专题16.1 期中押题重难点检测卷（考试范围：第11～13章）-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

期中押题重难点检测卷（考试范围：第11~13章） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·重庆·期末）下列各线段能构成三角形的是（    ） A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cm C．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm 2．（3分）（23-24八年级·北京·期中）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（    ）．    A． B． C． D． 3．（3分）（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，与交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（3分）（23-24八年级·河南周口·期中）如图，中，点D、E在边上，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（3分）（23-24八年级·浙江·期中）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为8，的面积为4，则四边形的面积为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 8．（3分）（23-24八年级·河南周口·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 10．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿DE翻折，使点的对应点恰好落在角平分线CH上，连接并延长交BC于点，若，则点到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·山西大同·期末）如图，是等腰三角形，，，点D是底边边上的任意一点，于点E，于点F．则 cm．    12．（3分）（23-24八年级·福建南平·期中）在中，，是中线，若周长与的周长相差，则 ． 13．（3分）（23-24八年级·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 14．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 15．（3分）（23-24八年级·湖北荆门·期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ． 16．（3分）（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 18．（8分）（23-24八年级·山东日照·阶段练习）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有几条边？内角和是多少？ 19．（8分）（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．    (1)若，求的度数． (2)若是上的一点，且，求证：． 20．（8分）（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在直线上求作一点P，使最小． 21．（8分）（23-24八年级·全国·期中）如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．    (1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； (2)当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)当时，判断与的位置关系． 22．（10分）（23-24八年级·全国·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 23．（10分）（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 24．（12分）（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（考试范围：第11~13章） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·重庆·期末）下列各线段能构成三角形的是（    ） A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cm C．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可 【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意； B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意； C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意； D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意 故选：C 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形． 2．（3分）（23-24八年级·北京·期中）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角形内角和为， 可求边长为的边所对的角为， 由全等三角形对应角相等可知， 故选C. 3．（3分）（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，与交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键．根据，，可求得和的度数，根据图形折叠的性质，可求得和的度数，根据即可求得答案． 【详解】∵，， ∴，，． ∵和是分别沿着边翻折180°形成的， ∴，． ∴，． ∴． 故选：D． 4．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ 又， ∴， 故选：C． 5．（3分）（23-24八年级·河南周口·期中）如图，中，点D、E在边上，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，设，根据等边对等角得到，则由三角形外角的性质得到，进而推出，，由此得到，进而根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（3分）（23-24八年级·浙江·期中）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质及多边形内角和求解即可，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ， 即， 同理，，， ， ， ，， ， 故选：A． 7．（3分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为8，的面积为4，则四边形的面积为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，三角形的面积，关键是由三角形的重心推出，，得到．由三角形重心的性质推出，，得到，，因此，而的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】解：的两条中线，相交于点， ，， ，， ， 是的中线， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 故选：C 8．（3分）（23-24八年级·河南周口·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，，由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由平行线的性质可得，从而求出，再由等边三角形的判定和性质可得，求出，再利用三角形外角的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵， ，即， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、平行线的性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 9．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于H，    ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 10．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿DE翻折，使点的对应点恰好落在角平分线CH上，连接并延长交BC于点，若，则点到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；过作交于，过作交于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解； 掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交于，过作交于，连接，在上截取， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 和是等腰三角形， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 是等腰三角形， ， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·山西大同·期末）如图，是等腰三角形，，，点D是底边边上的任意一点，于点E，于点F．则 cm．    【答案】4 【分析】根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：连接，如图所示：   ， 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键． 12．（3分）（23-24八年级·福建南平·期中）在中，，是中线，若周长与的周长相差，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由中线可得，则周长为；的周长为；由题意知，分①；②；两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 周长与的周长相差，分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 13．（3分）（23-24八年级·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 14．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长，，过点作，，，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】 解：分别延长，，过点作，，， ，， ， ， ，， 又平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（3分）（23-24八年级·湖北荆门·期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 16．（3分）（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4) 【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可； （2）连接C点与的中点即可； （3）取格点，满足，连接交的延长线于即可； （4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，取格点，满足，连接交的延长线于， 则线段即为所求； （4）解：， ∴． 即线段扫过的面积为16． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键． 18．（8分）（23-24八年级·山东日照·阶段练习）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有几条边？内角和是多少？ 【答案】(1)，； (2)当新多边形有条边时内角和为，条边时内角和为，条边时内角和为 【分析】（1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加，相应内角和就增加度，由此即可求出答案， 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ∴内角和， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， 内角和， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和， 综上所述：当新多边形有条边时内角和为，条边时内角和为，条边时内角和为 【点睛】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． 19．（8分）（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．    (1)若，求的度数． (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了平行线及角平分线的性质和图形的全等，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． （1）由可求的大小，因是其角平分线，即，由，可得 （2）可得，进而得出，又有可推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 20．（8分）（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在直线上求作一点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可． （2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可． （3）先找出点关于直线的对称点，连接与直线相交于点，即的最小值就是线段的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． （3）解：如图，点P即为所求． ，故最小为． 21．（8分）（23-24八年级·全国·期中）如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．    (1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； (2)当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)当时，判断与的位置关系． 【答案】(1)４； (2)，理由见解析； (3)与互相垂直． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可； ()根据，运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【详解】（1）解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； （2）如图，若是等边三角形，此时点在上，    点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形； （3）与互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取的中点，    ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与互相垂直． 22．（10分）（23-24八年级·全国·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由 可得； （3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴． （2）证明：∵ ∴ ∵ 又， ， ∴， ∴ （3）解：结论：② 理由：作于于J． ∵ ∴ ∴ •， ∴， ∵作于K，于J， ∴ 不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误． 故答案为：②． 23．（10分）（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析；②为最小值时，与的数量关系是 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 24．（12分）（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$