精品解析：山东省滨州市邹平市孙镇初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

九年级上学期第一次学业水平测试数学试题 一、选择题（3分×8=24分） 1. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴△=＜0， 解得：， 故选项中只有A选项满足， 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 2. 已知是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数定义：形如的函数叫二次函数，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式理解即可得到答案． 【详解】解：是二次函数， ，解得， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式去理解概念是解决问题的关键． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 4. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）． A. B. 5 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得：x (7-x)=6． 【详解】设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得： x (7-x)=6， 解得x=3或4，故该直角三角形两个直角边分别为3和4， 利用勾股定理可得斜边长为：， 故斜边为5． 【点睛】本题利用三角形面积公式和勾股定理考察了一元二次方程的应用． 6. 一个小组有若干人，每年互送贺年卡片一张，已知全组共送贺年卡56张，则这个小组有（ ）． A. 16人 B. 10人 C. 9人 D. 8人 【答案】D 【解析】 【分析】设这个小组有x个人，则每个人送出张，然后建立方程求解． 【详解】设这个小组有x个人，由题意得： 解得（舍去）， 即这个小组有8人， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据每个人送出张建立方程是解题的关键． 7. 若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1）， 整理得：x2=3， 两边直接开平方得：x=±， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程． 8. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键． 根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可． 【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意； C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（3分×8=24分） 9. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，当时，可解得，原方程有实数根，符合题意；当时，原方程为一元二次方程，则，据此求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，解得，原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程，则， ∴， ∴， ∴且； 综上所述，． 故答案为：． 10. 若函数是关于x二次函数，则满足条件的m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 有2人患了某传染病，经过两轮传染后共有288人患了该传染病，那么每轮传染中平均一人传染的人数为______． 【答案】11人 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立方程并求解是解题关键．设平均每轮传染x人，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每轮传染x个人， 则第一轮传染之后共有个人患病， 第二轮传染之后共有个人患病， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴平均每轮传染11个人， 故答案为：11人． 13. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求． 【详解】解：∵x2-8x+12=0， ∴， ∴x1=2，x2=6， ∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意， ∴三角形的第三边长是6， ∴该三角形的周长为：2+5+6=13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 14. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 15. 请写出一个函数表达式，使其图像是开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线：______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一．根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足，，即可． 【详解】解：开口向上，顶点在第三象限，与轴交于负半轴的抛物线可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 二次函数的函数值y的取值范围是 ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的顶点，再根据自变量的取值范围，计算即可解答，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时有最大值是2； 当时，， 当时，， ∴当时，函数值y取值范围为； 故答案为：． 三、解答题 17. 用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 已知关于的方程 ①求证：方程有两个不相等的实数根． ②若方程的一个根是求另一个根及的值． 【答案】①详见解析；②，k=1 【解析】 【分析】①求出，即可证出结论； ②设另一根为x1，根据根与系数的关系即可求出结论． 【详解】①解：=k2+8＞0 ∴方程有两个不相等实数根 ②设另一根为x1，由根与系数的关系： ∴，k=1 【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系，掌握与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键． 19. 已知是关于x的二次函数． （1）求满足条件的k的值； （2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点； （3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1） （2），抛物线有最低点， （3），抛物线有最大值，其最大值为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题； （2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，据此解答便可； （3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答便可． 本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义列出的不等式组． 【小问1详解】 解：∵是关于x的二次函数 ∴， 解得． 当时，原函数二次函数． 【小问2详解】 解：根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上， ， 即， 根据第（1）问得， ∴． 该抛物线的解析式为， 抛物线的最低点为， 故当时，抛物线有最低点，其最低点坐标为， 【小问3详解】 解：根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下， ， 即， 根据第（1）问得， ∴． 该抛物线的解析式为， 其函数最大值为， 故当时，抛物线有最大值，其最大值为． 20. 对于实数、，定义运算“※”：，如果，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分当时，当时，两种情况建立方程求解即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 当时， ∵， ， 解得 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，解一元一次方程，正确理解新定义建立方程求解是解题的关键． 21. 某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？ 【答案】每件商品的售价定为16元最为合适． 【解析】 【分析】设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件，利用每天销售这种商品的利润=每件的销售利润×日销售量（日进货量），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润”，即可得出每件商品的售价定为16元最为合适．． 【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件， 依题意得：（x-8）（400-20x）=640， 整理得：x2-28x+192=0， 解得：x1=12，x2=16． 又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润， ∴x=16． 答：每件商品的售价定为16元最为合适． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃． （1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为______m； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 【答案】（1）30－3x；（2）7 【解析】 【分析】（1）由AB的长为xm，结合长为30m的篱笆即可表示出BC的长为：（30﹣3x）m； （2）根据AB及BC的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x的值，即是所求AB的长． 【详解】解：（1）由题意得：BC＝30﹣3x， 故答案为：30﹣3x； （2）由题意得：﹣3x2+30x＝63． 解此方程得x1＝7，x2＝3． 当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意； 当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去； 故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 23. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． 【小问2详解】 一次函数解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 24. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期第一次学业水平测试数学试题 一、选择题（3分×8=24分） 1. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 2. 已知是二次函数，则值为（ ） A 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）． A. B. 5 C. D. 7 6. 一个小组有若干人，每年互送贺年卡片一张，已知全组共送贺年卡56张，则这个小组有（ ）． A. 16人 B. 10人 C. 9人 D. 8人 7. 若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3分×8=24分） 9. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 10. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 11. 若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 12. 有2人患了某传染病，经过两轮传染后共有288人患了该传染病，那么每轮传染中平均一人传染的人数为______． 13. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______． 14. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 15. 请写出一个函数表达式，使其图像是开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线：______． 16. 二次函数的函数值y的取值范围是 ____________． 三、解答题 17. 用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18. 已知关于的方程 ①求证：方程有两个不相等的实数根． ②若方程的一个根是求另一个根及的值． 19. 已知是关于x的二次函数． （1）求满足条件的k的值； （2）k何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点； （3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 20. 对于实数、，定义运算“※”：，如果，求的值． 21. 某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？ 22. 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃． （1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为______m； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 23. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 24. 如图，点C为二次函数顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$