专题3.2 函数的单调性与奇偶性（6类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.2 函数的单调性与奇偶性 【考点1：判断函数的单调性或求单调区间】 1 【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】 4 【考点3：利用函数的单调性求最值】 5 【考点4：判断或证明函数的奇偶性】 7 【考点5：函数奇偶性的应用】 10 【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】 11 【考点1：判断函数的单调性或求单调区间】 【知识点：函数的单调性及单调区间】 1、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．复合函数单调性的规律 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”． 3．函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明函数在区间上单调递减． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）分别作出下列函数的大致图象，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 8．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 9．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】 【知识点：已知函数的单调性求参或求自变量】 1．（2024高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 8．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点3：利用函数的单调性求最值】 【知识点：利用函数的单调性求最值】 1．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2.函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值是8 B．函数的最小值是8 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 3．（24-25高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的最小值为 ． 4．（2024高一上·江苏淮安·学业考试）函数在区间上的最小值为，最大值为，则 5．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，求函数的最小值． 8．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【考点4：判断或证明函数的奇偶性】 【知识点：判断或证明函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 2.判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 3.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 2．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 4．（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2024年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试数学试题）已知函数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【考点5：函数奇偶性的应用】 【知识点：函数奇偶性的应用】 利用奇偶性解题的类型及方法： (1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．　 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 2．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 3．（湖南省多校2025届高三上学期9月联考数学试题）已知是定义在上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】 【知识点：函数单调性与奇偶性的综合应用】 函数奇偶性与单调性综合的两种题型及解法： 比较大 小问题 一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小 抽象不等 式问题 其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 5．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 7．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）设是上的奇函数，且对任意的实数a，b，当时，都有. (1)若，试比较，的大小； (2)对于任意的实数，不等式恒成立，求实数c的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的单调性与奇偶性 【考点1：判断函数的单调性或求单调区间】 1 【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】 7 【考点3：利用函数的单调性求最值】 11 【考点4：判断或证明函数的奇偶性】 16 【考点5：函数奇偶性的应用】 21 【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】 26 【考点1：判断函数的单调性或求单调区间】 【知识点：函数的单调性及单调区间】 1、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．复合函数单调性的规律 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”． 3．函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间. 【详解】. 画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为. 故选：B. 4．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 5．（多选）（24-25高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 【答案】AB 【分析】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可. 【详解】， 化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设， 由得， 即， 设， 由得， 即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误. 故选：. 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【分析】根据单调性的定义，即可作差求证. 【详解】证明:，且， ． 因为， 所以，，，， 所以， 即． 所以函数在上单调递减． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）分别作出下列函数的大致图象，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间. 【详解】（1）令，解得：或， 令，解得：， ，图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. （2），图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. 8．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 9．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 【答案】(1)0 (2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）令，代入可求； （2）设，由，得，可证在上是增函数． 【详解】（1）． （2）在上是增函数． 证明：设，则由， 得， 因为，所以． 所以，即， 即在上是增函数． 【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】 【知识点：已知函数的单调性求参或求自变量】 1．（2024高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据二次函数图象对称轴与区间端点的位置关系求解即可. 【详解】依题意，函数的对称轴为， 又在区间上是单调函数，故或，解得或. 故答案为： 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的图像性质即可求解. 【详解】形如的图像如图所示： 所以在 即时取得最小值 因为在严格减函数， 所以时符合题意，即． 故答案为： 4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出，结合是的真子集，确定答案. 【详解】开口向下，对称轴为， 要想在上单调递增，则， 解得， 由于是的真子集， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 5．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 7．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 8．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 【考点3：利用函数的单调性求最值】 【知识点：利用函数的单调性求最值】 1．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2.函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值是8 B．函数的最小值是8 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值判断BD；由对勾函数的单调性可知无最大值判断AC. 【详解】函数，又， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为8，故B正确，D错误； 由，知时，，所以， 故无最大值，故AC错误. 故选：B. 3．（24-25高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先求含根式函数的定义域可得，由于当时，与都单调递增，所以可得为上的增函数，则最小值可求. 【详解】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 4．（2024高一上·江苏淮安·学业考试）函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【详解】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 5．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）由二次函数的性质作出图象即可； （2）由二次函数的性质得到分段函数的单调区间即可； （3）由分段函数的单调性和图象可得； 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为2，最小值为 【分析】作出图象，数形结合即可求解． 【详解】作出函数的图象如图所示． 由图象可知，当时，取最大值为2； 当时，取最小值为. 所以的最大值为2，最小值为. 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，求函数的最小值． 【答案】 【分析】分别在，，条件下研究函数在区间上的单调性，结合单调性求其最小值. 【详解】，．    当时，函数的图象如图1中实线所示， 函数在区间单调递减，最小值为； 当时，函数的图象如图2中实线所示， 函数在区间上单调递减，在区间单调递增，最小值为； 当时，函数的图象如图3中实线所示，函数在区间上单调递增，最小值为． 综上所述， 8．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 【考点4：判断或证明函数的奇偶性】 【知识点：判断或证明函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 2.判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 3.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 2．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为， 所以， 令，定义域为， 且， 所以为奇函数，故C正确； 又，为非奇非偶函数，故A错误； ，为非奇非偶函数，故B错误； ，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据奇偶函数的定义进行判定即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数， A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，， 所以函数是偶函数，B选项错误. C选项，， 所以函数是奇函数，C选项正确. D选项，， 所以函数是非奇非偶函数，D选项错误. 故选：C 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】先判断的奇偶性和单调性，从而可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】当时，，因，故在上为增函数， 而，故为上的奇函数， 故为上增函数. 因为，所以，故， 故，， 当且仅当，所以的最小值为1， 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)是奇函数 (2)是偶函数 【分析】根据函数奇偶性定义证明判定即可. 【详解】（1）的定义域为， ∵， ∴是奇函数. （2）的定义域为R． ∵， ∴是偶函数. 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 8．（2024年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试数学试题）已知函数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)3 (2)奇函数，理由见解析 【分析】(1)代入求解即可. (2)先分析定义域,再求解再分析与的关系判定即可. 【详解】（1）由解析式知； （2）函数为奇函数，理由如下： 定义域为， 且， 所以为奇函数. 【考点5：函数奇偶性的应用】 【知识点：函数奇偶性的应用】 利用奇偶性解题的类型及方法： (1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．　 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.即可求解 【详解】设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，. 又， 所以 故答案为： . 2．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】当时，可得，根据偶函数的性质可知，当时，由可得，进而可得. 【详解】当时，得， 又函数是定义在上的偶函数， 故当时，由可得， 综上的解集为， 故答案为： 3．（湖南省多校2025届高三上学期9月联考数学试题）已知是定义在上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数的性质，进而求出. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 即，令，则，而， 所以. 故选：C 4．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可. 【详解】由函数的图象经过点，得， 则， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 所以在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 6．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 7．（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得在是减函数，再通过讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 故选：BC. 8．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，可得，可知函数为奇函数，由奇函数性质分析可知在定义域内单调递减，根据函数单调性和奇偶性分析求解. 【详解】因为，且， 令，可得， 则，即， 可知函数为定义在上的奇函数， 且在上单调递减，可知在上单调递减， 所以在定义域内单调递减， 又因为，即， 由奇函数性质可得：， 由单调性可得，所以满足的的取值范围为. 故答案为：. 【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】 【知识点：函数单调性与奇偶性的综合应用】 函数奇偶性与单调性综合的两种题型及解法： 比较大 小问题 一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小 抽象不等 式问题 其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为上的减函数， 则该函数在为增函数. 若函数在为增函数， 则等价于. 两边平方整理得，解得. 故答案为：. 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到，解出即可. 【详解】由可得且，则为偶函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 则在单调递减，在单调递增， ，解得或. 故选：D. 3．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解. 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 4．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质求解解析式即可； （2）判断出为增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 5．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)，． (2)在上为减函数,证明见解析. (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式. （2）根据单调性的定义可得在上为增函数； （3）根据（2）中的单调性可求不等式的解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：， ∴，而，解得， ∴，． （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意，且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数． （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得,所以该不等式的解集为． 7．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）令,得到与的关系,可判断函数奇偶性. （2）先判断函数单调性.再利用函数奇偶性和单调性解不等式,再把恒成立问题转化为求最值问题.即可求解. 【详解】（1）令可得：       （2）先证明：在R上为减函数 证明：设任意，且，则 又当时，， 即在R上为减函数. ， 可得恒成立 当时，2>0恒成立 当时，，综上实数的取值范围是 8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）设是上的奇函数，且对任意的实数a，b，当时，都有. (1)若，试比较，的大小； (2)对于任意的实数，不等式恒成立，求实数c的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可比较大小； （2）利用奇函数的性质和增函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以， 因为，所以，所以，即. （2）因为函数是上的奇函数，所以对于任意的实数恒成立等价于对于任意的实数恒成立， 由（1）知：在上是增函数， 所以，即，由于对任意的实数恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$