专题02 相似形（考点串讲）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

九年级沪科版 数学上册期中考点大串讲 串讲02 相似形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 1、比例的性质 （1）基本性质：如果，那么（）； （2）合比性质：如果，那么； （3）等比性质：如果，且，那么 2、平行线分线段成比例的基本事实及其推论 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例； 3、相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似； 考点透视 （3）如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么两个三角形相似； （4）如果两个三角形的三边对应成比例，那么两个三角形相似； （5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么两个三角形相似； 4、相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比等于相似比； （2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）对应周长的比等于相似比； （4）对应面积比等于相似比的平方； 题型剖析 题型一 平线线分线段成比例 例1 如图，若，，，，则长为 ． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 2 题型剖析 题型一 平行线分线段成比例 【举一反三】 1、如图，在中，CG平分，过点A作交于点H， 且H是的中点．若，则的长为 ． 2、如图，在中，，，，点 为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 题型剖析 题型二 相似三角形的判定 例2 如图，是的边上的一点，，，， 求证：． 【举一反三】 1、如图，中，点D是边上一点，，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【详解】证明：，，， ，，为公共角，． 【详解】证明：选择① ∵，∴ ∵， ∴ 题型剖析 题型二 相似三角形的判定 【举一反三】 2、如图，在 中，，，垂足为，为上一点， 连接 ，作 交 于 ．求证：． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 又， ∴ 又， ∴， ∴ ∴ 题型剖析 题型三 相似三角形的性质 例3 如图，已知在四边形中，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【详解】（1）证明： 又， （2）解：， ， ， ， ． 题型剖析 题型三 相似三角形的性质 【举一反三】 1、如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，∴ ，∴， ∵，∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：设，，则，∵， ∴，解得x=12， ∴， ∴矩形的周长． 题型剖析 题型三 相似三角形的性质 【举一反三】 2、如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 题型剖析 题型四 相似三角形的应用 例4 测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，， 测得，，，则河宽 【举一反三】 1、据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验， 阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕 布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像 的高度为，则小孔O的高度为 ． 2、台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 60 9 题型剖析 题型五 位似变换 例5 如图，与是位似图形，相似比为， OA=2，则的长为 ． 6 【举一反三】 1、如图，与是位似图形，点O是位似中心，， 若，则 ． 2、如图，与位似，点O为位似中心，若，则 ． 8 题型剖析 题型六 相似与函数 例6 如图，一次函数与反比例函数的图象分 别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的 坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】解：(1)把代入反比例函数，得反比例函数的表达式为．点在图象上，，即 把，两点代入，解得，所以一次函数的表达式为． (2)由(1)得一次函数的表达式为当时，，，即．当时，，点坐标为，即，．，．设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则， 由可得：当时，，，解得b=2，故点坐标为（2,0）；②当时，，，解得，即点的坐标为．因此，点的坐标为（2,0）或时，与相似． 题型剖析 题型七 存在性问题 例7 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F. （1）若AC⊥BE,求AE的长 ； （2）设△DEF和△DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时,求S1：S2； （3）当AE的长是多少时，△DCF是等腰三角形？ 【答案】（1）；（2）S1：S2=m(4-m):16；（3）、4、. 【分析】（1）利用已知条件，得到，，得到，代入求值可得到AE. （2）过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2，根据△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到可以求得代入可得到比值. （3）分三种情况进行讨论，分别是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分开讨论即可得到结果. 题型剖析 题型八 分类讨论 例8 如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 题型剖析 题型八 分类讨论 【举一反三】 1、如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当AB:BM=PB:BC时，，当AB:BC=PB:BM时，，两种情况下，分别求出BM的长，即可得到答案． 易错易混 易错一 利用等比性质时忽视前提条件 例1、已知＝＝＝x，求x的值． 【针对训练】 1、已知=k，求k2-3k-4的值． 【详解】解：若a+b+c＝0，则a+b＝-c，b+c＝-a，c+a＝-b，此时，x＝-1， 若a+b+c≠0，则， 综上所述，x的值为-1或2． 【详解】∵=k，∴当a+b+c+d≠0时， 由等比性质可得，=k，k==； 当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，∴k==-2；   当k=时，； 当时，． 易错易混 易错二 解题时考虑不全面 例2、如图，矩形中，，点从点出发沿 向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与 重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． (1)若点均以2cm/s的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； (2)若点为的速度移动，点以2cm/s的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)t的值为或1或 【分析】（1）易得四边形为平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值； （2）分两种情况考虑：当时，利用相似三角形的性质即可求得t的值；当时，由即可求得t的值，从而问题即可解决． 易错易混 易错三 未分类讨论位似图形与位似中心的位置 例3、把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【针对训练】 1、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是A(1,2)，，，以原点为位似中心，作的位似图形，若与的相似比为，则点的坐标为（　　） A．或 B．或C．或 D．(7,2) 2、．在平面直角坐标系中有两点，以点为位似中心，位似比为．把线段AB缩小成，则过A点对应点的反比例函数的解析式为（     ）． A． B． C．或 D．或 C C B 押题预测 1、已知，则下列比例式成立的是（     ） A． B． C． D． 2、如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，BC=5，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 3、如图，在中，，分别在，上，连接BE交AF于， 若，，，，共线，的面积为，则 的面积为 ． 押题预测 4、如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求AF的长． (2)求证：． 押题预测 【答案】1、B 2、D 3、30 4、【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，，，， ，，， ，； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ，， ，， ， ． $$