专题08 整式中的规律三大类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题08 整式中的规律三大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、单项式规律类 3 类型二、数字类 4 类型三、图形类 5 压轴能力测评 7 1.均匀变化规律 均匀变化的规律技巧： 一组数据 a b c d...... 前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k 2.不均匀变化规律 技巧： 方法一：一组数据 a b c d...... ①标出前后数据之差，往前顺推一个数m ②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m ③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求） ④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和 ⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。 3.循环数字变化 技巧： 第一步：找出完整的一组循环数并排序； 第二步：拿要求的序数除以一组循环数的个数得出余数； 第三步：把余数作为序号找到对应循环数字即为所求。 4.相关公式 类型一、单项式规律类 例．探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，，…，根据其中的规律得出的第10个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第9个单项式是（ ） A． B． C．17 D． 【变式训练2】．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．按一定规律排列的单项式：．则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 类型二、数字类 例．观察下列各式：……； (1)猜想它的规律，用含n的代数式表示出来 (2)用你得到的规律，计算：，并求出当时代数式的值； 【变式训练1】．阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【变式训练2】．观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【变式训练3】．观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 类型三、图形类 例．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【变式训练1】．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．七年级的同学们学了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动．他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动． (1)观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格： 第1个 第2个 第3个 第4个 … 拼成三角形个数 1 2                                     … 拼成的正方形个数 3 5                                     … 所用火柴棒总根数 12 20                                     … (2)探究：按如图所示的方法拼成的第n个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？（用含n的代数式表示，并与同学们进行交流） 【变式训练2】．找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【变式训练3】．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 1．观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ； 2．观察下列单项式：x，，，，，…考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ． 3．按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第四个等式： ； (2)第n个等式为： ； (3)计算：． 5．观察下列算式： ； ； ； 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ； (2)第五个算式为 ； (3)计算：． 6．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式 ； (2)① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 7．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 8．【观察思考】 作一个正方形、设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续操作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案． 【规律发现】 请用含a的式子填空： （1）正方形进行第次分形后得到了图，此图形的周长为______； （2）重复上述的操作，图需要经过第____次分形后才能得到图3的图案． 请用含和的式子填空： （3）经过次分形得到的图案周长为______，面积为______． 【规律应用】 （4）结合上述规律，若分形前正方形的边长为，是否存在不大于的正整数，使得按规律排序的一段正整数之和等于经过次分形得到的图案周长的倍．若存在，求出的所有的值；若不存在，请说明理由． 9．【观察思考】 【规律发现】 （1）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________． （2）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 10．用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 　     　根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 整式中的规律三大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、单项式规律类 3 类型二、数字类 5 类型三、图形类 9 压轴能力测评 14 1.均匀变化规律 均匀变化的规律技巧： 一组数据 a b c d...... 前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k 2.不均匀变化规律 技巧： 方法一：一组数据 a b c d...... ①标出前后数据之差，往前顺推一个数m ②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m ③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求） ④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和 ⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。 3.循环数字变化 技巧： 第一步：找出完整的一组循环数并排序； 第二步：拿要求的序数除以一组循环数的个数得出余数； 第三步：把余数作为序号找到对应循环数字即为所求。 4.相关公式 类型一、单项式规律类 例．探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，，…，根据其中的规律得出的第10个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题中给出的式子可得出第n项的系数可以表示为，指数表示为n，从而得到第n项表示为，将10代入求解即可． 【详解】解：观察式子：，，，，，…， 得出第n项的系数可以表示为，指数表示为n，即第n项表示为， 第10个单项式是， 故选：A． 【变式训练1】．观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第9个单项式是（ ） A． B． C．17 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的规律问题，观察已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第9个单项式即可． 【详解】解：观察已有单项式可知：第个单项式为：， ∴第9个单项式是：； 故选B． 【变式训练2】．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现系数是从1开始连续的正整数，指数是从2开始的连续的正整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解： ∴第n个单项式是， 故选：C． 【变式训练3】．按一定规律排列的单项式：．则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字变化−规律型，根据观察总结规律求解即可． 【详解】解：由题意得，第n个单项式为， ∴第7个单项式是， 故选：B． 类型二、数字类 例．观察下列各式：……； (1)猜想它的规律，用含n的代数式表示出来 (2)用你得到的规律，计算：，并求出当时代数式的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查探索与表达规律，通过观察，归纳，找规律是解题的关键． （1）根据观察，归纳，即可得到答案； （2）利用第（1）题的规律，把每项都进行裂项，再求和，即可求解． 【详解】（1）由；；；…， 可得：； （2）当时， = ． 【变式训练1】．阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查等式的规律探索，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． （1）设，则，根据即可求出结果； （2）设，将等式两边同时乘以2，得，将以上两式相减得：，即可得出； （3）设，将等式两边同时乘以5得出，将以上两式相减得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得：， ∴； （2）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得： ， 即， ∴； （3）解：设， 将等式两边同时乘以5，得： ， 将以上两式相减，得： ， 则， 即， ∴． 【变式训练2】．观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 【变式训练3】．观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 类型三、图形类 例．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②块 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 【详解】（1）解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 【变式训练1】．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．七年级的同学们学了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动．他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动． (1)观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格： 第1个 第2个 第3个 第4个 … 拼成三角形个数 1 2                                     … 拼成的正方形个数 3 5                                     … 所用火柴棒总根数 12 20                                     … (2)探究：按如图所示的方法拼成的第n个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？（用含n的代数式表示，并与同学们进行交流） 【答案】(1)3，7，28；4，9，36 (2)第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是（2n+1）个，所用火柴棒总根数是（8n+4）根 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律． （1）观察图形的变化即可完成填空； （2）结合（1）即可得第n个图形的三角形和正方形的个数以及火柴棒个数． 【详解】（1）解：第3个图形中，拼成三角形的个数是3个，拼成正方形的个数是7个，所用火柴棒总根数是28根； 第4个图形中，拼成三角形的个数是4个，拼成正方形的个数是9个，所用火柴棒总根数是36根； 故答案为：3，7，28；4，9，36． （2）解：由（1）可得， 第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是个，所用火柴棒总根数是根． 【变式训练2】．找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【答案】(1) (2)①；②共可坐112人 【分析】本题主要考查数字规律的运算，理解表格信息，图示信息，找出数量关系，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数，由此即可求解； （2）根据题意，把代入，可得5张桌子拼在一起可以坐的人数，再计算8大张桌子的人数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数， ∴输入时，输出的结果为， ∴当输入时，输出的结果为， 故答案为：； （2）解：①根据题意，2张桌子拼在一起可以坐8人，3张桌子拼在一起可以坐10人， ∴张桌子拼在一起可以坐：人， 故答案为：； ②当时，即5张桌子拼在一起时可以坐（人）， ∴8张大桌子可以坐（人）， ∴共可以坐112人． 【变式训练3】．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【答案】①见解析；②57；③ 【分析】本题考查了图形类规律探索，找出一般规律是解题关键． ①根据已知图形数出黑点个数是解题关键； ②根据题意得出一般规律：图n黑点的个数是：，据此即可求解； ③根据②作答即可． 【详解】解：①由图形可知，时，；，， 填表如下： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 7    13 21   … ②由题意可知，图1黑点的个数是：1； 图2黑点的个数是：； 图3黑点的个数是：； … 观察可知，图n黑点的个数是：， 即时，， 故答案为：57； ③由②可知，n与y之间的关系为． 1．观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ； 【答案】 【分析】本题考查单项式的排列规律，能根据所给单项式列发现系数和次数的变化规律是解题的关键． 观察所给的单项式列可知，奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给的单项式列可知， 奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1， 所以第个式子的系数为，第个式子的字母部分为， ∴第个式子为． 故答案为：． 2．观察下列单项式：x，，，，，…考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，即可得出结果． 【详解】解：∵一列单项式：x，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：． 3．按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第10个数即可． 【详解】解：观察可得：第个单项式为：， ∴第10个数是； 故答案为：． 4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第四个等式： ； (2)第n个等式为： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算： （1）根据已有等式，写出第四个等式即可； （2）根据已有等式，抽象概括出第n个等式即可； （3）利用（2）中规律，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，第四个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ． 5．观察下列算式： ； ； ； 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ； (2)第五个算式为 ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意写出第五个算式即可； （3）根据题意可得规律，据此把所求式子裂项约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，第五个算式为， 故答案为：； （3）； ； ； 以此类推可知，， ∴ ． 6．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式 ； (2)① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①  ②见解析 【分析】（1）根据题意找规律即可解答； （2）①将原题中的规律用含有字母n的等式表示出来即可 ②运用完全平方公式展开，然后利用提取公因数解题即可． 【详解】（1）解：第4个等式： ； （2）①第n个 （，且n是整数） 等式为：； ② ． 7．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 8．【观察思考】 作一个正方形、设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续操作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案． 【规律发现】 请用含a的式子填空： （1）正方形进行第次分形后得到了图，此图形的周长为______； （2）重复上述的操作，图需要经过第____次分形后才能得到图3的图案． 请用含和的式子填空： （3）经过次分形得到的图案周长为______，面积为______． 【规律应用】 （4）结合上述规律，若分形前正方形的边长为，是否存在不大于的正整数，使得按规律排序的一段正整数之和等于经过次分形得到的图案周长的倍．若存在，求出的所有的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4） 【分析】（1）观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故可求解； （2）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图（3）的图形，得出图（1）经过第2次分形后即可得到； （3）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变； （4）分别求得连续整数的和与经过次分形得到的图案周长的倍，进而分析即可求解． 【详解】（1）对正方形进行第次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为， 观察图形，发现对正方形每进行次变化，周长增加倍，故此时图形的周长为， 故答案为：； （2）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形， 故答案为：； （3）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行次分形，周长增加倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变． 经过次分形得到的图形周长是，面积是． 故答案为：． （3）∵ 经过次分形得到的图案周长的倍为 ∴，当时，等式成立， ∵，连续的两个数的乘积为， ∵的个位数分别为，，，， 当，不存在， ∴， 9．【观察思考】 【规律发现】 （1）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________． （2）第个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 【答案】（）；；（）；；（）不能，见解析． 【分析】（）找出数量上的变化规律即可求解； （）找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论； （）利用（）中得到的代数式列出方程可求解； 本题考查了规律型－图形的变化类．解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 【详解】（）第一个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； 第二个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； 第三个图形黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； ∴第四个图形中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块， 故答案为：，； （）第一个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块； 第二个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块； 第三个图形黑色方块的个数为块，黑、白两种方块的总个数为块； ， 第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为， 故答案为：；； （）由（）可知第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为，则白色方块的个数为， ∴由题意得，解得， ∵为正整数， ∴不符合题意， 故不能． 10．用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 　     　根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【答案】(1)12；17；（5n＋2） (2)1012；不能 (3)110个 【分析】（1）依次求出图形中用的火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）先求出187根火柴搭成的是第几个图形，再根据图形中正方形个数变化的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）由所给图形可知， 第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2； 第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2； 第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2； …， 所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根． 故答案为：12，17，（5n＋2）． （2）解：（2）由（1）知， 当n＝202时， 5n＋2＝5×202＋2＝1012（根）， 即第202个图形用的火柴棒根数为1012根． 使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形． 当5n＋2＝2023时， 解得n＝404.2， 因为n为正整数， 所以不能搭建完整的正方形组建的图形． 故答案为：1012，不能． （3）解：（3）令5n＋2＝187， 解得n＝37， 即第37个图形用的火柴棒根数为187根． 又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1； 第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1； 第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1； …， 所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个， 当n＝37时， 3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个）， 即第37个图形产生的正方形个数为110个， 所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形． 【点睛】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现所用火柴棒的根数及产生正方形的个数变化的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$