专题03 基本初等函数（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题03 基本初等函数 函数的三要素 一、定义域 1．（23-24高一上·北京铁路二中·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京八一中学·期中）函数的定义域为 ． 2、 解析式（对应法则） 1.（23-24高一上·北京校考·期中）若函数满足，则（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的值是 . 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式 . 4．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数同时具有以下性质： ①有2个零点； ②在上是增函数． 写出符合上述条件的一个函数f（x），其解析式为 ． 3、 值域 1．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，当时，的值域是 ；若的值域是，则的定义域为 ．（写出满足条件的一个结论） 函数的性质——单调性 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上有最大值6，最小值5.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是定义在上的函数，那么“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（22-23高一上·北京·期中）若函数与函数在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京西城·期中）已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中． （1）当时， ； （2）若的值域是，则的取值范围为 . 函数的性质——奇偶性 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京西城·期中）若函数是偶函数，则与的大小关系为 ． 函数单调性与奇偶性综合 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 3．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 6．（23-24高一上·北京西城·期中）设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（23-24高一上·北京·期中）已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，的所有解的和为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A．<< B．<< C． D． 9．（23-24高一上·北京·期中）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 10．（23-24高一上·北京西城·期中）定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的有，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·北京·期中）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为 . 14．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 . 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 函数的零点 1．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 3．（23-24高一上·北京·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（23-24高一上·北京·期中）函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有(    ) A．个 B．个 C．个 D．不能确定 5．（23-24高一上·北京·期中）函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）如果是函数的零点，那么一定在下列哪个区间中（    ） A． B． C． D． 对指幂函数 1．（23-24高一上·北京·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，则 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）若函数是幂函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 5．（23-24高一上·北京·期中）设，给出“是上的增函数”为真命题的的一个值 . 6．（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 7．（23-24高一上·北京·期中）函数且的图象经过点，则 . 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求在上的值域； (2)若为偶函数，求a的值； (3)若在上单调递增， （i）直接写出实数a的取值范围； （ii）解关于x的不等式：. 9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)直接写出的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 函数应用 1．（23-24高一上·北京·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）下列可能是函数的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24高一上·北京·期中）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象. 给出下列四种说法： ①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本. 其中，正确的说法是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（18-19高一上·北京昌平·期末）某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为 （为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为 A．35 B．30 C．25 D．20 6．（23-24高一上·北京·期中）某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（   ）（参考数据：，，，） A．9 B．10 C．11 D．12 分段函数的综合 1．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，那么 ；当方程有且仅有3个不同的根时，实数的取值范围是 . 7．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，，，，则t的取值范围是 ，若，则 . 8．（23-24高一上·北京·期中）若函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·北京·期中）设函数，若存在最小值，则实数的一个可能取值为 ；实数的取值范围是 . 10．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数（）． ①当时的值域为 ； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·北京西城·期中）小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以（单位：吨，）表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.（单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润. (1)分别求当时，的值；当时，的值； (2)将表示为的函数； (3)求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围. 13．（23-24高一上·北京·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 函数综合问题 1．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，. (1)证明：当时，是奇函数； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围. 2．（23-24高一上·北京西城·期中）设，其中． (1)当时，求函数的图象与直线交点的坐标； (2)若函数在上不具有单调性，求的取值范围： (3)当时，求函数的最小值． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式：． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若对任意，都有，则的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，求的最小值. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数最小值为，且是其一个零点，都有． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值； (3)是否存在实数满足：对，都有恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 6．（23-24高一上·北京西城·期中）函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个正数零点，， （i）求的取值范围； （ii）求的最小值以及取到最小值时的值. 7．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是上的奇函数，当时，.现已作出函数在y轴右侧的图象，如图所示. (1)请根据条件，将函数的图象补充完整，并直接写出函数的表达式； (2)写出函数的单调区间，并利用单调性的定义证明函数在上单调递减； (3)直接写出不等式的解集. 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)求； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)证明是奇函数. 9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，有. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 10．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本初等函数 函数的三要素 一、定义域 1．（23-24高一上·北京铁路二中·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0，可建立等式关系，进而可求出函数的定义域. 【详解】由题意，可得，解得或. 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，解出的取值范围即可. 【详解】， 解得：. 故选：B. 3．（23-24高一上·北京八一中学·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】解不等式组可得答案. 【详解】由函数有意义得，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 2、 解析式（对应法则） 1.（23-24高一上·北京校考·期中）若函数满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用换元法可得函数，代入即可得解. 【详解】令，则，， 所以，即， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的值是 . 【答案】3 【分析】根据凑配法求出解析式，代入即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，. 又，所以有， 解得. 故答案为：3. 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题设写出一个定义域为R，值域为的偶函数即可. 【详解】由题设，是定义域为R，值域为的偶函数， 所以满足. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数同时具有以下性质： ①有2个零点； ②在上是增函数． 写出符合上述条件的一个函数f（x），其解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知只需满足一元二次方程有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为轴或轴的左侧即可. 【详解】设， 解可得，， 所以，和是的2个零点，满足条件①； 的对称轴为， 根据二次函数的性质可知，在上是增函数，满足条件②． 所以，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 3、 值域 1．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，当时，的值域是 ；若的值域是，则的定义域为 ．（写出满足条件的一个结论） 【答案】 (答案不唯一) 【分析】利用二次函数的单调性与对称性计算即可. 根据题意令，，求出对应的x值，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由， 可知，函数单调递减，当时，函数单调递增， 故时，，时，，即.的值域是. 令，解得； 令，解得或； 由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是，，． 故答案为：;(答案不唯一) 函数的性质——单调性 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案． 【详解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除； （B）的值域是（0，＋∞），排除； （D）＝，在（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符； 只有（C）符合题意.故选C. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上有最大值6，最小值5.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出时的取值，然后结合单调性判断出的取值范围. 【详解】因为，所以当时， 令，解得或， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以若在区间上有最大值6，最小值5， 则有，即， 故选：C. 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性，即可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数在上为增函数， 所以，函数的单调递减区间为. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是定义在上的函数，那么“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据最大值的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】只有“存在实数，使得对任意总有”且“存在，使得”，这时的最大值才是，所以充分性不满足， 当的最大值是时，对任意总有恒成立，所以必要性满足， 所以，“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的必要不充分条件. 故选：. 5．（22-23高一上·北京·期中）若函数与函数在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数在区间上是减函数，所以， 因为在区间上是减函数，所以， 所以的取值范围是， 故选：D 6．（23-24高一上·北京西城·期中）已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，分类讨论区间端点与对称轴的大小，将恒成立问题转化为最值问题解决. 【详解】由可知，函数对称轴为， 当时，在上单调递增，， 所以要使恒成立，即，即，解得； 当时，在上单调递增，所以， 则，解得； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中． （1）当时， ； （2）若的值域是，则的取值范围为 . 【答案】 （﹣∞，-2]∪[2，+∞）． 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值； ②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】①当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数， f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2； ②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a, 所以若f（x）的值域是R， 则当x＞0时，f（x）＝必须满足： ，或， 解得a≥2或a≤-2， 即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）． 故答案为【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）． 函数的性质——奇偶性 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求，再利用奇函数的性质，求值. 【详解】 是奇函数，满足， 即. 故选：D 2．（23-24高一上·北京西城·期中）若函数是偶函数，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性求出函数，在计算出与的值即可比较二者之间的大小关系. 【详解】因为函数是偶函数，所以, 所以，得，即， 因为，， 所以， 故答案为：. 函数单调性与奇偶性综合 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解. 【详解】函数不是奇函数，故A不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确； 的图象如图： 所以函数是奇函数且是增函数. 故选：D 2．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，为上的奇函数，所以， 且， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案. 【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误. 函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误. 函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确. 故选：B 4．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，，易知在区间上单调递增，所以选项A错误； 对于选项B，易知的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数，所以选项B错误； 对于选项C，易知定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数， 又当时，在区间上单调递减，所以选项C正确； 对于选项D，，易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项D错误. 故选：C. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】C 【分析】由奇偶性定义，结合二次函数的单调性以及奇函数的性质作出判断. 【详解】，即函数是奇函数 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增 即函数的增区间为和，减区间为 故选：C 6．（23-24高一上·北京西城·期中）设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数在为减函数，且，结合不等式，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数是奇函数，且在内是减函数，可得函数在为减函数， 又由，可得， 因为不等式， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 7．（23-24高一上·北京·期中）已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，的所有解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的周期性和对称性，作出函数与在上的图象，数形结合可求得结果. 【详解】因为已知为定义在上的奇函数，且，则， 所以，，故函数为周期函数，且周期为， 且函数的图象关于直线对称，故函数在上的图象关于直线对称， 当时，，则， 作出函数与在上的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，分别为、、、， 设，由图可知，点、关于直线对称， 点、关于直线对称，则. 故选：A. 8．（23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A．<< B．<< C． D． 【答案】C 【分析】由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论. 【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数, ∴x∈(-∞,0)时,是减函数, ∵为偶函数,∴. ∵在上为减函数,且, ∴,即, 故选:C. 9．（23-24高一上·北京·期中）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由f(x)为奇函数可知， ＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1)； 当x<0时，f(x)>0＝f(－1)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x<1，或－1<x<0. 选D 10．（23-24高一上·北京西城·期中）定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质得到，单调递增，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，，单调递减， 所以，单调递增， 所以不等式的解集为. 故选：C. 11．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即， 故选：A 12．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性将转化为，然后根据单调性比较函数值的大小关系. 【详解】因为是偶函数，所以， 又因为对任意的有， 所以在上单调递增，所以在上单调递减， 所以，即， 故选：C. 13．（23-24高一上·北京·期中）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为 . 【答案】(－1，0)∪(0，1) 【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，得到f(－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果. 【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0， 所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为＝2·<0， 即或 解得x∈(－1，0)∪(0，1). 故答案为：(－1，0)∪(0，1). 14．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数性质有，结合已知解析式求函数值即可. 【详解】由题设. 故答案为： 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解. 【详解】）设，则，则，因为为偶函数， 所以，所以，作出的图象如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 函数的零点 1．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断在上递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上都递增， 所以在上递增， 又因为， ， 所以，所以区间含有的零点， 故选：B. 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD. 【详解】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确； 对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确； 对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确； 对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误， 故选：D. 3．（23-24高一上·北京·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】由题可知函数为增函数，结合零点存在定理知在区间上必有根． 故选：C． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有(    ) A．个 B．个 C．个 D．不能确定 【答案】B 【分析】将函数图象与直线的交点个数转化为方程解得个数，然后根据函数的定义判断. 【详解】函数图象与直线的交点个数可以转化为方程解得个数，根据函数的定义可得方程只有一个解，所以函数图象与直线的交点个数为1个. 故选：B. 5．（23-24高一上·北京·期中）函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论． 【详解】易知函数f（x）＝x3+2x﹣5是连续函数， 由于f（-1）＝﹣8＜0，f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝8+4﹣5＝7＞0， 根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝x3+2x﹣5的零点所在的区间为（1，2）， 故选D． 6．（23-24高一上·北京·期中）如果是函数的零点，那么一定在下列哪个区间中（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点存在性定理进行计算即可. 【详解】因为，易得是上的递增函数， 因为， 所以函数的唯一零点在区间内， 故选： 对指幂函数 1．（23-24高一上·北京·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得恒成立，再分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为不等式恒成立，即恒成立 所以恒成立，即恒成立， 当时恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质和对数运算的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，根据指数幂的运算性质和对数运算的性质， 可得，，， ∴． 故选B． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性以及和“1”比较大小得出结果. 【详解】因为，又， 所以. 故选：B. 4．（23-24高一上·北京·期中）若函数是幂函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念得到，由此求解出的值. 【详解】因为是幂函数， 所以， 所以， 故选：B. 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京·期中）设，给出“是上的增函数”为真命题的的一个值 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先分析的单调性，然后分析的单调性，由此判断出的可取范围. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，一定是上的增函数， 所以取满足条件， 故答案为：（答案不唯一）. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】设，根据求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】由题意，设，则，所以，，可得， 故，因此，. 故答案为：. 7．（23-24高一上·北京·期中）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】代入点的坐标求出的值，从而求出函数解析式. 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求在上的值域； (2)若为偶函数，求a的值； (3)若在上单调递增， （i）直接写出实数a的取值范围； （ii）解关于x的不等式：. 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii） 【分析】（1）根据指数函数的单调性得到值域； （2）根据得到方程，求出； （3）（i）换元后，由对勾函数性质及复合函数单调性得到实数a的取值范围； （ii）求出，从而不等式变形为，由单调性解不等式，求出解集. 【详解】（1）若，. 所以在上单调递增. 又，， 所以在上的值域为. （2）是偶函数，则， 即，整理得恒成立， 所以，即. （3）（i）实数a的取值范围为，理由如下： 令，则，其中在R上单调递增， 由复合函数单调性可知，要想在上单调递增， 只需在上单调递增， 当时，由对勾函数性质可知，其不满足在上单调递增，舍去， 当时，满足要求， 当时，由增函数加上增函数仍然为增函数得，在单调递增， 综上，实数a的取值范围为； （ii）因为， 又在定义域上单调递增， 则不等式等价于. 又为定义在上的减函数， 所以不等式的解集为. 9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)直接写出的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见详解 (2)函数在R上为减函数 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义可得结论； （2）运用单调性的定义进行判断； （3）由的奇偶性和单调性，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）由可知函数的定义域为R， R，R，， ∴函数为奇函数； （2）函数在R上为减函数. （3）由不等式可得， 因为在R上为减函数，可得，即， 即的取值范围是． 函数应用 1．（23-24高一上·北京·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京·期中）下列可能是函数的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD. 【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D， 故选：C. 3．（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据开始时即时价格与平均价格的关系以及买卖过程中即时价格与平均价格的变化情况进行分析. 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 4．（23-24高一上·北京·期中）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象. 给出下列四种说法： ①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本. 其中，正确的说法是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案. 【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为， 显然，，为票价. 当时，，则为固定成本. 由图象(2)知，直线向上平移， 不变，即票价不变， 变大，且，则变小，成本减小. 故①错误，②正确； 由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大. 变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变. 故③正确，④错误. 故选：C. 5．（18-19高一上·北京昌平·期末）某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为 （为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为 A．35 B．30 C．25 D．20 【答案】C 【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是一次函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间． 【详解】由题意，当0≤t<5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为， 点（5，100）和点（15，60），代入解析式， 有， 解得a＝5,b=20， 故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25, ∴最少需要的时间为25min． 故选C. 6．（23-24高一上·北京·期中）某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（   ）（参考数据：，，，） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出适应模型，根据指对互化以及对数运算求得结果. 【详解】若选，将和代入得， 解得，所以，代入有，不合题意． 若选，将和代入得， 解得，所以．代入有，符合题意． 依题意可得，即， 则，又，， 所以，∵， ∴的最小值为. 故选：C 分段函数的综合 1．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、两种情况讨论，结合可求出实数的值. 【详解】因为，且. 当时，则，解得或（舍）； 当时，则，解得（舍）. 综上所述，. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数零点的个数，即为函数与函数图象交点个数，结合函数图象可得实数的取值范围． 【详解】因为关于的函数有且只有三个不同的零点， 所以函数与函数图象有三个不同的交点，画出图象，如图： 由图可知，当时，函数与函数图象有三个不同的交点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 4．（23-24高一上·北京·期中）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑的情况，然后求解出符合条件的的范围. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 所以的取值范围是， 故选：D. 5．（23-24高一上·北京·期中）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围. 【详解】不妨设，，如图所示，，由 ， 故，，故. 故选：D 6．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，那么 ；当方程有且仅有3个不同的根时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】入解析式即可求出；方程有且仅有3个不同的根即与的图象有3个交点，结合图象，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以； 画出函数的图象， 方程有且仅有3个不同的根即与的图象有3个交点， 由图可得：. 故答案为：；. 7．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，，，，则t的取值范围是 ，若，则 . 【答案】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出分段函数图像，方程有4个不同的实数根，所以求出的取值范围； （2）根据分段函数是二次函数，所以，即，根据函数，求出，，继而求出，最终求出的值. 【详解】 如图所示方程有4个不同的实数根，，，， 则t的取值范围是. 因为是二次函数，所以， 因为，所以，即 所以，， 解得，， 解得，因为， 所以 故答案为：； 8．（23-24高一上·北京·期中）若函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】若对任意的实数都有成立，则函数在上单调递增，进而可得答案． 【详解】对任意的实数都有成立， 函数在上单调递增， ， 解得：，， 故答案为：． 9．（23-24高一上·北京·期中）设函数，若存在最小值，则实数的一个可能取值为 ；实数的取值范围是 . 【答案】 （只需满足即可） 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性，根据函数存在最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】①当时，则，函数在上为增函数， 此时，函数不存在最小值，不合乎题意； ②当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立，此时，函数的最小值为； 当时，函数在上为减函数， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若函数存在最小值，则，即，解得，此时，； ③当时，函数在上为减函数， 函数在上为增函数， 若函数存在最小值，则，即，该不等式无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：（只需满足即可）；. 10．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性列出不等式，求解即得答案. 【详解】因为函数在上是增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数（）． ①当时的值域为 ； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若在区间上单调递增，则有，解之即可得解. 【详解】解：当时， 若，则， 若，则， 所以当时的值域为； 由函数（）， 可得函数在上递增，在上递增， 因为在区间上单调递增， 所以，解得， 所以若在区间上单调递增，则的取值范围是. 故答案为：；. 12．（23-24高一上·北京西城·期中）小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以（单位：吨，）表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.（单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润. (1)分别求当时，的值；当时，的值； (2)将表示为的函数； (3)求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围. 【答案】(1)当时，元；当时，元； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设得到解析式，将、代入求值； （2）根据（1）所得解析式即得； （3）讨论不同区间，令求市场需求量的范围. 【详解】（1）由题意，即， 当时，元； 当时，元. （2）由（1）知：. （3）当，令，可得，则； 当，恒成立，则； 综上，. 13．（23-24高一上·北京·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元. 【分析】（1）根据的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. 【详解】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元， 且， 当时，， 当时， 所以利润万元关于年产量台的函数解析式. （2）当时，最大，最大值为1500； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立， 综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元. 函数综合问题 1．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，. (1)证明：当时，是奇函数； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义分析证明； （2）对整理得，结合分段函数单调性分析求解； （3）根据题意分析可得，内恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性以及基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，则，可知的定义域为， 可得， 因此是上的奇函数. （2）由题意可得：，且连续不断， 若函数在上单调递增，则，解得， 所以a的取值范围是. （3）因为在内恒成立，即，， 整理得，内恒成立， 又因为在上单调递增，且，即在上最大值为， 且，当且仅当，即时，等号成立， 即在上最小值为， 可得，所以a的取值范围是. 2．（23-24高一上·北京西城·期中）设，其中． (1)当时，求函数的图象与直线交点的坐标； (2)若函数在上不具有单调性，求的取值范围： (3)当时，求函数的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）联立方程直接计算； （2）根据二次函数单调性可得参数范围; （3）分类讨论结合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，， 联立方程，解得：或， 即交点坐标为和. （2）函数在上单调递增，在上单调递减； 又函数在上不具有单调性， 所以，即. （3）函数在上单调递增，在上单调递减； 当时,在上单调递增，的最小值． 当时,在上单调递减，的最小值． 当时,在上单调递增，在上单调递减,的最小值． 当,的最小值． 当,的最小值． 当,的最小值． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式； （2）用定义证明函数的单调性； （3）利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）由题意，得， ∴（经检验符合题意），故． （2）证明　任取，且， 则． ∵，∴，，． 又，∴．∴，即， ∴在上是增函数． （3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数， ，∴，∴， 解得．∴不等式的解集为． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若对任意，都有，则的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知； （2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围； （3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得，且不恒为， 所以，所以， 所以； （2）因为的对称轴为，又在区间上不单调， 所以，所以， 所以的取值范围为； （3）的对称轴为， 当时，即时，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，所以， 综上可知，. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数最小值为，且是其一个零点，都有． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值； (3)是否存在实数满足：对，都有恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求的解析式； （2）由函数的单调性，分和两种情况进行讨论； （3）因对恒成立，故可转化成对，恒成立，借助（2）的结论解不等式即可. 【详解】（1）因为对都有， 所以关于直线对称， 又因为二次函数的最小值为， 所以可设二次函数的解析式为， 又因为是其一个零点， 所以，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 当时，， . （3）因为对，都有恒成立， 由（2）可知，对，恒成立， 即或， 解得， 故存在实数符合题意，实数的取值范围. 6．（23-24高一上·北京西城·期中）函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个正数零点，， （i）求的取值范围； （ii）求的最小值以及取到最小值时的值. 【答案】(1)；(2)（i），（ii）时的最小值为4. 【分析】（1）根据二次函数性质求在已知区间上的最值，即可得值域； （2）（i）由二次函数根的分布列不等式组求参数范围；（ii）应用根与系数关系得，结合基本不等式求最小值，进而确定的值，结合即可得的值. 【详解】（1）由题设，故最小值为， 又开口向上且对称轴为，则上最大值， 综上，函数在区间上的值域为. （2）由函数有两个正数零点，， （i）所以，则. （ii），则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为4， 此时. 7．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是上的奇函数，当时，.现已作出函数在y轴右侧的图象，如图所示. (1)请根据条件，将函数的图象补充完整，并直接写出函数的表达式； (2)写出函数的单调区间，并利用单调性的定义证明函数在上单调递减； (3)直接写出不等式的解集. 【答案】(1)作图见解析， (2)单调增区间是，，单调减区间是，，证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的对称性，直接作出函数的图像，得出其解析式. （2）根据图像得出单调区间，由定义法证明函数的单调性的步骤证明即可. （3）利用函数图像，分和两种情况讨论可得答案. 【详解】（1）由奇函数的图像关于原点成中心对称，则图像如图， 当时， 当时，，由 所以. （2）单调增区间是，，单调减区间是，， 证：，，不妨设， ， 因为，， 所以，，即， 因此，在上单调递减. （3）当时，由，则，即，解得 当时，，由，则， 即当时，，此时无解， 当时，，解得或； 解集为 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)求； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)证明是奇函数. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数解析式，代入求函数值； （2）定义法判断并证明函数的单调性； （3）定义法证明函数的奇偶性. 【详解】（1），则； （2）函数在区间上是减函数，证明如下， 证明：任取，且， 则. 因为，所以， 因为，所以，，，，， 所以，所以. 所以函数在区间上是减函数. （3）证明：函数的定义域为，关于原点对称. 对于任意，因为， 所以是奇函数. 9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，有. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)单调递减，证明见解析；(3). 【分析】（1）利用偶函数的定义求出函数解析式即得. （2）变形函数式并判断单调性，再利用单调性定义推理即得. （3）利用（2）的结论结合偶函数性质确定在上单调性并脱去法则，再利用恒成立的不等式求解即得. 【详解】（1）函数是上的偶函数，当时，， 当时，，因此， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，当时，，函数在上的单调递减， ，， 由，得，，则，即， 所以函数在上的单调递减. （3）由（2）知，函数在上的单调递减，而是上的偶函数， 则函数在上的单调递增，不等式， 于是，依题意，关于的不等式在上恒成立， 当时，恒有，因此，解得， 所以的取值范围是. 10．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）求出即可得出结果； （2）由已知，令，，可得，即可求出最小值； （3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值． 【详解】（1）因为，所以定点坐标为. （2）当时，. 令，. 则，当，即时，函数有最小值. （3）令，则. ①当时，可知在上单调递减，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或. 因为，所以两个数值均不满足； ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或（舍去），所以. 综上所述，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$