专题2.8 直线和圆的方程（能力提升卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.8 直线和圆的方程（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线垂直得到直线l的斜率，结合圆心坐标，利用点斜式写成直线方程，化为一般式，得到答案. 【详解】由直线l与直线m垂直，设直线l，m的斜率分别为，，则， 即， 解得． 易得圆C的圆心为，故直线l的方程为， 整理可得直线l的方程为． 故选：C． 2．（23-24高二上·吉林·期中）已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径的和与差作比较即可. 【详解】由题可知，两圆的圆心距为, 因为， 所以两圆相交. 故选:C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用弦长与半径、弦心距的几何关系，求弦长即可. 【详解】可化为，则圆心坐标为，半径． 点到直线l的距离， ∴半弦长为，故截得的弦长为． 故选：C 4．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围. 【详解】如下图示， 当直线过A时，， 当直线过B时，， 由图知：或. 故选：B 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知点和关于直线对称，所以先求出圆心，然后利用对称关系可求出的坐标，从而可求出圆的方程 【详解】圆的圆心，半径为1， 设，则由题意得 ，解得即， 所以圆的方程为， 故选：A 6．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线，下面四个命题： ①直线的倾斜角为； ②若直线，则； ③点到直线的距离为2； ④过点，并且与直线平行的直线方程为 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．③ 【答案】C 【分析】求解直线的倾斜角判断①；利用两直线的倾斜角判断②；利用点到直线的距离判断③；求解直线方程判断④． 【详解】解：直线的斜率为，倾斜角为，∴①不正确； 直线的斜率为，倾斜角为，与直线不垂直，∴②不正确； 点到直线的距离为，∴③正确； 过点，与直线平行的直线方程为，即，∴④正确 故选：C 7．（23-24高一下·北京朝阳·期末）已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是 ① 圆心在直线上； ② 的取值范围是； ③ 圆半径的最小值为； ④ 存在定点，使得圆恒过点. A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为对称轴为线段的中垂线， 所以圆心在直线上，故①正确； 因为二次函数与轴有两点不同交点， 所以，即，故②错误； 不妨设在的左边，则， 设圆方程为 ，则 ，解得， ， 因为，所以即，故③错误； 由上得圆方程为， 即，恒过点，故④正确. 故选D. 【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解. 8．（23-24高二下·广东汕头·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是　　 A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】动直线，令，解得，因此此直线过定点．动直线，即，令，，可得此直线过定点．分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得．时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直．设，，当且仅当时，的面积取得最大值．即可得出． 【详解】解：动直线，令，解得，因此此直线过定点． 动直线，即，令，，解得，，因此此直线过定点． 时，两条直线分别为，，交点，． 时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直． 设， 又 当且仅当时等号成立 ． 综上可得：的面积最大值是． 故选：． 【点睛】本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为 【答案】AB 【分析】利用求定点的方法即可判断A选项；判断两个圆的位置关系即可判断B选项；两圆方程联立作差可判断C选项；利用切线长可判断D选项. 【详解】令，则，解得， 所以直线过定点，所以A正确； 圆的圆心为半径， 圆的圆心为半径， 圆心距,所以， 所以圆与圆外切，则有3条公切线， 所以B正确； 两圆方程联立 ， 作差整理得，所以C错误； 设圆心到直线的距离为，半径, 则，所以， 根据切线长， 当取最小值时，有最小值， 所以, 所以D错误. 故选:AB. 10．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴交于点.则（    ） A．过点与圆相切的直线的方程为 B．过点与圆有交点的直线的斜率范围是 C．若过点的直线与圆交于不同的两点，则线段中点的纵坐标的最小值为 D．若过点P的直线与圆O交于不同的两点，设直线，的斜率分别是，，则为定值 【答案】BCD 【分析】对于A，过点直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况.其中存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线斜率即可；对于B，当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离小于等于半径，解出斜率取值范围即可；对于C，设出弦中点M坐标，满足，代入求得M点的轨迹方程，从而求得纵坐标最小值；对于D，联立直线与圆的方程，得到韦达定理，代入化简，验证是否是定值-1即可. 【详解】对于A：圆O：的圆心为，半径为2， 若过点直线垂直于x轴，则方程为，与圆相切，符合题意； 若过点直线不垂直于x轴，设直线的斜率与k， 则直线方程为，即，因为直线与圆O：相切， 所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为； 综上得：切线的方程为和；故A错误； 对于B，由A选项的分析知，当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得，故B正确； 对于C，设点，因为M为弦中点，所以， 又因为，， 所以由得，化简得. 联立得或； 又因为点M在圆O：内部， 所以点M的轨迹是圆中以点和为端点的一段劣弧（不包括端点）， 由即，令得， 根据点在O：内部， 所以点M纵坐标的最小值是，故C正确； 对于D，由题意，点， 联立得， 设，，则， 所以 . 所以是定值，定值为-1，故D正确. 故选：BCD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知m为实数，直线，，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】由题设条件求出的实数m的取值集合，再讨论它与集合的关系即可得解. 【详解】依题意，时，，从而有，解得或， 即命题的m取值集合为，而命题的m取值集合是，且有， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 13．（24-25高二上·江苏淮安·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上有且只有1个点P满足，则实数b的值是 . 【答案】 【分析】先用直接法求得点P的轨迹方程，再根据题意转化为直线与圆相切，利用点到直线的距离建立方程求解即可. 【详解】设，由，得， 整理得，即，即点P的轨迹为圆，圆心为，半径为，    因为直线上有且只有1个点P满足，即直线与圆C相切， 所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直角△中，直角顶点A在直线上，顶点在圆上，则点A横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，画出以原点为圆心，以为半径的圆，结合图形分析推理，点A在这个圆截直线x-y+4=0所得弦上时，满足要求，列出不等式求解即得． 【详解】如图所示，显然直线x-y+4=0与圆相交， 当点A为直线上的定点且在圆外，直线与圆相切时，∠BAC最大， 点A是直线被圆所截弦上的点(除弦的端点外)时，点A对圆上两点所张角在， 点A在直线上从弦端点开始远离圆方向运动时，∠BAC逐渐变小，点A移动到某位置使得直线AB，AC为圆的切线，∠BAC就为直角，再沿着此方向移动，∠BAC将小于直角，则为点A的边界位置， 当点A在处时，为正方形，则， 则点A是以为圆心，为半径的圆截直线x-y+4=0所得弦上的点时符合要求，即直线上的点A在该圆及内部， ，令A(x,x+4)，则， 点A横坐标的取值范围是． 故答案为： 【点睛】(1)直线上的动点与圆的关系类问题，利用数形结合的思想，分析图形的几何特征是解题的关键； (2)圆相外的定点向圆引的两条切线夹角是该点对圆上两点所张的角中最大的. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·河北唐山·期中）中，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1)求出边的斜率，即可得到高线的斜率，用点斜式即可求得方程. (2)设圆的方程为一般式，代入点的坐标即可求出方程. 【详解】（1）直线的斜率 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为， 则 解得 所以的外接圆的方程为． 16．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】试题分析：（1）根据AC和BH的垂直关系可得到直线的方程为，再代入点A的坐标可得到直线的方程为，联立CM直线可得到C点坐标；（2）设，则，将两个点分别带入BH和CM即可求出，结合第一问得到BC的方程． 解析： （1）因为，的方程为，不妨设直线的方程为， 将代入得，解得， 所以直线的方程为， 联立直线的方程，即， 解得点的坐标为. （2）设，则， 因为点在上，点在上， 所以，解得， 所以, 所以直线的方程为， 整理得. 17．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知圆O：与圆C：相外切． (1)求m的值； (2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可. (2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解. 【详解】（1）圆O的圆心为O(0，0)，半径 由圆C：得，． 所以圆C的圆心C(3，4)，半径 因为两圆相外切，所以，,即，解得 （2）由（1）得圆C： ①当直线l的斜率不存在时，设l的方程为 依题意，解得，即l的方程为 ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 依题意，所以 当时，，代入上式可得， 解得，即 所以此时l的方程为 当时，代入上式可得， 解得即 所以此时l的方程为 故满足题设的l的方程为或或． 18．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知圆：，直线过点. （1）若与圆相切，求的斜率； （2）当的倾斜角为时，与轴交于点，与圆在第一象限交于点，设，求实数的值. 【答案】（1）为0或（2） 【分析】（1）设直线，若与圆相切，求出斜率； （2）当的倾斜角为时，设直线，由联立解方程求出，，所以． 【详解】解：（1）直线过点且与圆相切， 若斜率不存在则直线方程为，圆心到直线的距离为，不成立。 故斜率存在， 设斜率为，则直线方程为：与圆相切，所以圆心到直线的距离， ， 解得或 所以斜率为0或 （2）当的倾斜角为时，：，令，得，所以 过点作的垂线交于点，则， ， 又 所以 【点睛】考查圆的切线方程，向量与圆和直线问题，两点间的距离公式，中档题． 19．（23-24高二上·重庆北碚·期中）过圆上一点作圆的切线，切线与轴交于点，过点的直线与圆交于不同的两点、，、分别交直线交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出切线的方程，然后在切线方程中令可求得点的坐标； （2）分直线与轴是否重合进行分类讨论，在直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，可求得的值；在直线与轴重合时，求出点、的坐标，即可求得的值.综合可得出结论. 【详解】（1）解：因为点在圆上，则， 故圆的方程为， 直线的斜率为，所以，直线的方程为，即， 在直线的方程中，令，可得，故点的坐标为； （2）解：设点、， ①当直线不与轴重合时，设直线的方程为， 联立，可得， ，得， 由韦达定理可得，，故， 直线的斜率为，故直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 同理可得点， 所以，； ②当直线与轴重合时，不妨设点、， 直线的斜率为，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，此时. 综上所述，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 直线和圆的方程（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林·期中）已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 3．（24-25高一下·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线，下面四个命题： ①直线的倾斜角为； ②若直线，则； ③点到直线的距离为2； ④过点，并且与直线平行的直线方程为 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．③ 7．（23-24高一下·北京朝阳·期末）已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是 ① 圆心在直线上； ② 的取值范围是； ③ 圆半径的最小值为； ④ 存在定点，使得圆恒过点. A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④ 8．（23-24高二下·广东汕头·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是　　 A． B．5 C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为 10．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 11．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴交于点.则（    ） A．过点与圆相切的直线的方程为 B．过点与圆有交点的直线的斜率范围是 C．若过点的直线与圆交于不同的两点，则线段中点的纵坐标的最小值为 D．若过点P的直线与圆O交于不同的两点，设直线，的斜率分别是，，则为定值 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知m为实数，直线，，则“”是“”的 条件． 13．（24-25高二上·江苏淮安·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上有且只有1个点P满足，则实数b的值是 . 14．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直角△中，直角顶点A在直线上，顶点在圆上，则点A横坐标的取值范围是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·河北唐山·期中）中，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 16．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求所在直线的方程. 17．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知圆O：与圆C：相外切． (1)求m的值； (2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程． 18．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知圆：，直线过点. （1）若与圆相切，求的斜率； （2）当的倾斜角为时，与轴交于点，与圆在第一象限交于点，设，求实数的值. 19．（23-24高二上·重庆北碚·期中）过圆上一点作圆的切线，切线与轴交于点，过点的直线与圆交于不同的两点、，、分别交直线交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$