专题01 二次函数与反比例函数（考点串讲）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

九年级沪科版 数学上册期中考点大串讲 串讲01 二次函数与反比例函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理 十二大题型典例剖析+举一反三 二大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 1、二次函数的表达式的几种形式：（1）（2）；（3） ；（4） ；（5）；（6） k；（7） 2、抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是 3、抛物线，当时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减少，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当时，y有最小值，最小值为；当时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当时，y有最大值，最大值为； 4、抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程0的根的情况有关，该一元二次方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标； 考点透视 5、反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点（y）的横坐标的积是定值k，即xy=k 6、反比例函数（k为常数，）的基本性质 当时，图象分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 当时，图象分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 7、双曲线（k为常数，）中k的几何性质 设P是双曲线上任意一点，过点P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为H，G，连接PO（O为坐标原点），则， 题型剖析 题型一 二次函数图象 例1 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． 下列结论：①；②；③；④当时， ；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，∴开口向下，∵图象过点，对称轴为直线，∴∴∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．∴∴故①错误；∵∴故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下把代入∴∴故②错误；∵则图象过点，对称轴为直线∴抛物线 与轴的另一个交点 为∵抛物线开口向下∴当时，故④正确的； 把 代入，得∵∴ ∴∵∴故⑤正确的 故选：B． B 题型剖析 题型一 二次函数图象 【举一反三】 1、关于的图象，下列说法不正确的是（     ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．图象形状相同 2、关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （ ） ①对称轴是直线        ②图象与x轴没有交点 ③顶点坐标 （-1，-2）       ④当时，y随x的增大而减小 D 题型剖析 题型二 反比例函数的图象 例2 如图，函数和函数的图象相交于点， ，若，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【详解】解：，在函数和函数上， ，，即，，则的范围如图中实线所示： 即或． 故选：． B 题型剖析 题型二 反比例函数的图象 【举一反三】 1、二次函数的图象如下图所示，则一次函数， y=ax-b 和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A、 B、 C、 D、 2、已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　 　） A、 B、 C、 D、 B B 题型剖析 题型三 二次函数的性质 例3 若二次函数的图象经过点，， ，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：根据题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴，，， ∵，且开口向上， ∴； B 题型剖析 题型三 二次函数的性质 【举一反三】 1、．对于抛物线，下列说法不正确的是（     ） A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 2、已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（      ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．和3是方程的两个根 D．当时，y随x的增大而增大 B D 题型剖析 题型四 反比例函数的性质 例4 已知反比例函数图象上有三个点，，，且满足，则b的值可以为（     ） A．2 B． C．1 D．3 【详解】解：，函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，点在函数的图象上， 又，，∴，，∴，∴的值可以是1； 【举一反三】 1、反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2、已知反比例函数图像经过点，下列说法中不正确的是（      ） A．该函数图像在第二、四象限 B．点在该函数图像上 C．当时， D．y随x的增大而增大 C A D 题型剖析 题型五 求二次函数的表达式 例5 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线 经过A，B两点．求抛物线的解析式． 【详解】解：对于直线，∵当时，y=3；当时，，∴， ∵抛物线经过A，B两点， ∴∴∴抛物线的解析式为． 题型剖析 题型五 求二次函数的表达式 【举一反三】 1、如图，抛物线交轴正半轴于， 两点(A在的左边，交轴正半轴于点，连接，．若 的面积为，求抛物线的解析式． 【详解】由题意，， 或． 令，则， 点、、的坐标分别为、、． 又， 解得：． 抛物线的表达式为：． 题型剖析 题型五 求二次函数表达式 【举一反三】 2、如图，抛物线经过两点，并交 轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为： 题型剖析 题型六 求反比例函数表达式 例6 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图 象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在， 求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，或或或或 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 题型剖析 题型六 求反比例函数表达式 【举一反三】 1、如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线相交于点 E， 两个顶点A，D分别在x轴和y轴上，轴， 已知 ， 反比例函数 在第一象限的图象经过点 E． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点在反比例函数 的图象上， 当时， 求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的性质，求反比例函数解析式，菱形的性质； （1）根据菱形的性质可得，结合轴可证明四边形是矩形，即可得到，代入计算即可； （2）根据反比例函数的增减性求值即可． 题型剖析 题型七 “”的几何意义 例7 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点 在第二象限内，，反比例函数的图象经 过，两点．若的面积是6，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为，根据比例关系求出点的坐标，最后根据的几何意义和三角形的面积公式联立即可求出结果． 题型剖析 题型七 “”的几何意义 【举一反三】 1、．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函 数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点， 轴 交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 2、如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例 函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接 ，，则的面积为 ． 2 3 题型剖析 题型八 二次函数与方程或不等式之间的关系 例8 如图，已知抛物线，其顶点坐标为， 抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交 与两点， (1)__________；(2) __________0； (3)方程的根__________；(4)抛物线与轴的另一个交点是__________； (5) _________0；(6)抛物线的解析式____________；(7)__________0． 【答案】(1)(2)(3) (4)(5)(6)(7) 题型剖析 题型八 二次函数与方程或不等式之间的关系 【举一反三】 1、抛物线与轴交于两点，在左侧，与轴交于点． (1)点坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当满足时，的取值范围 ． 【答案】(1)；； (2)或 (3)． 题型剖析 题型九 二次函数的应用 例9 近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)700元 (3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元   【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解； （2）把9600代入中，求解即可； （3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可； 题型剖析 题型十 反比例函数的实际应用 例10 山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． (1)求与S之间的函数关系式 (2)求的值，并解释它的实际意义 (3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过， 求这根面条的总长度至少有多长 【答案】(1)(2)当面条的横截面积为时，面条长度为 (3)这根面条的总长度至少有 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．注意自变量的取值范围． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可； （3）求出面条的横截面面积为时，面条的长度，利用反比例函数的性质进行求解即可． 题型剖析 题型十一 方程思想 例11 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点． (1)求此一次函数和反比例函数的表达式： (2)求的面积； (3)在的部分，直接写出的解集． 【答案】(1)(2)的面积为(3)或 【分析】（1）点代入反比例函数计算可得反比例函数解析式，把点代入反比例函数可得的值，再把点代入一次函数，运用待定系数法即可求解； （2）设一次函数与坐标轴分别交于点，根据一次函数与坐标轴的交点可得点的坐标，由此可得，的面积，根据即可求解； （3）根据图形求不等式的解集即可求解． 题型剖析 题型十二 分类讨论思想 例12 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足， 求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动 点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时， 请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 易错易混 易错一 忽视二次函数系数不为0 例1、若 是二次函数，则 m 的值为（     ） A．1 B． C．1 或 D．0 【针对训练】 1、若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（     ） A． B．2 C．3 D．或2 2、当函数 是二次函数时，的取值为（   ） A． B． C． D． B D D 易错易混 易错二 忽视二次函数的增减性 例2、二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(     ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【针对训练】 1、已知二次函数，当时，的最小值是（ ） A．1 B．0 C． D． 2、二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（     ） A．且 B． C． D．或 C D A 押题预测 1、为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 2、若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 3、关于抛物线，下列说法正确的有（    ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 4、如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， 对称轴为直线，下列四个结论；①；②； ③；④当时，．正确结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 押题预测 5、在平面直角坐标系中，抛物线 =与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 押题预测 6、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为米，摇绳时两人手离地面均为米，已知小明身高米，在距离摇绳者的水平距离米时，绳子刚好经过他的头顶． (1)求图中抛物线的解析式； (2)某同学身高米，请问他适合参加本次跳绳比赛吗? (3)若多人进入绳区齐跳，且大家身高均为米，要求每 两人之间间距至少为米，试计算最多可供几人齐跳． 押题预测 【答案】1、A 2、B 3、C 4、 5、【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 6、【答案】(1)； (2)他不适合参加本次跳绳比赛； (3)最多可供人齐跳． $$