高一上·福建三明·期中）某公司生产某种产品每年需要固定投资40万元，此外每生产1件该产品还需要额外增加投资1万元，已知年销售总收入R（单位：万元）关于年产量（单位：件）满足函数：，记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润=年销售总收入-年总投资）． (1)求y（万元）关于x（件）的函数关系式； (2)该公司的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值． 【答案】(1) (2)12，104万元 【分析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案； （2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值及取最大值时对应的的值即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故. （2）当时，， 当时，， 又时，，所以，当时，， 又，所以，年产量为12件时，取得最大年利润104万元. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y（单位：万元）与年产量x（单位：吨，）之间的函数关系式为，已知该生产线年产量最大为220吨． (1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本． (2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润? 【答案】(1)年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为30万元． (2)年产量为220吨时，可以获得最大利润4300万元． 【分析】（1）根据已知条件，求出，再结合基本不等式的公式，即可求解． （2）年利润为，再结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）生产每吨产品的平均成本， 当且仅当，即时，等号成立， 故当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为30万元． （2）年利润为， 当时，随着增大而增大， 当时，年利润取到最大值4300， 故当年产量为220吨时，可以获得最大利润4300万元． 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）秋风送爽，文旦歌香．文旦柚，中国三大名柚之一，每年9月下旬-11月中旬是文旦柚成熟采摘的季节，满山柚树，硕果累累．某乡镇以“共富果园”为目标，促进农业产业高质量发展，经调研发现，文旦柚果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，另肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知柚子的市场售价大约为12元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出关于的函数解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(2) 千克，元 【分析】（1）根据题意，结合，即可得到关于的函数解析式； （2）由（1）的函数解析式，利用二次函数的性质和基本不等式，求得，比较即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意，可得 当，可得； 当，可得， 所以. （2）解：由（1）得当时，， 因为，当时，； 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当时，， 所以，当施用肥料为千克时，种植该果树获得的最大利润是元． 6．（23-24高一上·福建福州·期中）2023年某旅游公司计划在福清儿童公园开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润销售额成本）. (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当2024年游客数量为万人时，该项目所获利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合一次函数与二次函数的性质求最值，从而得解． 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 故． （2）若时，， 若时，， 当时，， 综上，当时，， 所以当2024年游客数量为万人时，该项目所获利润最大，最大利润是万元. 7．（23-24高一上·福建·期中）福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0． (1)当时，求函数的表达式； (2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）． 【答案】(1) (2)75辆/千米，2812辆/小时． 【分析】（1）根据已知条件列方程组求得，进而求得. （2）根据函数的单调性以及二次函数的性质求得的最大值以及此时对应的的值. 【详解】（1）由题意：当时，；当时，设 再由已知得，解得 故函数的表达式为． （2）依题并由（1）可得， 当时，为增函数，， 当时，， 即当时，在区间上取得最大值约为2812， 即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时． 分段函数模型的应用 1．（23-24高一上·福建福州·期中）某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 【答案】9 【分析】先根据函数解析式得出函数的单调性，进而结合已知得出.将代入函数，求出，进而根据可推得，得出分段函数解析式.代入，即可得出答案. 【详解】根据函数的解析式可知，当时，单调递减；当时，为常数. 且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时， 所以有， 所以，. 又，所以. 所以，. 所以. 故答案为：9. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力、夜间经济已经成为城市经济发展的重要驱动因素.根据城市研究院发布《2023年中国城市夜间经济发展报告》，福州市入选“中国夜经济繁荣度TOP100城市”第二梯队.光明港夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元. (1)给出以下三个函数模型： ①；②；③. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（不必说明理由）来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)，的最小值. 【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解； （2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）解：因为第10天的日销售收入为505元， 则，解得， 由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减， 函数模型：①；③是单调函数， 所以选择模型②：， 由，可得，解得， 由，解得， 所以日销售量与时间的变化的关系式为； （2）由（2）知， 所以， 即， 当时， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值. 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）； (2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9009万元 【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答. （2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答. 【详解】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元， 因此， 所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是. （2）由（1）知，当时，， 当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号； 而，因此当时，， 所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9009万元. 4．（23-24高一上·福建·期中）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产万件，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元．通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意，分别求得和时，利润的表达式，进而得到的函数关系式； （2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质和基本不等式，分别取得利润的最大值，比较即可得到答案. 【详解】（1）解：因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元， 当时， 可得； 当时，， 所以. （2）当时， 可得， 当时，取得最大值万元； 当时，万元， 当且仅当时，即时，函数取得最大值，最大值为万元， 因为，所以年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元. 5．（23-24高一上·福建漳州·期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？ 【答案】(1)(2)次 【分析】（1）当且时设，根据、代入求出、的值，即可求出解析式； （2）设平均每次的维修费用为，则，分和两种情况讨论，结合幂函数与二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）当且时设，则，解得， 所以（且）， 当时， 综上可得. （2）设平均每次的维修费用为， 当且时，函数在上单调递减， 当时； 当时， 所以当，即时取得最小值，即， 综上可得购买次维修服务能使平均每次的维修费用最少. 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电不超过度，每度元；超过度，但不超过度的部分，每度元；超过度，但不超过度的部分，每度元；超过度的部分，每度元.某月，两户共交电费元，已知，两户该月用电量分别为度、度. (1)求关于的函数关系式； (2)若，两户该月共交电费元，求，两户的用电量． 【答案】(1) (2)用户用电度， 用户用电度 【分析】（1）根据所给条件分段求出函数解析式； （2）结合（1）中解析式，代入计算可得. 【详解】（1）当即时； 当即时； 当即时 ； 当即时 ， 当即时 ， 当即时， ， 综上可得 （2）显然，， 当，解得， 所以用户用电度， 用户用电度； 又，，， 所以用户用电度， 用户用电度. 7．（23-24高一上·福建福州·期中）某厂家为满足市场需求，拟加大某产品的生产力度.已知该厂家生产该种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本（单位：万元）.当年产量不足50千件时，；年产量不小于50千件时，.该产品每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为70千件时，该厂所获利润最大，最大利润是270万元． 【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论，即可求解． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解． 【详解】（1）每千件商品售价为50万元， 千件产品销售额为， 当时，， 当时，． 综上所述， （2）当时，， 则万元， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 由于， 则当年产量为70千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是270万元． 分式型函数模型的应用 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x 10 20 25 30 110 120 125 130 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求k的值； (2)根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式； (3)根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值. 【答案】(1)(2),（，）(3)121元 【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列出方程解之即得； （2）在表格中任取两组对应值代入，得二元方程组，求解即得； （3）依题列出的解析式，运用基本不等式求出其最小值即得. 【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元， 即，解得； （2）由表中数据可得，，即， 解得，故,（，） （3）依题意，， 因，，由，当且仅当时等号成立， 即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）为了存放机器设备，工厂计划建造一间占地30平方米且墙高为3米的长方体保管间．该保管间背面靠墙，无需建造费用．甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米60元，左右两面新建墙体报价为每平方米25元，屋顶和地面及其他报价共计1800元．设保管间正面墙体长度为米． (1)若由甲工程队建造该保管间，当正面新建墙体长度为多少米时，费用最低？最低费用为多少？ (2)现有乙工程队也参与该保管室建造竞标，其给出的整体报价为 元（），若无论正面新建墙体长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数的取值范围． 【答案】(1)当正面新建墙体长度为5米时，费用最低，最低费用为3600元.(2) 【分析】（1）根据已知条件，列出函数，利用基本不等式求出最值即可； （2）结合题意可得，恒成立，分参后利用换元加单调性即可求解. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则， , 当且仅当时即时取得等号 所以当正面新建墙体长度为5米时，费用最低，最低费用为3600元. （2）因为无论正面新建墙体长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 所以，，恒成立 分参可得，恒成立 又， 令则， 可得，任取，设， 则， 由，，所以， 在区间上单调增， 当时取得最小值， 所以. 3．（22-23高一上·福建福州·期中）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米. （1）求S关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值， 【答案】（1），定义域为；（2），． 【解析】（1）用求出矩形的长，然后减去道路宽后计算塑胶运动场地面积S，注意中间三个小矩形存在，同时可得定义域； （2）由基本不等式求得最值． 【详解】（1）由题意． ，又，所以． 综上，定义域为． （2）由（1），当且仅当，即时，等号成立． 所以，． 4．（22-23高一上·福建福州·期中）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)40元(2)10.2万件，30元 【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解； （2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）依题意，设每件定价为元，得， 整理得，解得. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元. （2）依题意知当时，不等式有解， 等价于时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和， 此时该商品的每件定价为30元. 5．（22-23高一上·福建省市国祺·期中）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【答案】(1)400吨； (2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. （2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度. 【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为； 当且仅当 ，即 时等号成立， 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元. （2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ， 因为，则， 故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 指数函数模型的应用 1．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 【答案】B 【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案. 【详解】由题知，，， ， ， ， ， . 故选：B. 2．（22-23高一·福建省三明市·期中）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．128 B．130 C．132 D．134 【答案】B 【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可. 【详解】由题设，，则， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次. 故选：B 3．（23-24高一上·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 【答案】(1)答案见解析(2)5.54min 【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式； （2）根据（1）的解析式，求解方程. 【详解】（1）选择②（，，）作为函数模型． 由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③； 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①． 故应选择②（，，） 将表中前的数据代入，得， 解得， 所以函数模型的解析式为：； （2）由（1）中函数模型，有， 即，所以， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感． 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：）． 【答案】(1)选择模型符合要求， (2)六月份 【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式； （2）由（1）结合已知可得，再结合已知数据即可得出答案. 【详解】（1）函数与在上都是增函数， 随着的增加，函数的值增加的越来越快， 而函数的值增加的越来越慢， 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求， 根据题意可知时，；时，， 所以，解得， 故该函数模型的解析式为； （2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是， 由，得， 所以， 又， 所以，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌､病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择. （参考数据：，，，，，，） (1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数） 【答案】(1)应选模型为，理由见解析；(2) 【分析】（1）根据增长速度可知应选，根据已知数据可构造方程组求得，进而得到函数模型； （2）根据函数模型可直接构造不等式，结合参考数据计算可得，由此可得结论. 【详解】（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢， 应选模型为； 则，解得：，，又， 函数模型为； （2）由题意得：，即，， ，， 至少经过培养基中菌落面积能超过. 对数函数模型的应用 1．（22-23高一上·福建福州·期中）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）（附：） A．22% B．33% C．44% D．55% 【答案】C 【分析】根据题中所给公式，利用代入法，结合对数的运算公式和换底公式进行即可. 【详解】由题意可知：大约增加了 ， 故选：C 2．（23-24高一·福建省泉州市·期中）原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（    ）（参考数据：） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】C 【分析】依据题意列出方程，利用对数的运算性质结合给定的特殊对数值处理即可. 【详解】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要分钟， 则，两边取对数得， 解得，所以大约需要小时， 故在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要6小时. 故选：C. 3．（22-23高一上·福建·期中）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件列出不等式，结合对数的运算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，所以， 即，所以， 即最大声强为. 故选：C 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，则，根据对数运算可得. 【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为， 由题意知， 所以， 即， 所以， 故选：B. 5．（23-24高三上·福建龙岩·期中）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】(1) (2)，(3)55 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型， （2）将，代入求解系数即可. （3）将代入解析式即可. 【详解】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选； （2）将，代入解析式得到，即， 解得，，即. 当时，， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为； （3）由，， 得，得， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 利用给定函数模型解决实际问题 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调直发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数）．该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 （套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元． (1)求的值； (2)给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由．根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低． 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）根据“第24天该商品的日销售收入为32400元”列出关于的方程，则的值可求； （2）结合表格数据以及函数解析式的特征选择模型，再利用基本不等式来分析取最值的情况. 【详解】（1）因为第24天该商品的日销售收入为32400元， 所以可得， 解得. （2）对于模型①，因为表示两侧等距的函数值相等， 而表格中数据并未体现此规律，排除模型①． 对于模型②，将，代入模型②，，解得， 此时，经验证，均满足，故选模型②． 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故日销售收入在第天达到最低． 2．（22-23高一上·福建福州·期中）受新冠疫情影响全球海运受到极大影响，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本单位：万元与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入单位：万元与货物量的函数关系式已知单次装箱的利润，且当时，． (1)求的值； (2)当单次装箱货物为多少吨时，单次装箱利润可以达到最大，并求出最大值． 【答案】(1)(2)每日产量为吨时，日利润最大万元 【分析】（1）先求得每日利润与日产量的函数关系式，然后根据时，求得. （2）利用函数的单调性和基本不等式求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意得，每日利润与日产量的函数关系式为: ， 当时，，即：， 解得. （2）当时，为单调递减函数， 故当时，的最大值为， 当时，， 当且仅当， 即时，的最大值为， 综合上述情况，当每日产量为吨时，日利润最大万元. 3．（22-23高一上·福建福州·期中）近年来，网龙已成为全球在线及移动互联网教育行业的主要参与者，教育版图至今已覆盖192个国家.网龙协助政府打造面向全球的“中国·福建VR产业基地”，同时，网龙还将以“智能教育”为产业依托，在福州滨海新城打造国际未来教育之都——网龙教育小镇.网龙公司研发一种新产品，生产的固定成本为15000元，每生产一台产品须额外增加投入2000元，鉴于市场等多因素，根据初步测算，当每月产量为台时，总收入（单位：元）满足函数：，设其利润为，（利润=总收入-总成本） (1)求关于的函数关系式； (2)如何安排当月产量公司获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)安排当月产量300台时，利润最大为110000元. 【分析】（1）根据利润=总收入-总成本，分和两种情况求解即可； （2）分和两种情况求出的最大值，然后比较可得答案. 【详解】（1）①当， ， ②当， ， 综上，. （2）①当， ， 当台时 利润最大为110000元.            ②当， 在单调递减，        元  110000>85000        ， 答：安排当月产量300台时，利润最在为110000元. 4．（22-23高一上·福建福州·期中）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴企业在收到政府（万元）补贴后，当补贴小等于5万元时，产量将维持在6万件不变，当补贴超过5万元时，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 【答案】(1) (2)当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大. 【分析】（1）对进行分类讨论，由收益=销售金额+政府专项补贴-成本求得. （2）结合基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）由（1）得：当时，. 当时，， 当且仅当时，等号成立， ，所以当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大. 5．（22-23高一上·福建福州·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费为（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站3千米处建仓库，则和分别为5万元和15万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 【答案】1 【分析】根据题意设，，代入数据计算得到，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】根据题意：，， 当时，，；，， 故，， 当，即时，等号成立. 故公司应该把仓库建在距离车站1千米处，才能使两项费用之和最小. 建立拟合函数模型解决实际问题 1．（23-24高一上·福建宁德·期中）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系近似地表示为. (1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元? (2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少元? 【答案】(1)企业每月处理量为300吨时，成本最低，最低为19800元 (2)企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，最低60元 【分析】（1）由函数单调性得到最值； （2）得到每吨的平均处理成本，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1）该企业的月处理成本， 因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元. （2）因为， 所以每吨的平均处理成本. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元. 2．（22-23高一上·福建福州·期中）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示： （天 1 14 18 22 26 30 122 135 139 143 139 135 (1)给出以下四个函数模型： ①；②；③；④． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)选择模型②，，；(2)139.5元． 【分析】（1）由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，则选择模型②，由函数图象对称性可知，由表格数据代入即可求解； （2）由第1天的日销售收入为244元，解得，由（1），去绝对值后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且， 日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示： （天 1 14 18 22 26 30 122 135 139 143 139 135 由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减， ①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型②：， 由函数图象对称性可知，又由表格可知，， 代入，得，解得，， 所以日销售量与时间的变化的关系式为，. （2）因为第1天的日销售收入为244元，则，解得，则， 由（1）， 知， 由， 当，时，， 当且仅当时，即时等号成立， 当，时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值139.5元． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元），；若在距离车站9千米处建仓库，则仓库每月土地占地费为2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？ 【答案】应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元 【分析】设，根据题意求出，设两项费用之和为z（单位：万元），求出的关系式，再结合基本不等式即可得解. 【详解】设，其中， 当时，，解得，所以， 又，设两项费用之和为z（单位：万元）， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小， 最小费用是7.2万元． 4．（22-23高一上·福建宁德·期中）某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示： 第（天） 1 2 5 10 （万份） 20 15 12 11 (1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值． 【答案】(1)选择②，，理由见解析； (2)，最小值为元. 【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式再进行选择； （2）根据题意求出分段函数的表达式，然后进行分类讨论出两部分的最小值，比较之后较小的满足题意. 【详解】（1）对于函数，根据题意，把点，代入可求得， 此时，点、均不在函数的图象上； 对于函数，根据题意，把点，代入可求得， 此时，点、均在函数的图象上； 所以，． （2）依题意得， 所以， 当时，， 当且仅当时等号成立； 当时，函数单调递减， 此时， 综上所述，当时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为元． 5．（22-23高一上·福建福州·期中）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为x万元；每间肉食水产类店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%． (1)两类店面间数的建造方案有多少种？ (2)市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为多少万元？ 【答案】(1)16种；(2)1万元. 【分析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立关系式，进而确定解的个数； （2）根据条件建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可. 【详解】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为, 由题意知，， 化简得：， 又， 所以， 解得， ， 所以两类店面间数的建造方案有种； （2）由题意知， ， 恒成立，， ， ， 即的最大值为1万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$