专题01 空间直线与平面（考点清单+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

清单01 空间直线与平面（7个考点梳理+提升训练） 【清单01】集空间位置关系的集合语言 集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点在直线上，记作：；点不在直线上，记作； 点在平面内，记作：；点不在平面内，记作； 直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作； 直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作； 直线和相交于点，记作，简记为； 平面与平面相交于直线，记作． 【清单02】平面的基本性质及推论 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，则那么这条直线上所有的点都在这个平面上. 【作用】用以证明线在面内和点在面内. 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面. 【作用】确定平面的依据 推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面. 推论2 两条相交直线确定一个平面. 推论3 两条平行直线确定一个平面. 公理3如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 【作用】用以证明三点共线. 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行. 【作用】对空间的平行线进行传递. 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 【清单03】空间直线与直线间的位置关系 1.有三个可能的位置关系:相交、平行、异面 2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 3.异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。 4.异面直线的判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和平面上不经过该点的直线是异面直线. 【清单04】直线与平面间的位置关系 空间中，一条直线和一个平面的位置关系有以下三种： ①直线在平面上——有无数个公共点； ②直线和平面相交——只有一个公共点； ③直线和平面平行——没有公共点． 直线和平面相交或平行的情况又可统称为直线在平面外． 1.直线与平面平行的判定定理 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行． 下面，用反证法来证明这个定理． 已知：如图，平面外一条直线与平面上一条直线平行． 求证：直线平行于平面． 2.直线与平面平行的性质定理 若一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行． 3.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直． 4.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 由上述线面垂直的定义和定理可以得到下面的推论： 推论1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直． 推论2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 【清单05】平面与平面间的位置关系 1.面面平行判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 表示 定理 图形 符号 平面与平面平 行的判定定理 2.面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 3.平行平面之间的距离：设平面平行于平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离． 4.二面角：当两个平面相交时，它们的交线将各平面分割成两个半平面，由两个半平面及交线所组成的空间图形叫做二面角，记作．交线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．常见画法如下： 记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q 5.二面角的平面角: 在二面角的棱上任取一点，过分别在面和内作棱的垂线和所成的角叫做二面角的平面角（如图）．用平面角的大小来表示二面角的大小． 说明：①二面角的大小的范围． ② 平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直． ③ 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． 6.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 7.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 【清单06】异面直线形成的角、直线与平面形成的角、二面角 1..求异面直线所成的角的三步曲 2..直线与平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是的角． 关于平面的斜线及其在平面上的射影，我们有下面的定理． 3.三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直． 已知：、分别是平面的垂线和斜线，是斜线在平面上的射影，直线在平面上． 求证：． 4.点到平面的距离 由推论2，如图，过平面外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面的距离．利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意给定的一点到平面的距离都相等，从而就可以把直线上一点到平面的距离定义为直线到平面的距离． （1） （2） 5.二面角的求法 1）定义法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 2）三垂线定理法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 3）射影面积法（本质上和三垂线定理相同，了解即可） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 【考点题型一】空间平面的性质与定理 【例1】判断下列命题的真假： (1)若空间四点共面，则其中必有三点共线； (2)若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； (3)若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； (4)若空间四点不共面，则其中任意三点不共线． 【变式1-1】（23-24高二上·上海·阶段练习）下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 【变式1-2】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分．    【变式1-3】如图，观察长方体中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：    （1）点B 直线BC； （2）点A 直线BC； （3）点D 平面ABCD； （4）点 平面ABCD； （5）直线直线 ； （6）直线平面 ； （7）直线 平面． 【变式1-4】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【考点题型二】直线与直线的位置关系 【例2】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、、表示不同的点，表示直线，、表示不同的平面，则下列推理中错误的是（    ） A．，，， B．， C．，直线与直线可能是异面直线 D．，， 【变式2-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【变式2-2】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ． 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【变式2-4】（23-24高二上·上海·期中）空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 . 【考点题型三】直线与平面的位置关系 【例3】（23-24高二上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则 B．若不重合的三条直线相交于一点，则它们能确定1或3个平面 C．若直线和平面平行，且直线平面，则直线直线 D．若直线平面，直线直线，则直线平面 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期中）对于两条不同的直线和两个不同的平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，，是异面直线，则相交 B．若，，共面于，则 C．若，，共面于，则 D．若，，不平行，则为异面直线 【变式3-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．存在点，使得； B．存在点，使得； C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面. 【变式3-3】在直三棱柱中，，，，D是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角. 【变式3-4】（23-24高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【考点题型四】平面与平面的位置关系 【例4】（2020·天津河东·模拟预测）已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-1】（21-22高三上·浙江宁波·阶段练习）如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【变式4-2】（21-22高二上·上海杨浦·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式4-3】（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【考点题型五】异面直线所成的角 【例5】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角 . 【变式5-1】（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【变式5-2】（22-23高二下·上海金山·阶段练习）设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是 . 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1. (1)正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)若M，N分别是的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小. 【变式5-4】（23-24高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 【考点题型六】直线与平面所成的角 【例6】（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    【变式6-1】（23-24高二上·上海·期中）如图，PA，PB，PC，他们之间每两条的夹角都是，则直线PC与平面PAB所成角的大小为 ．    【变式6-2】（23-24高二上·上海长宁·期中）已知、、三点位于平面内，，是平面的斜线，若，则与平面所成的角的大小为 ． 【考点题型七】二面角 【例7】（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为，则侧面与底面所成二面角的大小为 . 【变式7-1】（23-24高二上·上海嘉定·期中）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【变式7-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. (1)求证:平面； (2)求二面角的大小（用反三角函数衣示）. 【变式7-3】（23-24高二上·上海长宁·期中）如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点在线段上， 平面．    (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)若在棱、上分别取中点、，试判断点与平面的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 空间直线与平面（7个考点梳理+提升训练） 【清单01】集空间位置关系的集合语言 集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点在直线上，记作：；点不在直线上，记作； 点在平面内，记作：；点不在平面内，记作； 直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作； 直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作； 直线和相交于点，记作，简记为； 平面与平面相交于直线，记作． 【清单02】平面的基本性质及推论 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，则那么这条直线上所有的点都在这个平面上. 【作用】用以证明线在面内和点在面内. 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面. 【作用】确定平面的依据 推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面. 推论2 两条相交直线确定一个平面. 推论3 两条平行直线确定一个平面. 公理3如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 【作用】用以证明三点共线. 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行. 【作用】对空间的平行线进行传递. 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 【清单03】空间直线与直线间的位置关系 1.有三个可能的位置关系:相交、平行、异面 2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 3.异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。 4.异面直线的判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和平面上不经过该点的直线是异面直线. 【清单04】直线与平面间的位置关系 空间中，一条直线和一个平面的位置关系有以下三种： ①直线在平面上——有无数个公共点； ②直线和平面相交——只有一个公共点； ③直线和平面平行——没有公共点． 直线和平面相交或平行的情况又可统称为直线在平面外． 1.直线与平面平行的判定定理 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行． 下面，用反证法来证明这个定理． 已知：如图，平面外一条直线与平面上一条直线平行． 求证：直线平行于平面． 2.直线与平面平行的性质定理 若一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行． 3.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直． 4.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 由上述线面垂直的定义和定理可以得到下面的推论： 推论1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直． 推论2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 【清单05】平面与平面间的位置关系 1.面面平行判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 表示 定理 图形 符号 平面与平面平 行的判定定理 2.面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 3.平行平面之间的距离：设平面平行于平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离． 4.二面角：当两个平面相交时，它们的交线将各平面分割成两个半平面，由两个半平面及交线所组成的空间图形叫做二面角，记作．交线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．常见画法如下： 记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q 5.二面角的平面角: 在二面角的棱上任取一点，过分别在面和内作棱的垂线和所成的角叫做二面角的平面角（如图）．用平面角的大小来表示二面角的大小． 说明：①二面角的大小的范围． ② 平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直． ③ 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． 6.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 7.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 【清单06】异面直线形成的角、直线与平面形成的角、二面角 1..求异面直线所成的角的三步曲 2..直线与平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是的角． 关于平面的斜线及其在平面上的射影，我们有下面的定理． 3.三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直． 已知：、分别是平面的垂线和斜线，是斜线在平面上的射影，直线在平面上． 求证：． 4.点到平面的距离 由推论2，如图，过平面外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面的距离．利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意给定的一点到平面的距离都相等，从而就可以把直线上一点到平面的距离定义为直线到平面的距离． （1） （2） 5.二面角的求法 1）定义法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 2）三垂线定理法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 3）射影面积法（本质上和三垂线定理相同，了解即可） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 【考点题型一】空间平面的性质与定理 【例1】判断下列命题的真假： (1)若空间四点共面，则其中必有三点共线； (2)若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； (3)若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； (4)若空间四点不共面，则其中任意三点不共线． 【答案】(1)错误 (2)正确 (3)错误 (4)正确 【解析】（1）对于（1），空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，故（1）错误； （2）对于（2），空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故（2）正确； （3）对于（3），空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故（3）错误； （4）对于（4），空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾，故（4）正确； 故答案为：错误，正确，错误，正确. 【变式1-1】（23-24高二上·上海·阶段练习）下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 【答案】1 【解析】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 【变式1-2】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【答案】15 【解析】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    【变式1-3】如图，观察长方体中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：    （1）点B 直线BC； （2）点A 直线BC； （3）点D 平面ABCD； （4）点 平面ABCD； （5）直线直线 ； （6）直线平面 ； （7）直线 平面． 【答案】 【解析】略 【变式1-4】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【考点题型二】直线与直线的位置关系 【例2】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、、表示不同的点，表示直线，、表示不同的平面，则下列推理中错误的是（    ） A．，，， B．， C．，直线与直线可能是异面直线 D．，， 【答案】B 【解析】对于A，利用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故A正确； 对于B，因为，，所以平面与平面至少有一个公共点， 利用公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B错误； 对于C，直线与点，则不能判断直线与直线的位置关系， 所以直线与直线可能平行、相交或者异面，故C正确； 对于D，因为直线与平面有公共点，又，则直线与平面只能相交，且交点为点，故D正确. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【解析】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 【变式2-2】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ． 【答案】或 【解析】根据等角定理知：或， 若，则 或. 故答案为：或 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【答案】6 【解析】在正方体中的12条棱所在直线中， 与直线相交的棱所在直线有，共6条， 其余6条棱所在直线与直线是异面直线，    所以与直线是异面直线的共有6条. 故答案为：6 【变式2-4】（23-24高二上·上海·期中）空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【解析】空间直线，直线，直线a与c为异面直线， 则直线b与直线c可能是相交直线或也可能是异面直线. 故答案为：相交或异面 【考点题型三】直线与平面的位置关系 【例3】（23-24高二上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则 B．若不重合的三条直线相交于一点，则它们能确定1或3个平面 C．若直线和平面平行，且直线平面，则直线直线 D．若直线平面，直线直线，则直线平面 【答案】B 【解析】选项A，还可以有，A错； 选项B，当三条直线在同一平面内时，确定一个平面，当三条直线不共面时，每两条确定一全平面，共三个，B正确； 选项C，还可能是与异面，C错； 选项D，与可能相交，平行也可能，D错． 故选：B． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期中）对于两条不同的直线和两个不同的平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，，是异面直线，则相交 B．若，，共面于，则 C．若，，共面于，则 D．若，，不平行，则为异面直线 【答案】C 【解析】对于A，若，，是异面直线，则相交或平行，故A错误； 对于B，若，，则， 而共面于，无法判断的位置关系，故B错误； 对于C，若，，共面于，则成立，故C正确； 对于D，若，，不平行，则为异面直线或相交，故D错误． 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．存在点，使得； B．存在点，使得； C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面. 【答案】C 【解析】在正方体中，可得， 又由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 由点在直线上，为线段的中点， 当点和重合时，可得平面，所以，所以A正确； 连接，如图所示， 当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确； 因为平面，当点和点重合时，平面， 则直线和在同一平面内，所以C错误； 由平面，平面，且， 所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确. 故选：C. 【变式3-3】在直三棱柱中，，，，D是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【解析】（1）    设与的交点为，连接， 因为为直三棱柱，且， 则四边形为正方形，所以为的中点， 又D是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，， 所以为直线与所成的角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 则， 即异面直线与所成的角为. 【变式3-4】（23-24高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接，，因为长方体中，所以， 因为底面，底面， 所以， 又因为，平面， 所以平面； （2）因为与底面所成的角为，底面， 所以为与底面所成的角，所以， 【考点题型四】平面与平面的位置关系 【例4】（2020·天津河东·模拟预测）已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】因为， 对于A，若，则与有可能异面，故A错误； 对于B，若，则，又，则，故B正确； 对于C，若，则有可能，故C错误； 对于D，若，则与有可能相交，故D错误． 故选：B． 【变式4-1】（21-22高三上·浙江宁波·阶段练习）如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】对于D选项，翻折前，，， 翻折后，，， 因为，、平面，则平面， 因为平面，所以平面平面，故D正确； 对于B选项，因为，， 则二面角的平面角为， 在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直， 所以与平面不一定垂直，故B错误； 对于A选项，设， 在图一中，， 又因为，所以，， 因为，所以， 所以，则， 在图二中，过点在平面内作，交于点，连接， 则，故，则， 因为，所以不是的中点， 因为，，则， 若，因为，、平面， 则平面， 因为平面，所以， 因为、平面，且，所以， 因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误； 由选项A知，因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，则， 因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误． 故选：D． 【变式4-2】（21-22高二上·上海杨浦·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接交于点，连接， 四边形为正方形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，； ，平面，平面， 平面，平面平面. 【变式4-3】（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解析】（1）连接，因为正三棱柱中，分别是的中点， 所以，，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故，， 又，，所以，， 故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）因为为等边三角形，为的中点，故⊥， 又三棱柱为直三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 过点作⊥于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 故点到平面的距离为的长， 因为，是的中点， 所以， 由勾股定理得， 故， 点到平面的距离为. 【考点题型五】异面直线所成的角 【例5】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角 . 【答案】 【解析】分别取中点，连接， 三棱柱为正三棱柱，为等边三角形， 设， ，，，， 四边形和均为平行四边形， ，，（或其补角）即为直线与所成角； ，， 又，， ，即直线与所成角大小为. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【解析】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式5-2】（22-23高二下·上海金山·阶段练习）设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设、、相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，    其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面 ；大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上. 由题意，， 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为. 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大， 最大值为. 所以与所成角的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1. (1)正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)若M，N分别是的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线A'B是异面直线. （2）因为M，N分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线MN与BC所成角为（或其补角）， 由于， 于是，所以异面直线MN与BC所成角的大小为. 【变式5-4】（23-24高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【解析】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点Q在直线DC上. （2）根据正方体的性质可知， 所以异面直线与所成角为， 由于分别是的中点， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 【考点题型六】直线与平面所成的角 【例6】（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    【答案】30 【解析】如图，过作⊥，交于B1，过A作⊥，交于，    因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为30． 故答案为：30． 【变式6-1】（23-24高二上·上海·期中）如图，PA，PB，PC，他们之间每两条的夹角都是，则直线PC与平面PAB所成角的大小为 ．    【答案】 【解析】如图，结合题意绘出图象：    过上一点作平面，过点作，， 则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以，， ，平面，所以平面， 且平面，则， 同理可证，因为， 所以，所以， 所以点在的平分线上，， 设，则，， 故， 直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二上·上海长宁·期中）已知、、三点位于平面内，，是平面的斜线，若，则与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【解析】交于，于，与，连接，， ，，故，，， 平面，故平面，平面，故， 同理可得：， 设，故，根据对称性知，故， 与平面所成的角为， 故答案为：. 【考点题型七】二面角 【例7】（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为，则侧面与底面所成二面角的大小为 . 【答案】 【解析】 如图所示，为底面中心，为棱的中点， 因为是正四棱锥，所以平面，设正方形的边长为，则， 因为侧棱与底面所成角的大小为，即，则， 因为，则为所求二面角， 因为，所以， 所以侧面与底面所成二面角的大小为， 故答案为： 【变式7-1】（23-24高二上·上海嘉定·期中）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）正方体中， , 故四边形是平行四边形， 则, 又平面，平面， 故平面. （2）设正方体棱长为，作于,连接, 由正方体的性质知，, 所以,为二面角的平面角， 且, 所以, 故， 即二面角的大小 【变式7-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. (1)求证:平面； (2)求二面角的大小（用反三角函数衣示）. 【答案】(1)证明见解析． (2)． 【解析】（1）设，则是中点，连接，又因为是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）又因为，所以， 平面,平面，所以，同理， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在直角中，，， ， 所以， 所以二面角的大小是． 【变式7-3】（23-24高二上·上海长宁·期中）如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点在线段上， 平面．    (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)若在棱、上分别取中点、，试判断点与平面的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)平面，理由见解析 【解析】（1）设，连接. 平面，平面，平面平面，故， ，，且，故，即；    （2）取中点，连接，，则， 又平面，平面平面，平面平面， 故平面，平面，故， ，满足，故. ，平面，故平面， 平面，平面平面，二面角的大小为；    （3）延长到，使，连接， 分别是的中点，故， ，故，，故四边形是平行四边形，， 故，则确定平面. 中，是边中线，且，故是的重心，又为边的中线，则在上，故平面.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$