精品解析：山东省滨州市邹平市西董街道鹤伴中学2024－2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年九年级数学第一次质量检测试题 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故选：B． 2. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，，，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 3. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 4. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的根为， 即方程的另一个根为：． 故选：A． 5. 如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由判别式的意义可得，根据“阿凡达”方程的定义可得，即，把代入可得到，则，然后再逐项判断即可． 【详解】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根， ∴，，即， ∴，即，即 ∴ ∴． 故选：A． 6. 某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x．那么x满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该厂每年的平均增长率为x，则明年生产零件万个，后年生产零件万个，再根据计划明后两年共生产零件132万个列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 8. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … －21.5 －9.5 －1.5 2.5 －1.5 －9.5 … 则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线x＝1 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 当x＝4时，y＝－21.5 D. 方程的负数解满足 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性，由抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5）得到抛物线的对称轴为直线x＝，则可对A选项进行判断；利用由表中数据可对B选项进行判断；利用抛物线的对称性得到当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等，则可对C选项进行判断；利用抛物线对称性得到当x＝1和x＝0对应的函数值相等，即当x＝0时，y＝2.5，则可判断抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，则可对D选项进行判断． 【详解】解：A、∵抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以选项的说法错误，符合题意； B、由表中数据得x＞1时，y随x的增大而减小，所以选项的说法正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线x＝， ∴当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等， 即当x＝4时，y＝﹣21.5，所以选项的说法正确，不符合题意； D、∵抛物线的对称轴为直线x＝， ∴当x＝1和x＝0对应的函数值相等， 即当x＝0时，y＝2.5， ∴抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴方程ax2+bx+c＝0的负数解x1满足﹣1＜x1＜0，所以选项的说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题（共8小题） 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 10. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到新抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线，它的顶点坐标是． 将其向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是， 所以新抛物线的解析式是：． 故答案：． 11. “六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：． 故答案为：． 12. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与x轴的公共点坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的平移问题，根据题意可得二次函数与x轴的两个交点坐标为，再由二次函数是由二次函数向右平移2个单位得到的可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∵二次函数是由二次函数向右平移2个单位得到的， ∴二次函数与x轴的公共点坐标为， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，______． 【答案】4 【解析】 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． 15. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即：， ， ， 故答案为：2023． 16. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 三、解答题（共8小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； （2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，使得的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由和三角形面积公式即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得或（舍去）， ∴当时，使得的面积为． 19. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论． 【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m， 依题意，得：x（33-3x）=90， 解得：x1=6，x2=5． 当x=6时，33-3x=15，符合题意， 当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC=ym，则AB=（33-3y）m， 依题意，得：y（33-3y）=100， 整理，得：3y2-33y+100=0． ∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0， ∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 21. （换元法）解方程： 解：设则原方程可化为 解得： 当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 根据以上材料，请解方程： （1）． （2） 【答案】（1）原方程的根是； （2）原方程的根是． 【解析】 【分析】(1)设，则原方程可化为，解得值，即可得到原方程的根； (2)设，则原方程可化为，解得的值，检验后即可得到原方程的根． 【小问1详解】 设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是； 【小问2详解】 设，则原方程可化为 去分母，可得 解得 当时，，解得 当时，，方程无解 经检验∶都是原方程的解 原方程根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 22. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； 因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【小问1详解】 由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为：． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． 23. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． （2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.. 【解析】 分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可. 【小问1详解】 解：依题意得： 降价4元后每件利润：（元）， 降价4元后销量：（个）， 降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． 【小问2详解】 解：设每个模型降价x元， 则每件利润 元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键. 24. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级数学第一次质量检测试题 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 2. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 3. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 4. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x．那么x满足方程（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … －21.5 －9.5 －1.5 2.5 －1.5 －95 … 则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线x＝1 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 当x＝4时，y＝－21.5 D. 方程的负数解满足 二、填空题（共8小题） 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 10. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到新抛物线的解析式为______． 11. “六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为_________． 12. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 13. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与x轴的公共点坐标为______． 14. 如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，______． 15. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 16. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 三、解答题（共8小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； （2）是否存在t值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 19. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 20. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21. （换元法）解方程： 解：设则原方程可化为 解得： 当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 根据以上材料，请解方程： （1）． （2） 22. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 24. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $