专题07 整式的化简与实际应用五种类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题07 整式的化简与实际应用五种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、代数式中不含某项 2 类型二、代数式的值与某字母的取值无关 4 类型三、代数式的值与某字母的符号无关 7 类型四、整式的代数应用 9 类型五、整式的几何应用 13 压轴能力测评 20 1.合并同类项的一般步骤 ①找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面作上相同的标记； ②利用加法交换律把同类项放在一起,在交换位置时,要连同项的符号一起交换； ③利用合并同类项的法则合并同类项,系数相加,字母及其指数不变； ④写出合并后的结果。 2.整式的加减的方法 运算法则：一般地，几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。 3.整式的化简求值 ①化：通过去括号,合并同类项将整式化简； ②代：把已知字母或整式的取值代入化简后的式子； ③算：依据有理数的混合运算法则进行计算； 整式加减的结果要最简： ①不能有同类项。 ②含字母的项的系数不能出现带分数,如果有带分数,必须将其化成假分数。 ③一般不含括号。 4.无关型问题 在整式加减的计算中，有些代数式的值与其中所含字母（或部分字母）的取值无关与x无关、不含x项的解题步骤 (1)化简所给代数式（去括号，合并同类项）； (2)令含x项系数为零； (3)列方程求解。 5.整式加减的应用 整式的加减应用往往需要根据题意列出式子，然后进行化简求值即可，对题意的理解并列出式子是关键。 6.新定义与程序问题 新定义运算问题近年来一直是一个非常重要的考点，无论是各区期末考试还是初三模拟甚到中考，都会有所涉及，此类题型相对较新颖，需要学生具备一定的的能力和意识，以及对以前知识的掌握能力。 类型一、代数式中不含某项 多项式中不含未知数的几次项问题，根据多项式不含不含某一项，说明这一项的系数为0，即可求出。 例．若关于的多项式不含二次项和一次项，求，的值． 【答案】， 【分析】此题考查了多项式中不含未知数的几次项问题，根据多项式不含二次项与一次项，得到两项系数为0，即可求出与的值． 【详解】解：多项式不含二次项和一次项， ，， 解得：，． 【变式训练1】．已知关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了合并同类项．解题的关键点：理解题意，合并同类项． 先整理多项式，依题意得，求出，．再代入求值． 【详解】解：∵， 又关于、的多项式不含二次项， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练2】．已知多项式与多项式． (1)当，时，计算的值； (2)如果A与的差中不含和y，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提． （1）把，代入和，再计算的值； （2）求出，再令含有、的项的系数为0即可． 【详解】（1）解：把，代入和，得 和， ； （2）解： ， 与的差中不含和的项， ，且， ，， ． 【变式训练3】．已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先化简，再根据不含项和项其系数为0求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 原式， ∵不含项和项， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 类型二、代数式的值与某字母的取值无关 整式的化简求值以及无关型题型，与某个字母无关，将多项式化简整理后，令这个字母的系数为0即可。 例．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把，代入中，再根据整式的加减运算进行计算即可求解； （）由（）得，根据的值与的取值无关，可得，解之即可求解； 本题考查了整式的加减运算，整式的无关型问题，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ； （2）解：由（）得，， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 【变式训练1】．已知多项式． (1)先化简，再求值，其中，； (2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值以及无关型题型，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简多项式，得，再把，代入计算，即可作答． （2）先化简多项式得，结合“多项式M与字母x的取值无关”，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： 当，时， ； （2）解：∵且多项式M与字母x的取值无关， ∴与字母x的取值无关， 即， ∴． 【变式训练2】．已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减于化简求值； （1）根据去括号，合并同类项进行计算即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算，即可求解； （3）根据题意，（1）中代数式的系数为，得出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． （2）当，时，原式． （3）原式， 因为的取值与无关，所以， 所以． 【变式训练3】．已知． (1)当时，求的值． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1)11 (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则，正确的计算是解题的关键． （1）先进行加减运算，再代值计算即可； （2）将（1）中的结果合并后，令含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1） 解： ； 当时，原式； （2） 因为的值与的取值无关， 所以， 所以． 类型三、代数式的值与某字母的符号无关 看错某个字母的符号，但是结果正确，说明多项式的结果与这个字母无关，也就是这个字母的系数为0。 例．已知，小明错将“”看成“”，算得结果． (1)求正确结果的表达式； (2)小芳说（1）中结果的大小与c 的取值无关，对吗？若，，求（1）中表达式的值． 【答案】(1) (2)小芳的说明正确， 【分析】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由得，将、代入根据整式的运算法则计算可得，将、代入，计算可得； （2）由化简后的代数式中无字母可知其值与无关，将、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； （2）解：小芳说的对，与无关， 将，代入，得： ． 【变式训练1】．有这样一道计算题：的值，其中，． (1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 【答案】(1)理由见解析； (2)． 【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简的结果，即可作出判断； （2）把代入化简后的整式中计算即可． 【详解】（1）解： 化简后的结果不含，所以取值与无关，故小明看错结果也会是正确的； 又时，， 故小华看错，结果也是正确的； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式训练2】．有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了整式的加减﹣化简求值，原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解： ， ∵结果不含x，且为非负数， ∴结果与x的值无关，且或者时，原式， ∴小明与小华错看x与y，结果也是正确的． 【变式训练3】．对于多项式，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，多项式中不含项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果，，多项式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧； （2）在做第二个问题时，马小虎同学把，错看成，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】（1）代数式中不含xy项就是合并同类项以后xy项得系数等于0，据此即可求得k的值； （2）把和代入（1）中的代数式求值即可判断． 【详解】解：（1）因为 ， 所以只要，这个多项式就不含项即时，多项式中不含项； （2）因为在第一问的前提下原多项式为：， 当时， ． 当时， ． 所以当和时结果是相等的． 【点睛】本题考查了合并同类项法则以及求代数式的值，理解不含xy项就是xy项的系数是0是关键． 类型四、整式的代数应用 整式加减的实际应用，正确理解题意．明确题意，列出相应的代数式。 例．国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价 不超过120立方米部分 3.5 1.5 5 超过120立方米，但不超过180立方米部分 5.25 1.5 6.75 超过180立方米部分 10.5 1.5 12 (1)小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？ (2)小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ (3)小敏家2022年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． 【答案】(1)元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查有理数的混合运算以及列代数式． （1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （2）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （3）利用总价单价数量，结合阶梯水价，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， 答：应缴纳水费元． （2）解：（元）， 答：应缴纳水费元． （3）解：应缴纳的水费为元． 答：应缴纳水费元． 【变式训练1】．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)制作一个这种窗户需要的材料费是元 (3)去甲家工厂采购更省钱． 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱+窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费+运输费+人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲家工厂采购更省钱． 【变式训练2】．【阅读材料】用作差法比较大小： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【解决问题】制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减，不等式的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 【变式训练3】．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段． 列车在冻土地段的行驶速度是，在非冻土地段的行驶速度可以达到，请根据这些数据回答下列问题： 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用，如果列车通过冻土地段要，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少？ 【答案】这段铁路的全长可以表示为，冻土地段与非冻土地段相差 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意，可以用含的代数式表示出冻土地段：；非冻土地段： ，再表示这段铁路的全长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 冻土地段：， 非冻土地段： ， ∴， ∴冻土地段与非冻土地段相差， ， ∴则这段铁路的全长可以表示为． 类型五、整式的几何应用 整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，列出代数式。 例．甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 【答案】(1)经过，两车的距离为 (2)经过，两车的距离是 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出代数式， （1）根据题意列出代数式，并进行计算即可； （2）代入求值即可； 【详解】（1）根据题意，经过后两车的距离为 ． 答：经过，两车的距离为； （2）因为，时， 有． 答：经过，两车的距离是 【变式训练1】．如图，长方形的长为，宽为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解题目数量关系，掌握运用代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． （1）根据图形面积可得，阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积，由此即可求解； （2）把字母的值代入式子计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，． 【变式训练2】．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有三种剪裁方法，其中种裁法：裁成4个侧面；种裁法：裁成3个侧面与2个底面；种裁法：裁成2个侧面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按种方法剪裁的白板纸有张，按种方法剪裁的白板纸有张． (1)按种方法剪裁的白板纸有______张．（用含的式子表示） (2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的式子表示，结果要化简） 【答案】(1) (2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出个侧面与个底面 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，是解题的关键． （1）用50减去A、B种裁法，即可得到答案； （2）根据侧面数种裁法种裁法种裁法，底面数种裁法种裁法，即可求解． 【详解】（1）由题意得：按C种方法剪裁的有张白板纸 故答案是：； （2）由题意得：可以裁出的侧面：（个）． 可以裁出的底面：（个）． 【变式训练3】．如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)平方米 (3)元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）将代入（1）中的结果进行求解即可； （3）用单价乘以总面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：； （2）解：当时：， 故该走道的总面积为：平方米； （3）解：（元）． 类型六、新定义与程序问题 理解题中给出的新定义，熟练掌握整式运算法则。 例．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于3的关联数． (1)①6与_____________是关于2的关联数． ②与_____________是关于2的关联数．（用含的代数式表示）． (2)若，，判断与是否是关于1的关联数，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)与不是关于1 的关联数，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减，理解题中给出的新定义，熟练掌握整式运算法则是解题关键． （1）①根据题意，进行计算即可；②根据题意，计算即可； （2）先计算出，然后根据题目中的式子说明理由即可． 【详解】（1）①， 6与是关于2的关联数； ②， ， 与是关于2的关联数， 故答案为：①；②； （2），， ， ， ∴与不是关于1的关联数． 【变式训练1】．定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)2， (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析 (3)d的值为 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴4与2是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：由题意得，， ， ． 【变式训练2】．【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）多项式A可以是；；；（2）这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题干信息分三种情况进行讨论，进行解答即可； （2）根据“二元对称关联式”的定义分三种情况进行讨论，进行计算即可． 【详解】解：（1）若，则： ； 若，则： ； 若，则： ； 综上分析可知，多项式A可以是；；． （2）若，则： ， ∴， 由得：， 由得：， ∴， ∴舍去， ∴； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 综上分析可知，这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时，． 【变式训练3】．对于一个三位自然数 M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，∵，，∴721是“儿童数”． (1)请你写出一个“儿童数” ；（721除外） (2)将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数 127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； (3)设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 【答案】(1)943 (2)99 (3)详见解析 【分析】本题考查了整式的运算，有理数的运算， （1）按照“儿童数”的特点作答即可； （2）将（1）中的“儿童数”按照给出的程序计算即可； （3）根据题意：变换为，在表示出，，作减法即可作答． 【详解】（1）∵，， ∴943是“儿童数”， 故答案为：943（答案不唯一）； （2）943变换为349，即，差为三位数； 594变换为495，即，差为两位数； 故答案为：99； （3）结论：任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99， 根据题意：变换为， ∵， ∴，差为三位数； 594变换为495，即，差为两位数； 即最终的结果为99， ∴任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99． 1．已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则求解即可； （2）由结果与x值无关，得到，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∵是常数，且的值与无关， ∴， ∴． 2．已知：，； (1)若，求的值；的值． (2)当a取任何数值，的值是一个定值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查整式的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则等知识． （1）利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，再去括号、合并同类项化简，最后计算即可； （2）根据，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ，，， ，， ，， 原式； （2）解： ， 当时，无论取何值，的值总是一个定值1． 3．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知关于x，y多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1），；（2）9． 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，多项式中次数的定义，代数式求值等知识． （1）先计算整式的加减运算，然后再代入求值即可． （2）根据该多项式不含二次项，可知二次项系数为0，则，，求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：（1） 将，代入上式，得； （2）∵关于x，y多项式不含二次项 ∴， 解得：， ∴ 4．有这样一道计算题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中x=﹣1，y=﹣1”，甲同学把x=﹣1错看成x=1，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？ 【答案】见解析 【分析】把所给多项式去括号合并同类项后即可得出答案. 【详解】原式=2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3 =﹣2y3， ∵结果中不含x项， ∴与x的取值无关． ∴甲同学把x=﹣1错看成x=1，但计算结果仍正确． 【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． 5．(1)阅读下列解题过程： 计算：. 解：原式=(-15)（-）×6（第一步） =(-15)(-25)    (第二步) =-         （第三步） 解答问题：①上面解答过程有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ； ②请你正确地解答本题． (2)有道题目“当a= 2,b= -2017时，求代数式的值”．甲同学做题时把b=-2017错抄成b=2017，乙同学没有抄错，但他们得出的结果恰好一样，问这是怎么回事儿？ 【答案】(1)①二，运算顺序错误，三，运算符号错误，②原式=；(2)理由见解析. 【详解】试题分析：（1）利用有理数的混合运算的运算顺序：先算括号里面的减法，再算除法，左后算乘法；由此顺序计算判定即可；（2）找出代数式中的同类项再合并化简，根据结果判断即可． 试题解析： (1)①二，运算顺序错误 ，三 ，运算符号错误; ②原式=; (2)因为,原式=; 所以,计算结果与a、b的取值无关. 所以,无论甲同学是否抄错b,都不影响其计算结果. 点睛：1.第（1）题考了查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号，是正确计算的前提；2. 第（1）题考了查整式的加减运算，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项；与某字母的取值无关，则是式子中不含该字母． 6．对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1)20 (2) (3)不一定，理由见解析 【分析】本题考查新定义运算及数轴，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果； （3）当时，不一定有或者，举例即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ， ， 则； （2）解：根据题意可得，， ∴ ∴； （3）解：由得， 不一定有或者， 例如：取，则， 此时等式成立，但且； 7．数学老师对同学们说：请你默想一个一位数，把这个数乘以2，加上5，再乘以50，加上1773，最后再减去你出生的年份．把运算的结果告诉我，我就能猜中你默想的那个一位数和你今年（2023年）的年龄． 注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年月出生，今年（2023年）都是23岁． 你知道数学老师是怎么做到的吗？ (1)举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年（2023年）的年龄的； (2)解释其中的原理． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，正确列出代数式是解题关键． （1）根据题意举例即可； （2）设默想的一位数为a，出生的年份为b，根据题意列出代数式，化简即可． 【详解】（1）解：（1）例如： 假如小明2010年出生，默想的一位数是6， ， 结果中百位数字即是小明默想的一位数，后面的两位数是小明的年龄， 小明默想的一位数是6，小明今年（2023年）的年龄为13岁； （2）设默想的一位数是，小明的出生的年份是． 根据题意，得 ． ∴结果的百位数字是a，后两位数字是，即小明的年龄． 8．如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示） (2)求篱笆的总长度；（用含的式子表示） (3)若，篱笆的单价为元/米，请计算篱笆的总价． 【答案】(1)； (2)所用篱笆的总长度为米； (3)全部篱笆的造价为元． 【分析】（）利用图中尺寸计算即可； （）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式即可求出篱笆总长度； （）将和的值代入第（）问所求的式子中求出篱笆的总长度，再乘以篱笆的单价即可求出总价； 本题考查整式的加减的实际应用，列代数式，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， 故答案为：， （2）解：由图可得，花圃的长为米，宽为米， ∴篱笆的总长度为米； （3）解：当，时， 篱笆的造价为元， 答：全部篱笆的造价为元． 9．窗户的形状如图所示，其上部是半圆形，下部是长为米，宽为米的四个相同的小长方形． (1)窗户的面积为_______平方米：窗框材料的总长为_______米；（用含有的代数式表示，保留）； (2)若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米30元，窗框费用每米20元，窗户的厚度不计，求制作一个这类窗户需要的费用是多少元？（取3） 【答案】(1) ， (2)705元 【分析】本题考查了几何图形问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题需注意：窗框用料的总长度指的是所有实线的长度． （1）窗户面积为：4个小正方形的面积+半圆的面积；窗框用料（实线部分）的总长度为所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长； （2）总费用为：玻璃钱+窗框钱． 【详解】（1）解：窗户的面积为平方米：窗框材料的总长为米， 故答案为： ，； （2）解：当，取3时 ， ∴总费用为705元． 10．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)元 【分析】本题考查列代数式，解答此类问题的关键是明确题意，列出形应的代数式. （1）根据题意可以求得甲顾客一次性购物元实际付款额； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出题目中的问题； （3）根据题意可以求得丙顾客两次购物实际付款额. 【详解】（1）由题意可得： (元) ， 故答案为:； （2）由题意可得，当 时, 他实际付款: 元， 当时，他实际付款：元， 故答案为: ，； （3）由题意可得,元 , 即丙顾客两次购物实际付款合计元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 整式的化简与实际应用五种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、代数式中不含某项 2 类型二、代数式的值与某字母的取值无关 3 类型三、代数式的值与某字母的符号无关 3 类型四、整式的代数应用 4 类型五、整式的几何应用 6 压轴能力测评 8 1.合并同类项的一般步骤 ①找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面作上相同的标记； ②利用加法交换律把同类项放在一起,在交换位置时,要连同项的符号一起交换； ③利用合并同类项的法则合并同类项,系数相加,字母及其指数不变； ④写出合并后的结果。 2.整式的加减的方法 运算法则：一般地，几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。 3.整式的化简求值 ①化：通过去括号,合并同类项将整式化简； ②代：把已知字母或整式的取值代入化简后的式子； ③算：依据有理数的混合运算法则进行计算； 整式加减的结果要最简： ①不能有同类项。 ②含字母的项的系数不能出现带分数,如果有带分数,必须将其化成假分数。 ③一般不含括号。 4.无关型问题 在整式加减的计算中，有些代数式的值与其中所含字母（或部分字母）的取值无关与x无关、不含x项的解题步骤 (1)化简所给代数式（去括号，合并同类项）； (2)令含x项系数为零； (3)列方程求解。 5.整式加减的应用 整式的加减应用往往需要根据题意列出式子，然后进行化简求值即可，对题意的理解并列出式子是关键。 6.新定义与程序问题 新定义运算问题近年来一直是一个非常重要的考点，无论是各区期末考试还是初三模拟甚到中考，都会有所涉及，此类题型相对较新颖，需要学生具备一定的的能力和意识，以及对以前知识的掌握能力。 类型一、代数式中不含某项 多项式中不含未知数的几次项问题，根据多项式不含不含某一项，说明这一项的系数为0，即可求出。 例．若关于的多项式不含二次项和一次项，求，的值． 【变式训练1】．已知关于、的多项式不含二次项，求的值． 【变式训练2】．已知多项式与多项式． (1)当，时，计算的值； (2)如果A与的差中不含和y，求的值 【变式训练3】．已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 类型二、代数式的值与某字母的取值无关 整式的化简求值以及无关型题型，与某个字母无关，将多项式化简整理后，令这个字母的系数为0即可。 例．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式训练1】．已知多项式． (1)先化简，再求值，其中，； (2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值． 【变式训练2】．已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【变式训练3】．已知． (1)当时，求的值． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 类型三、代数式的值与某字母的符号无关 看错某个字母的符号，但是结果正确，说明多项式的结果与这个字母无关，也就是这个字母的系数为0。 例．已知，小明错将“”看成“”，算得结果． (1)求正确结果的表达式； (2)小芳说（1）中结果的大小与c 的取值无关，对吗？若，，求（1）中表达式的值． 【变式训练1】．有这样一道计算题：的值，其中，． (1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 【变式训练2】．有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式训练3】．对于多项式，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，多项式中不含项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果，，多项式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧； （2）在做第二个问题时，马小虎同学把，错看成，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 类型四、整式的代数应用 整式加减的实际应用，正确理解题意．明确题意，列出相应的代数式。 例．国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价 不超过120立方米部分 3.5 1.5 5 超过120立方米，但不超过180立方米部分 5.25 1.5 6.75 超过180立方米部分 10.5 1.5 12 (1)小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？ (2)小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ (3)小敏家2022年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． 【变式训练1】．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 【变式训练2】．【阅读材料】用作差法比较大小： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【解决问题】制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【变式训练3】．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段． 列车在冻土地段的行驶速度是，在非冻土地段的行驶速度可以达到，请根据这些数据回答下列问题： 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用，如果列车通过冻土地段要，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少？ 类型五、整式的几何应用 整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，列出代数式。 例．甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 【变式训练1】．如图，长方形的长为，宽为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求．（取） 【变式训练2】．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有三种剪裁方法，其中种裁法：裁成4个侧面；种裁法：裁成3个侧面与2个底面；种裁法：裁成2个侧面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按种方法剪裁的白板纸有张，按种方法剪裁的白板纸有张． (1)按种方法剪裁的白板纸有______张．（用含的式子表示） (2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的式子表示，结果要化简） 【变式训练3】．如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 类型六、新定义与程序问题 理解题中给出的新定义，熟练掌握整式运算法则。 例．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于3的关联数． (1)①6与_____________是关于2的关联数． ②与_____________是关于2的关联数．（用含的代数式表示）． (2)若，，判断与是否是关于1的关联数，并说明理由． 【变式训练1】．定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【变式训练2】．【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【变式训练3】．对于一个三位自然数 M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，∵，，∴721是“儿童数”． (1)请你写出一个“儿童数” ；（721除外） (2)将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数 127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； (3)设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 1．已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 2．已知：，； (1)若，求的值；的值． (2)当a取任何数值，的值是一个定值时，求b的值． 3．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知关于x，y多项式不含二次项，求的值． 4．有这样一道计算题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中x=﹣1，y=﹣1”，甲同学把x=﹣1错看成x=1，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？ 5．(1)阅读下列解题过程： 计算：. 解：原式=(-15)（-）×6（第一步） =(-15)(-25)    (第二步) =-         （第三步） 解答问题：①上面解答过程有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ； ②请你正确地解答本题． (2)有道题目“当a= 2,b= -2017时，求代数式的值”．甲同学做题时把b=-2017错抄成b=2017，乙同学没有抄错，但他们得出的结果恰好一样，问这是怎么回事儿？ 6．对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 7．数学老师对同学们说：请你默想一个一位数，把这个数乘以2，加上5，再乘以50，加上1773，最后再减去你出生的年份．把运算的结果告诉我，我就能猜中你默想的那个一位数和你今年（2023年）的年龄． 注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年月出生，今年（2023年）都是23岁． 你知道数学老师是怎么做到的吗？ (1)举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年（2023年）的年龄的； (2)解释其中的原理． 8．如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示） (2)求篱笆的总长度；（用含的式子表示） (3)若，篱笆的单价为元/米，请计算篱笆的总价． 9．窗户的形状如图所示，其上部是半圆形，下部是长为米，宽为米的四个相同的小长方形． (1)窗户的面积为_______平方米：窗框材料的总长为_______米；（用含有的代数式表示，保留）； (2)若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米30元，窗框费用每米20元，窗户的厚度不计，求制作一个这类窗户需要的费用是多少元？（取3） 10．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$