专题17 函数的零点与方程的解（3大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题17 函数的零点与方程的解 求函数的零点 1．（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·福建省泉州市·期中）若函数恰有三个零点，则a的值可能为（    ） A．－1 B．6 C．1 D．2 4．（22-23高一上·福建·期中）已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·福建龙岩·期中）函数的零点为 ． 6．（22-23高一上·福建省罗源县·期中）已知函数 ． (1)求函数的零点； (2)讨论函数在上的零点个数． 零点存在性定理的应用 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）利用二分法求方程的近似解，可以取得一个区间 A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是　　 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）若是方程的实数解，则属于区间（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数成立，则称是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．函数不是回旋函数 B．函数是回旋函数 C．函数是回旋函数 D．若函数为回旋函数，则 5．（22-23高一上·福建龙岩·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数，证明：函数的图像在区间内与轴恰有一个交点． 6．（22-23高一上·福建省宁德市·期中）已知函数是偶函数． （1）求实数k的值； （2）设函数，若方程只有一个实数根，求实数m的取值范围． 求函数零点或方程根的个数 1．（23-24高一上·福建·期中）设，用符号表示不大于的最大整数，如，．若函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域是 C．若，则 D．方程有2个不同的实数根 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知是定义在的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（    ） A．增区间为和 B．有3个根 C．的解集为 D．时， 3．（22-23高一上·福建厦门·期中）关于函数的性质，下列说法正确的是（    ）． A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．方程有且只有一个实根 D．的图象关于点对称 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数．当时，方程有 个实数根．若方程有5个实数根，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是 ． 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数（，）是奇函数，且函数图像经过点 (1)求，的值； (2)若函数，讨论方程（）解的情况 根据函数零点个数求参数范围 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建·期中）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．当 B． C．若在上恒成立，则的最小值为6 D．若关于的方程有三个不同的实数根则． 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 5．（22-23高一上·福建·期中）已知，函数，若对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为 ． 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知为偶函数、为奇函数，且满足. (1)求，； (2)若方程有解，求实数m的取值范围. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）（1）已知函数为偶函数．求的值，并证明在上单调递增； （2）已知函数为常数．有两个不相等实根，求实数的取值范围，并求的值． 8．（23-24高一上·福建·期中）已知定义在区间的函数. (1)证明：函数在上为单调递增函数； (2)设方程有四个不相等的实根，在上是否存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 根据二次函数零点的分布求参数的范围 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，方程有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知方程的两个根一个大于2，一个小于2，则下列选项中满足要求的实数m的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（22-23高一上·福建龙岩·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A．4 B． C． D． 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数.若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围 . 5．（23-24高一上·福建福州·期中）若关于x的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数a的取值范围为 . 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知函数．：函数在上单调递增；：关于的方程，当时有解；，．若，，中至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 7．（22-23高一上·福建泉州·期中）二次函数满足，且方程有相等的实数根． (1)求的解析式； (2)若函数在区间不单调，求实数的取值范围； (3)是否存在实数使得的定义域和值域分别为和，如果存在求出的值，若不存在，说明理由． 函数与方程的综合应用 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ． 3．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知函数的图象与直线有4个交点，且这4个交点的横坐标分别为，则 ，的最大值为 ． 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围. 6．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若函数是偶函数，且不等式在上有解，求的取值范围； (2)若，且函数恰有一个零点，求的值. 判断零点所在的区间 1．（23-24高一上·福建南平·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建宁德·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数与的图象交点为,则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）函数f(x)＝2x－1＋x－9的零点所在区间是（    ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 6．（22-23高一上·福建漳州·期中） (1)证明：存在唯一的零点，且 (2)若的零点记为，设，求证 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 函数的零点与方程的解 求函数的零点 1．（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】利用零点的定义求解. 【详解】令，解得， 故选:C. 2．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义域、零点确定正确选项. 【详解】由于，所以的定义域是，由此排除AB选项， 由解得，即是的唯一零点，由此排除D选项， 所以正确的选项为C. 故选：C 3．（23-24高一·福建省泉州市·期中）若函数恰有三个零点，则a的值可能为（    ） A．－1 B．6 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值. 【详解】函数恰有三个零点， 时，，函数有两个零点0和6， 则时，有一个零点，所以，即， BCD选项都符合. 故选：BCD 4．（22-23高一上·福建·期中）已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，则有，，，直接变形判断AB；利用基本不等式判断C；由零点存在定理判断，构造函数，确定单调性，再计算函数值，利用单调性判断D． 【详解】由函数得，所以的图象关于直线对称， 是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标， 因此已知，， 又，，即， 因而A、B均正确； 又，当且仅当即时等号成立， 但， 因而，上式等号不成立， 所以，C正确； 记，， 因此 而函数在区间范围内单调递增， 所以，所以D错误． 故选：ABC． 5．（23-24高三上·福建龙岩·期中）函数的零点为 ． 【答案】1和3 【分析】由题意，根据零点的定义，列方程，可得答案. 【详解】由题意，，，解得或，故函数的零点为和. 故答案为：和. 6．（22-23高一上·福建省罗源县·期中）已知函数 ． (1)求函数的零点； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1)和(2)答案见解析． 【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案； （2）根据题意，将问题转化为函数在上的图像与直线的交点个数，进而数形结合求解即可. 【详解】（1）解：由 ， 得 ， 化简为 ， 解得 或 ， 所以，或． 所以，的零点为和 ． （2）解：由题意得， 令，得， 令， ，则 ， 所以在上的零点个数等于函数在上的图像与直线的交点个数． 在上的图像如图所示． 所以，当或时，在上的图像与直线无交点， 所以，在上的零点个数为； 当或时在上的图像与直线有个交点， 所以，在上的零点个数为； 当时，在上的图像与直线有个交点， 所以，在上的零点个数为． 综上，当或时，在上的零点个数为； 当或时，在上的零点个数为； 当时，在上的零点个数为． 零点存在性定理的应用 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）利用二分法求方程的近似解，可以取得一个区间 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】设，则函数单调递增 由于，，∴在上有零点． 故选：D. 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程的解，就是的零点，因为单调递增，利用零点存定理可得结果. 【详解】方程的解， 就是的零点， 因为单调递增且连续， 在上满足， 在上满足 所以的零点在 可得方程的解所在的区间是， 即则所在的区间是， 故选C． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）若是方程的实数解，则属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】令，则在定义域上单调递增， 又，， ，， 所以， 所以在上存在唯一零点，即存在使得. 故选：C 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数成立，则称是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．函数不是回旋函数 B．函数是回旋函数 C．函数是回旋函数 D．若函数为回旋函数，则 【答案】ACD 【分析】利用回旋函数的定义，结合一次函数、二次函数与指数函数的性质，及零点存在定理逐一分析判断即可. 【详解】对于A，假设函数是回旋函数， 则，对任意实数都成立， 令，则必有 ， 令，则，显然不是方程的解， 故假设不成立，该函数不是回旋函数，故A正确； 对于B，假设是是回旋函数，则，对任意实数都成立， 令，则必有 ， 令，则，显然不是方程的解， 故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B错误； 对于C，假设是回旋函数， 则， 则有解，令， 则，， 由零点存在定理可知，在上存在零点，故C正确； 对于D，因为是回旋函数， 所以， 则有解，则，故D正确； 故选：ACD. 5．（22-23高一上·福建龙岩·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数，证明：函数的图像在区间内与轴恰有一个交点． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）当时，，利用 求当时的解析式，结合即可得答案； （2）先利用定义证明当时， 递增，结合在单调递增，可得在单调递增，利用零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）当时，，   所以   当时，， 所以. 所以 （2）当时，由（1）知， 设，则   因为，所以，,  所以，即,所以函数在单调递增.又因为在单调递增， 所以在单调递增， 又因为，即， 所以函数在恰有一个零点． 即函数的图象在区间内与轴恰有一个交点. 6．（22-23高一上·福建省宁德市·期中）已知函数是偶函数． （1）求实数k的值； （2）设函数，若方程只有一个实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）根据偶函数的定义，即可求出； （2）先将方程化简可得，，换元，令，得，然后由函数的定义域确定方程中的范围，进而得到的范围，所以在该范围内只有一个解，分类讨论，再根据一元二次方程有解的条件，二次函数的有关性质，零点存在性定理，即可求出． 【详解】（1）由是偶函数．则恒成立， 即． ， ， ． （2）方程只有一个根， 则关于x的方程只有一个解， 令，得： 因为中，，则 当时，需要，则； 当时，需要，则， 设，当时，对称轴方程为 令，若，得，或． ①当时，，抛物线开口向上，此时，，， 所以在上有唯一解，即满足题意． ②当时，即时，由得，不满足题意． ③当时，，，且， 所以在上无解，不满足题意． ④当且时，，则无解，不满足题意． ⑤当时，且，，， 此时在上有唯一解，即满足题意． ⑥当时，，且，又，， 所以在上有两个不等实根，即不满足题意． 综上所述，m的取值范围是或． 求函数零点或方程根的个数 1．（23-24高一上·福建·期中）设，用符号表示不大于的最大整数，如，．若函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域是 C．若，则 D．方程有2个不同的实数根 【答案】ACD 【分析】A：根据定义直接计算即可；B：作出的图象，结合图象进行判断；C：根据直线与的图象相交进行分析判断；D：根据图象的交点情况进行判断. 【详解】A：，故正确； B：当，当， 当，当， 当，当， 当，， 作出的图象如下图所示：可知的值域为，故错误；    C：作与的图象相交，如下图：    由图象可知：任意两个相邻交点之间的水平距离为， 所以若，则成立，故C正确； D：在同一坐标系中作出的图象，如下图所示：    显然有两个交点，所以方程有2个不同的实数根，故D正确； 故选：ACD. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知是定义在的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（    ） A．增区间为和 B．有3个根 C．的解集为 D．时， 【答案】ABC 【分析】根据函数的奇偶性结合条件可得函数的解析式判断D，解方程可判断B，根据二次函数的性质可判断A，解不等式可判断C. 【详解】由是定义在的奇函数知， 当时，，所以，D错误； 由上可知，由可得或或，故B正确； 由，时，的对称轴为， 时，的对称轴为， 结合二次函数的性质知在和上均单调递增，故A正确； 由，可得或，解得或，故C正确． 故选：ABC． 3．（22-23高一上·福建厦门·期中）关于函数的性质，下列说法正确的是（    ）． A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．方程有且只有一个实根 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】求出函数的定义域、值域判断A、B；利用方程根的个数与函数图象交点个数的关系判断C；利用函数对称性的性质判断D． 【详解】函数的定义域为，故A正确； 因为，，则，所以函数的值域是，故B错误； 方程，由于不符合，则，作出函数与的图象如图， 由图可知，两函数图象只有一个交点，所以方程有且只有一个实根，故C正确； 因为，所以关于对称，故D正确． 故选：ACD． 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数．当时，方程有 个实数根．若方程有5个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出的图象，当时，则或，结合图象即可判断，若方程有个实数根，令，则有两个不相等的实数根、，则且，或且或且，再根据二次函数根的分布问题计算可得. 【详解】因为，所以的图象如下所示：      当时，方程，解得或， 由图可得与有两个交点，即有两个解， 与有两个交点，即有两个解， 综上可得方程有个实数根； 因为方程有个实数根， 令，则有两个不相等的实数根、， 则且，或且，或且， 令， 当且时，则，即，解得， 当且，则，此时，解得，，不符合题意， 当且，则，解得，此时，解得，不符合题意； 综上可得若方程有5个实数根，则的取值范围为. 故答案为：； 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，根据函数图象讨论方程的根的个数，由题意可得，作出函数的图象，再结合图象，分类讨论，进而可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 由， 令， 由图知，当时，方程有个不同的解， 当时，方程有个解， 令，则，即， 即， 如图所示，作出函数的图象， 函数恒过定点， 当函数的图象只有一个交点时， 即，即只有一个解， 则，解得（舍去） 当时，由图知函数的图象只有一个交点， 即方程有且仅有一个根，且这个根在上， 所以方程有个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； 当时，由图知函数的图象有个交点， 即方程有个根，且一个在上，一个为， 所以方程有个不同的解， 即函数有两个零点， 所以不符合题意； 当时，由图知函数的图象有个交点， 即方程有个根，且一个在上，另外两个在上， 所以方程有个不同的解， 即函数有两个零点， 所以不符合题意； 当时，方程没有正数根， 此时令，则， 当时，方程无解， 所以方程无解， 即函数没有零点， 所以不符合题意； 当时，， （1）当时，， 即方程的解为， 所以方程有个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； （2）当时，， 则由，得，则， 所以方程有个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； （3）当时，， 则由，得，则， 所以方程只有个解， 即函数有个零点， 故符合题意； （4）当时，， 则由，得， 则， 所以方程有个不同的解， 即函数有个零点， 故不符题意， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数（，）是奇函数，且函数图像经过点 (1)求，的值； (2)若函数，讨论方程（）解的情况 【答案】(1)，(2)答案见解析 【分析】（1）运用奇函数的性质及列方程求解即可. （2）将问题转化为与交点个数，画出的图象，看图可得结果. 【详解】（1）因为为奇函数，则， 即， 所以或 又因为，所以，. （2）由（1）知，， 所以， 则图象如图所示， ①当，方程无解； ②当或时，方程有1个解； ③当时，方程有2个解； ④当时，方程有3个解. 根据函数零点个数求参数范围 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分段函数表示出函数，利用函数零点的意义变形，构造函数并画出函数图象，数形结合求出的范围. 【详解】令函数，显然函数在上单调递增， 而，则当时，，当时，， 于是函数，则， 令函数，由，得， 因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标， 当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点， 如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，    当，即时，直线与函数的图象只有一个交点， 当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以函数有两个零点，实数的取值范围是. 故选：A 2．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断当时，函数为单调递减函数，函数零点可能有一个，也可能有0个，然后讨论当时零点个数满 足的条件即可. 【详解】当时为减函数，且， 若，此时当时，无零点， 所以当时，有两个零点， 由，得，此时满足条件， 当时，当时，只有一个零点，    要使恰有2个零点，则只需当时，只有一个零点即可， 由，得， 当时，由，得，只有一个零点，满足条件， 当时，因为， 所以要使当时只有一个零点，则且，得， 此时或， 综上，或，即实数的取值范围是， 故选：D 3．（23-24高一上·福建·期中）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．当 B． C．若在上恒成立，则的最小值为6 D．若关于的方程有三个不同的实数根则． 【答案】AB 【分析】根据题意，作出时，的图像，数形结合逐个判断即可. 【详解】设时，则，所以， 又，所以当时，； 当时，则，所以， 又，所以当时，； 当时，则，所以， 又，所以当时，； 所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示：    则A正确， 由图象可知，，所以，，，故B正确； 在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：    由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为4，故C错误； 令，则，则方程等价于 ，即，所以，或（舍去）， 在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示：    由图象可知，当时， 即时， 关于的方程有三个不同的实根，故D错误. 故选：AB 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可，与图象交点有3个，画出图象并进行观察，求得实数的取值范围． 【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则； ②当时，，因为是奇函数，所以. 所以. 综上：. （2）图象如下图所示： 由图象可知，要使方程与有三个交点， 只需，即. 故答案为： ；. 5．（22-23高一上·福建·期中）已知，函数，若对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据有且只有一个实数根，结合可求出的值，画出的图象，利用与直线有且只有三个不同的交点，可根据相切和过定点求出两个交点临界位置的，进而求出的取值范围. 【详解】因为对于任意实数a，有且只有一个实数根，且， 所以，解得， 所以，则的图象如图所示，    令，解得（舍去），或， 若直线过点时，得， 此时直线与的图象有两个交点， 由，得， 当，即时，直线与的图象有两个交点， 因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 所以，即t的取值范围为， 故答案为： 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知为偶函数、为奇函数，且满足. (1)求，； (2)若方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组来求得. （2）利用分离常数法、构造函数法，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，为偶函数、为奇函数，且满足， 所以，则， 解得. （2）若方程有解， 即有解， 即， 对于方程①， 当时，方程左边为，右边为，所以不是①的解. 当时，令，由于，所以，， 则方程①可化为 ， 当且仅当时等号成立，所以. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）（1）已知函数为偶函数．求的值，并证明在上单调递增； （2）已知函数为常数．有两个不相等实根，求实数的取值范围，并求的值． 【答案】（1），证明见解析 ；（2）实数的取值范围是， ． 【分析】（1）根据偶函数的性质，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性； （2）令，再令，则问题转化为函数在内有两个不相等实根、，其中，，从而得到，即可求出的取值范围，再由韦达定理求出的值. 【详解】（1）由题意函数为偶函数， ，即 对任意恒成立，则，解得， ， 任取，则 由，可得 ，即， 在上单调递增． （2）令，因为，所以， 令， 因为有两个不相等实根，则函数在内有两个不相等实根、， 其中，， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 根据根与系数的关系，可知，即， 所以，即． 8．（23-24高一上·福建·期中）已知定义在区间的函数. (1)证明：函数在上为单调递增函数； (2)设方程有四个不相等的实根，在上是否存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析 【分析】（1）利用单调性的定义即可得证； （2）利用对勾函数的图象与性质、分段函数的图象与性质、二次函数的图象与性质分类讨论分析运算即可得解. 【详解】（1）证明：由题意，设，则 ， 当时，，，则， ∴，即， ∴函数在上为单调递增函数. （2）解：由（1）知当时，， 即，函数为单调递减函数，且， ∴在区间的函数的大致图象如下图，    将函数的图象向下平移个单位，然后将其位于轴下方的图象关于轴对称到轴上方，可得定义在区间的函数的大致图像如图，    ∵方程有四个不相等的实根即为曲线与直线有四个不重合的交点，    ∴如图可知，. 由题意，函数在区间上单调，且的取值范围为， （i）当时，，值域为. 当时，函数在区间上单调递增， 值域为，且有， 即， 即直线与二次函数的图象有两个交点，其横坐标为，      如图，当时，，则由二次函数的图象与性质知. （ii）当时，，值域为. 当时，函数在区间上单调递减， 值域为，且有， 即，由得， 即二次函数在两点处函数值相等， ∴由二次函数的图象与性质知且，即且， ∴，    如上图，由二次函数的图象与性质知 当时，， ∴，即. 综上知，在上存在实数，，使得函数在区间上单调， 且的取值范围为，的取值范围是. 根据二次函数零点的分布求参数的范围 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，方程有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为方程有实根，由即可求出的取值范围. 【详解】解：由于函数，方程有实根， 则方程有实根， 则，解得：. 故选：A. 2．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知方程的两个根一个大于2，一个小于2，则下列选项中满足要求的实数m的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】CD 【分析】根据一元二次方程根的分布，列出满足的不等关系，求得其范围，再结合选项进行选择即可. 【详解】根据题意方程的两个根一个大于2，一个小于2， 则对，满足即可，即，解得. 选项中满足的有或. 故选：. 3．（22-23高一上·福建龙岩·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A．4 B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二次函数和指数函数的性质作出函数的图象，令，则，令，根据题意可得方程有两个不同的根，作出的图象，进而列出不等式组，解之即可. 【详解】当时，，则函数在上单调递增， 作出的图象，如图1， 令，则，令， 所以方程有两个不同的根，记为，则， 作出的图象，如图2， 由图可得，解得. 故选：CD 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数.若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围 . 【答案】 【分析】先由二次函数与反比例函数的性质作出的图像，构造，得到有三个实数根时的范围，从而将问题转化为在内有两个不等实根，从而利用二次函数零点的分布即可得解. 【详解】因为， 所以当时，开口向上，对称轴为，，两零点为； 当时，，则在上单调递减，零点为，且； 由此作出的图像如图， . 令，则当时，有三个实数根， 因为有6个不同的实数根， 所以必须有两个不等实根，且， 令，则，即， 解得或，即. 故答案为：. 5．（23-24高一上·福建福州·期中）若关于x的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意构造函数，则已知条件可得，解不等式组可求出实数a的取值范围 【详解】令， 因为关于x的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围为 故答案为： 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知函数．：函数在上单调递增；：关于的方程，当时有解；，．若，，中至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出，，分别为真命题时的取值范围，然后得到，，全部为真时的取值范围，进而可得，，中至少有一个为假命题时的取值范围． 【详解】若为真：因为函数在上单调递增， 所以， 解得或； 若为真：关于的方程，当时有解， 则， 解得或， 若为真：令， 则， 因为，所以，所以， 所以， 所以在上恒成立， 所以， 解得， 所以当，，全部为真时，， 所以若，，中至少有一个为假命题，实数的取值范围是. 7．（22-23高一上·福建泉州·期中）二次函数满足，且方程有相等的实数根． (1)求的解析式； (2)若函数在区间不单调，求实数的取值范围； (3)是否存在实数使得的定义域和值域分别为和，如果存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】（1）设，根据，求得，由，函数关于对称，再根据方程有相等的实数根，即可求得，即可得解； （2）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解； （3）先求出函数的值域，从而可求得的范围，再根据函数在的单调性求出值域，从而可得出答案. 【详解】（1）解：设， 由，得， 因为，所以函数关于对称， 即，所以， 又方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， 则，解得，所以， 所以； （2）解：函数关于对称， 因为函数在区间不单调， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （3）解：， 所以函数的值域为， 所以， 所以，则， 所以函数在单调递增， 所以，即，解得， 所以存在，使得的定义域和值域分别为和. 函数与方程的综合应用 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】作出函数的图像，根据图像得出,,满足的条件和范围,从而得出答案. 【详解】函数， 画出的图象如下图所示：    不妨设，设， 则，、关于直线对称， ， 当时，， 所以满足， 则， 故的取值范围是. 故选：BC 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解出、、、时的解析式，然后作出与的图象，根据图象的交点横坐标确定出符合条件的的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 且， 作出的大致图象如下图所示： 由图象可知：若，对于任意都有显然不成立，所以， 由图象可知，当时，令，则有，解得或， 结合图象可知，若对于任意都有成立，则有， 故答案为：. 3．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知函数的图象与直线有4个交点，且这4个交点的横坐标分别为，则 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，结合图象和韦达定理，得到且，即可求得，再结合韦达定理得到和，化简得到，令，可得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 由图象知， 时方程的两根，则 时方程的两根，则 所以， 由，所以 又由，所以， 所以，其中， 设，可得， 则函数表示开口向上，且对称轴为， 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 故答案为：；.    4．（22-23高一上·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出的解析式，则问题转化为方程有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得. 【详解】解：依题意的图象上存在点关于原点对称， 设函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设，则，， ∴，， 故原题意等价于方程有解， 解得，由于， 当且仅当时，取得等号，即有，即实数的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析(2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明； （2）利用函数与方程的关系，结合指数函数的性质求解. 【详解】（1）判断:函数在上单调递减, 证明：设 . , , 所以函数在上单调递减. （2）依题只有一个实数解. 与函数图象只有一个交点. 令. 在单调递增. . . 所以实数的取值范围是； 6．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若函数是偶函数，且不等式在上有解，求的取值范围； (2)若，且函数恰有一个零点，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据为偶函数可求出，再利用参变分离法求的取值范围； (2)换元法，将函数由1个零点转化为方程由1个根，根据为偶函数，则函数的零点成对出现，所以要使方程只有1个根，则,进而可求解. 【详解】（1）因为 所以 为偶函数，所以即， 所以， 令，则， 不等式等价于， 即有解， 因为，所以， 因为所以当时，函数有最小值为， 所以. （2），， 令，则， 方程 等价于，即， 也即， 又因为方程有一个根， 所以有一个根，且根为， （因为为偶函数，所以如果方程的根没有2， 则方程的根的个数为偶数，与题意矛盾）， 所以解得. 判断零点所在的区间 1．（23-24高一上·福建南平·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案. 【详解】在上单调递增， ，，故零点所在的区间为. 故选：D 2．（23-24高一上·福建宁德·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为函数与在上均是单调增函数， 所以函数是上的单调增函数， 因为，， 又函数的图象连续不间断， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：A 3．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数与的图象交点为,则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可令，即，设，利用零点存在性定理，说明零点所在的区间. 【详解】令，即 设，， ， ， ， 在区间必存在，使, 即函数与的图象交点所在的区间. 故答案为：A 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）函数f(x)＝2x－1＋x－9的零点所在区间是（    ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【答案】D 【分析】先判断函数在定义域上连续递增，再求端点函数值即可． 【详解】解：函数在定义域上连续递增， ， ； ； 故函数的零点所在区间是； 故选． 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】由题可知函数为增函数，结合零点存在定理知在区间上必有根． 故选：C． 6．（22-23高一上·福建漳州·期中） (1)证明：存在唯一的零点，且 (2)若的零点记为，设，求证 【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析 【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在原理进行证明即可. （2）根据（1）的结论，结合二次函数的单调性进行运算证明即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 因此函数单调递增， 因为，， 所以存在零点，且， 又因为函数单调递增， 所以存在唯一的零点，且； （2）由（1）可知：， ， 因为，，所以 由， 所以到对称轴的距离比到对称轴的距离大， 所以 ， 因此. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$