八年级数学期中模拟卷（长沙专用，测试范围：人教版八年级上册第11～14章，含七下）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年八年级数学上学期期中卷（长沙） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级上册第十一至第十四章（含七下）。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，如图所示的图案中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选D． 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A．，计算正确，但不符合题意； B． ，原计算错误，符合题意； C． ，计算正确，但不符合题意； D． ，计算正确，但不符合题意； 故选B． 3．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于轴的对称点的坐标是．故选A． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 【答案】C 【解析】①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2=4，∴不能组成三角形， ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10， 综上所述，它的周长是10． 故选C． 5．下列说法中，正确的有（　　） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形两腰上的高相等； ④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①两边及其它们的夹角相等的两个三角形全等，故原说法错误；②等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线及顶角的角平分线互相重合，故原说法错误；③等腰三角形的两腰上的高相等，故原说法正确；④由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质定理可知等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故原说法正确； 所以正确的有2个； 故选B． 6．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（    ） A．54° B．56° C．60° D．66° 【答案】D 【解析】如图， 由三角形内角和定理得，， ∵两个三角形全等， ∴， 故选D． 7．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， 故选C． 8．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 右图，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为， 由两个图形中阴影部分的面积相等可得，， 故选． 9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（   ） A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 【答案】C 【解析】试题分析：设第一天走了x里，则根据题意知，解得x=192，故最后一天的路程为里. 故选C． 10．如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】作关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， 过作于，交于， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为12，长为6， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是4， 故选B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，，则__________． 【答案】15 【解析】∵，， ∴， 故答案为15. 12．如图所示的正方形的方格中，∠1＋∠3﹣∠2＝__________度． 【答案】45 【解析】由正方形网格可知∠1＋∠3=90°，∠2＝45°， ∠1＋∠3﹣∠2＝90°-45°=45°， 故答案为：45． 13．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 ， ∵， ∴原始， 故答案为：． 14．如图所示，在三角形ABC中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为__________． 【答案】1 【解析】是的中点，， ， 是的中点， ， ， 故答案为：． 15．等腰三角形的一个角是，则它底角的度数是__________． 【答案】或 【解析】当它的顶角为时， 它的底角度数为：； 当它的底角为时，底角为 ∴它的底角度数是或． 故答案为：或． 16．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝__________． 【答案】8 【解析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， ∵C（4，4），∴CN=CM=4， ∵x轴⊥y轴， ∴∠MON=∠CNO=∠CMO=90°， ∴∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°， 则四边形MONC是正方形， ∴OM=ON=CN=CM=4， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠MON， ∴∠MCA=90°-∠ACN，∠BCN=90°-∠ACN， ∴∠ACM=∠BCN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（ASA）， ∴AM=BN， ∴OA+OB =OA+ON+BN =OA+ON+AM =ON+OM =4+4=8． 故答案为：8． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17．（6分）计算： 【解析】 ．（6分） 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【解析】 （3分） 当时，原式 （6分） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出三角形ABC关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形ABC的面积． 【解析】（1）解：如图所示：即为所求，，，． （4分） （2）.（6分） 20．（8分）如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【解析】（1）证明：， ， 即， 在AC和中， ， ， （4分） （2）解：， ， 又， ， ， ．（8分） 21．（8分）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【解析】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴．（3分） （2）解：∵是等边三角形，边长为6， ∴，， 由（1）可知，， ∴，则， ∴，（5分） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴．（8分） 22．（9分）第19届亚运会在我国杭州举行，全国各地人民热血澎湃．为奖励先进，某体育俱乐部决定组织优秀员工去杭州观看闭幕式．若购买4张区的票，1张区的票，共需1600元；若购买5张区的票，2张区的票，共需2360元． (1)闭幕式时，区的售票单价分别是多少？ (2)若该俱乐部计划购买20张票，其中区的票不少于5张，且总票价不超过7000元，那么俱乐部有哪几种购买方案？ 【解析】（1）解：设区的售票单价分别是x元、y元， 则，解得， 答：区的售票单价分别是280元、480元；（4分） （2）解：设购买了张区的票，则购买了张区的票， 则，解得， ∴有以下3种购买方案： ①买15张区的票，5张区的票； ②买14张区的票，6张区的票； ③买13张区的票，7张区的票．（9分） 23．（9分）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式__________； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【解析】（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为， 因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成， 由此可得：． 故答案为：；（2分） （2）①由可得：， 将，代入 得：， 解得：；（6分） ②令，，则，， 整体代入可得： ， ∴， 故这个长方形的面积为．（9分） 24．（10分）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ①_________； ②若，则_________； ③若，则_________0．（填“”，“”或“=”） (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 【解析】（1）①解：由题意知，， 故答案为：；（1分） ②解：由题意知，， 解得，， 故答案为：3；（2分） ③解：由题意知，， ∴， 故答案为：0；（3分） （2）解：∵， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ∴的值为3，的值为1；（6分） （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵正整数，， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为3或6．（10分） 25．（10分）已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中． (1)如图2，当，连接，求证：； (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点交于点交于点，连接，请问是否会平分？如果是，求出，如果不是，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 【解析】（1）证明：∵都是等边三角形， ， ， 在和中， ，；（3分） （2）解：不是， 理由如下：如图3，过点作于，过点作于， 都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， 当平分时，则， ， ， ，与题干相矛盾， 不会平分；（7分） （3）解：， 理由如下：如图4，在上截取，连接， ，∴是等边三角形， ，， 在和中， ，， ，．（10分） 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期中考试模拟卷（长沙） 数学·答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．15 12．45 13．5 14．1 15．或 16．8 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17．（6分） 【解析】 ．（6分） 18．（6分） 【解析】 （3分） 当时，原式 （6分） 19．（6分） 【解析】（1）解：如图所示：即为所求，，，． （4分） （2）.（6分） 20．（8分） 【解析】（1）证明：， ， 即， 在AC和中， ， ， （4分） （2）解：， ， 又， ， ， ．（8分） 21．（8分） 【解析】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴．（3分） （2）解：∵是等边三角形，边长为6， ∴，， 由（1）可知，， ∴，则， ∴，（5分） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴．（8分） 22．（9分） 【解析】（1）解：设区的售票单价分别是x元、y元， 则，解得， 答：区的售票单价分别是280元、480元；（4分） （2）解：设购买了张区的票，则购买了张区的票， 则，解得， ∴有以下3种购买方案： ①买15张区的票，5张区的票； ②买14张区的票，6张区的票； ③买13张区的票，7张区的票．（9分） 23．（9分） 【解析】（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为， 因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成， 由此可得：． 故答案为：；（2分） （2）①由可得：， 将，代入 得：， 解得：；（6分） ②令，，则，， 整体代入可得： ， ∴， 故这个长方形的面积为．（9分） 24．（10分） 【解析】（1）①解：由题意知，， 故答案为：；（1分） ②解：由题意知，， 解得，， 故答案为：3；（2分） ③解：由题意知，， ∴， 故答案为：0；（3分） （2）解：∵， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ∴的值为3，的值为1；（6分） （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵正整数，， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为3或6．（10分） 25．（10分） 【解析】（1）证明：∵都是等边三角形， ， ， 在和中， ，；（3分） （2）解：不是， 理由如下：如图3，过点作于，过点作于， 都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， 当平分时，则， ， ， ，与题干相矛盾， 不会平分；（7分） （3）解：， 理由如下：如图4，在上截取，连接， ，∴是等边三角形， ，， 在和中， ，， ，．（10分） 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上学期期中模拟卷 数学·答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 八年级数学上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6 分） 18．（6 分） 19．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9 分） 23．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………… ……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 …… …………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○… …………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年八年级数学上学期期中卷（长沙） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级上册第十一至第十四章（含七下）。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，如图所示的图案中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（） A． B． C． D． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 5．下列说法中，正确的有（　　） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形两腰上的高相等； ④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（    ） A．54° B．56° C．60° D．66° 7．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 8．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（    ） A． B． C． D． 9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（   ） A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 10．如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，，则__________． 12．如图所示的正方形的方格中，∠1＋∠3﹣∠2＝__________度． 13．若，则的值为__________． 14．如图所示，在三角形ABC中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为__________． 15．等腰三角形的一个角是，则它底角的度数是__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝__________． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17．（6分）计算： 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出三角形ABC关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形ABC的面积． 20．（8分）如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（8分）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点， (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（9分）第19届亚运会在我国杭州举行，全国各地人民热血澎湃．为奖励先进，某体育俱乐部决定组织优秀员工去杭州观看闭幕式．若购买4张区的票，1张区的票，共需1600元；若购买5张区的票，2张区的票，共需2360元． (1)闭幕式时，区的售票单价分别是多少？ (2)若该俱乐部计划购买20张票，其中区的票不少于5张，且总票价不超过7000元，那么俱乐部有哪几种购买方案？ 23．（9分）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式__________； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 24．（10分）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ①_________； ②若，则_________； ③若，则_________0．（填“”，“”或“=”） (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 25．（10分）已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中． (1)如图2，当，连接，求证：； (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点交于点交于点，连接，请问是否会平分？如果是，求出，如果不是，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期中卷（长沙） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级上册第十一至第十四章（含七下）。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，如图所示的图案中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（） A． B． C． D． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 5．下列说法中，正确的有（　　） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形两腰上的高相等； ④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（    ） A．54° B．56° C．60° D．66° 7．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 8．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（    ） A． B． C． D． 9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（   ） A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 10．如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，，则__________． 12．如图所示的正方形的方格中，∠1＋∠3﹣∠2＝__________度． 13．若，则的值为__________． 14．如图所示，在三角形ABC中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为__________． 15．等腰三角形的一个角是，则它底角的度数是__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝__________． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17．（6分）计算： 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出三角形ABC关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形ABC的面积． 20．（8分）如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（8分）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点， (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（9分）第19届亚运会在我国杭州举行，全国各地人民热血澎湃．为奖励先进，某体育俱乐部决定组织优秀员工去杭州观看闭幕式．若购买4张区的票，1张区的票，共需1600元；若购买5张区的票，2张区的票，共需2360元． (1)闭幕式时，区的售票单价分别是多少？ (2)若该俱乐部计划购买20张票，其中区的票不少于5张，且总票价不超过7000元，那么俱乐部有哪几种购买方案？ 23．（9分）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式__________； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 24．（10分）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ①_________； ②若，则_________； ③若，则_________0．（填“”，“”或“=”） (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 25．（10分）已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中． (1)如图2，当，连接，求证：； (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点交于点交于点，连接，请问是否会平分？如果是，求出，如果不是，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$