专题01 空间直线与平面（考题猜想，易错必刷28题14种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

专题01 空间直线与平面（易错必刷28题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 空间平面的基本定理 · 直线与直线的位置关系的判断 · 直线与直线平行 · 直线与直线垂直 · 直线与平面的位置关系的判断 · 直线与平面平行 · 直线与平面的垂直 · 平面与平面的位置关系的判断 · 平面与平面平行 · 平面与平面垂直 · 点到平面的距离 · 异面直线所形成的角 · 直线与平面所成的角 · 二面角 一、空间平面的基本定理（共3题） 1．用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 2．1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 3.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知：，求证：直线共面于.    二、直线与直线的位置关系的判断（共3题） 4．（2023·上海·模拟预测）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 6．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中 （1）与平行； （2）与是异面直线； （3）与垂直； （4）与成． 其中正确的序号是 ． 三、直线与直线平行（共1题） 7．（2024高二上·上海·专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由． 四、直线与直线垂直（共1题） 8．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点． (1)求证：； (2)当面积的最小值是9时，求证：平面． 五、直线与平面的位置关系的判断（共2题） 9．（23-24高二上·上海·期中）已知直线，，平面，则“，”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要 10．（2023·上海崇明·一模）已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 六、直线与平面平行（共3题） 11．（多选）（2022·全国·模拟预测）如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（    ） A．   B．   C．   D．   12．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 13．（23-24高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    (1)求证：//平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问: 点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角，并说明点此时所在的位置.    七、直线与平面的垂直（共3题） 14．（23-24高二上·上海·期中）如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是 （只需写出一个正确的条件） 15．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面的成角的大小. 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，并说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成的角的大小．    八、平面与平面的位置关系的判断（共2题） 17．（12-13高三上·山东济宁·开学考试）设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 18．（23-24高二下·上海·期中）设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 九、平面与平面平行（共1题） 19．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 十、平面与平面垂直（共1题） 20．（23-24高二上·上海静安·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 十一、点到平面的距离（共1题） 21．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是的中点.    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 十二、异面直线所形成的角（共2题） 22．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.求异面直线与所成角的大小. 23．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 十三、直线与平面所成的角（共2题） 24.（23-24高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 . 25．（23-24高二上·上海静安·期中）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．    (1)证明：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 十四、二面角（共3题） 26．（23-24高二上·上海·期中）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个平面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 . 28．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点；    (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小； $$专题01 空间直线与平面（易错必刷28题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 空间平面的基本定理 · 直线与直线的位置关系的判断 · 直线与直线平行 · 直线与直线垂直 · 直线与平面的位置关系的判断 · 直线与平面平行 · 直线与平面的垂直 · 平面与平面的位置关系的判断 · 平面与平面平行 · 平面与平面垂直 · 点到平面的距离 · 异面直线所形成的角 · 直线与平面所成的角 · 二面角 一、空间平面的基本定理（共3题） 1．用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【解析】略 2．1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【解析】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 3.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【解析】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 二、直线与直线的位置关系的判断（共3题） 4．（2023·上海·模拟预测）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【解析】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、 面，故A错误； 当P与重合时，此时、 面，故B错误； 当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时 ，故C错误； 由正方体的特征可知四边形为平行四边形， 而平面，平面， 、平面，， 故与始终异面，即D正确. 故选：D 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【解析】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，   时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直， 其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行； ∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为. 故选：B． 6．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中 （1）与平行； （2）与是异面直线； （3）与垂直； （4）与成． 其中正确的序号是 ． 【答案】（4） 【解析】画出正方体的直观图如下：      对于（1），与为异面直线，不平行，错误； 对于（2），连接，因为，且，故四边形为平行四边形， 故与平行，（2）错误； 对于（3），在平面上，⊥， 由于平面与平面平行，要想与垂直， 只需与平行，显然两者不平行，故与不垂直，（3）错误； 对于（4），连接，因为与平行， 所以或其补角即为与所成角， 设正方体的边长为1，由勾股定理得到， 故是等边三角形，故，故与成，（4）正确. 故答案为：（4） 三、直线与直线平行（共1题） 7．（2024高二上·上海·专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由． 【答案】EF与平行．理由见解析． 【难度】0.85 【解析】，理由如下： 在中，因为，即，所以， 又因为，所以. 四、直线与直线垂直（共1题） 8．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点． (1)求证：； (2)当面积的最小值是9时，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且，面，所以平面， 为上任意一点，平面，所以； （2）设与相交于点，连接，由（1）知平面，平面， 所以，， 当面积最小时，最小，则， ，，解得， 由且，，、平面， 则平面，又平面，则， 又由，则，而， 、平面，故平面. 五、直线与平面的位置关系的判断（共2题） 9．（23-24高二上·上海·期中）已知直线，，平面，则“，”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要 【答案】D 【解析】若直线，直线且，则直线，可以相交，故不是充分条件； 若直线，且，都与平面相交，则也不是必要条件. 故选：D 10．（2023·上海崇明·一模）已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 【答案】A 【解析】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为， 如图所示： 对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面 ，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题； 对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题. 故选：A. 六、直线与平面平行（共3题） 11．（多选）（2022·全国·模拟预测）如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【解析】对于A，连接,由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确．   对于B，设是的中点，是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，，，故六边形为正六边形，所以，，，，，六点共面，B错误．   对于C，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，所以C错误．   对于D，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以， 由于平面，平面，所以平面，D正确．   故选：AD． 12．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 【解析】根据题干信息，连结，相交于点.则点为的中点， 分别作平面，平面，平面. 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为，两点到平面的距离分别为1、3. 则，点到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点距离都为2，则直线平面. 故答案为：平行. 13．（23-24高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    (1)求证：//平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问: 点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角，并说明点此时所在的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在线段上靠近点的处， 【解析】（1）因为菱形，所以，又平面， 平面，所以平面. （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， 所以，，所以. 因为，所以， 设到平面的距离，由得， 即，解得， 故点到平面的距离. （3）设直线与平面所成的角为，由（1）知平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，则 ，此时，要使最大，则需使最小， 此时， 由题意可知：，， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 由面积相等， 即，解得， ，则，得， 即直线与平面最大角为，此时在线段上靠近点的处.    七、直线与平面的垂直（共3题） 14．（23-24高二上·上海·期中）如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是 （只需写出一个正确的条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】满足的条件可以是. 在直四棱柱中，连接，如图： 由平面，平面，得， 若，，、平面，则平面， 而平面，所以. 故答案为： 15．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面的成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）证明　∵点在平面上的射影在上， ∴平面，平面， ∴． 又∵，，平面 ∴平面，又平面， ∴． 又∵，∴． ∵，平面，∴平面． （2） 如图所示，过作，垂足为，连接． ∵平面，平面， ∴，又， 平面，∴平面． 故的长就是点到平面的距离． 又平面，又平面， ∴． 在中，． 在中，． 在中，由面积关系，得 ． ∴点到平面的距离是． （3）由（2）知平面，则为在平面的射影， 所以是与平面所成的角. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 则直线与平面的成角. 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，并说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)是，理由见解析；(2) 【解析】（1）证明：平面，平面， ， ，是棱的中点，， 又，且平面，平面， 平面， 平面，； 因此, 故，，，为直角，所以四面体是鳖臑， （2）四面体是鳖臑，，， 又， ， 由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 由于是中点，所以故.    八、平面与平面的位置关系的判断（共2题） 17．（12-13高三上·山东济宁·开学考试）设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A：当 时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 18．（23-24高二下·上海·期中）设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A：若，，则，故A正确； 对于B：若，则或与异面，故B错误； 对于C：若，则或，故C错误； 对于D：若，则或与相交，故D错误. 故选：A 九、平面与平面平行（共1题） 19．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【解析】（1）    因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 十、平面与平面垂直（共1题） 20．（23-24高二上·上海静安·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面．    （2）为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3）在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为．    十一、点到平面的距离（共1题） 21．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是的中点.    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）取中点，连接，因为是中点，所以， 所以是异面直线与所成角或其补角， 平面，平面，所以，同理， 正方体棱长为2，是中点， 则，，， 所以，所以，所以 ， 所以异面直线与所成角是； （2）由已知，， 因此中边上高为， ， ， 设到平面的距离为， 则，． 所以到平面的距离为． 十二、异面直线所形成的角（共2题） 22．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【解析】取的中点，连接，， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即，因为正方体的棱长为2， ， 所以异面直线与所成角的大小为. 23．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）取的中点，连接，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 因为，正三棱柱的体积为，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 取的中点，连接，在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的大小为. （2）取的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面平面， 且平面平面，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，且， 在直角中，可得，所以. 所以直线与平面所成的角为. 所以， 连接，所以， 又， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以与所成的角等于异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以异面直线与所成的角为． 十三、直线与平面所成的角（共2题） 24.（23-24高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【解析】连接，如图， 因为平面， 所以为直线与平面所成角， 故, 所以. 故答案为： 25．（23-24高二上·上海静安·期中）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．    (1)证明：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）    设和交于点，连接， 为长方体， ∴点为中点， ∵点为中点， ∴， ∵平面，平面， ∴∥平面. （2）为长方体， ∴平面，则直线与平面所成角为， ，， 所以直线与平面所成角的正切值为. 十四、二面角（共3题） 26．（23-24高二上·上海·期中）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 【答案】 【解析】如图，过点C作交AB于D，连接，由题知， 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角， 因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大， 又，， 设，，由正弦定理，得， 当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大， 故答案为： 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个平面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 . 【答案】 【解析】如下图所示： 二面角为，点，点在平面内的射影点为， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为，故. 因此，这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 28．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点；    (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 证明：因为平面平面，平面平面， ，平面, 所以平面，平面，所以， 又，，,平面，所以直线平面； （2） 由（2）知，平面，平面，平面， 所以，，即为二面角的平面角， 平面平面，平面平面，平面， ， 平面， 是直线与平面所成角，即，所以， 由（2）知平面，为直线与平面所成的角， 直线与平面所成角为，， ，， 设，则，，，， 为等腰直角三角形，， ，， 是二面角的平面角， 二面角的大小为． $$