专题03 有关直线四大考点（重要题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 有关直线四大考点（重要题型） 题型一：直线与线段相交关系求斜率范围 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 典型例题1．在线段上运动，已知，则的取值范围是_______. 破解：表示线段上的点与连线的斜率， 因为 所以由图可知的取值范围是． 故答案为： 典型例题2．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________. 破解：由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围， 如图，，则，，故的取值范围是. 故答案为： 1．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 3．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A．B． C． D．    4．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．  7．设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 9．经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或B． C． D．或 题型二：五大类直线所有考点 一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 主要事项： 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 主要事项： 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 主要事项： 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 主要事项： 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 主要事项： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 典型例题1．已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 __． 破解：直线的倾斜角，所以直线的斜率为 又因为直线过点， 所以直线的方程为， ． 故答案为：． 典型例题2．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ） A．1 B． C．或1 D．2或1 破解：当时，直线，此时不符合题意，应舍去； 当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意； 当且，由直线可得：横截距为，纵截距为. 由，解得：. 故的值是2或1.故选：D 1．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 2．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线互相垂直，则m为（    ） A． B．1 C． D．2 4．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若直线与互相垂直，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 8．若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 9．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型三：过两条直线交点的直线系方程结论 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 典型例题1．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ） A． B． C． D． 破解：依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为，故选：B 典型例题2．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程． 破解：设直线方程为， 化简得， 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为， 或，解得或． 代入并化简得直线的方程为或． 所以所求的直线方程为或． 1．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（    ） A．B． C． D． 3．动直线与圆交于点A,B,则弦最短为（    ）. A．3 B．6 C． D． 4．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 5．若直线l：与曲线y＝－2＋有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（    ） A． B． C． D． 8．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为(　　) A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0 C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0 9．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 10．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：判断动直线所过定点技巧 技巧：第一步：将参数提取 第二步：令参数前的系数为0，求解定点 1．任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，,，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的倾斜角为 C．当时，直线l的斜率不存在 D．当时，直线l与直线不垂直 5．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 6．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 7．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 10．若点与的中点为，则直线必定经过点（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有关直线四大考点（重要题型） 题型一：直线与线段相交关系求斜率范围 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 典型例题1．在线段上运动，已知，则的取值范围是_______. 破解：表示线段上的点与连线的斜率， 因为 所以由图可知的取值范围是． 故答案为： 典型例题2．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________. 破解：由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围， 如图，，则，，故的取值范围是. 故答案为： 1．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 2．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 3．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 4．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 6．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      7．设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依题可得直线l过点，求出，结合图象观察即可. 【详解】如图所示：依题意直线l过点， ，， 要想直线l过点且与线段MN相交， 则或．    故选：A． 8．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由直线方程知直线过定点，求出的斜率，结合图象得直线的斜率满足的关系，从而得的范围． 【详解】直线过定点，，， 由于， 所以直线的斜率满足或，所以或， 故选：C． 9．经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围. 【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为， l过点的斜率， l过点的斜率，    故直线l的斜率k的取值范围为. 故选：C 10．已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，结合图象即可得解. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， ， 因为直线过点且与射线相交， 由图可知，所以直线的斜率或. 故选：D. 题型二：五大类直线所有考点 一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 主要事项： 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 主要事项： 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 主要事项： 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 主要事项： 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 主要事项： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 典型例题1．已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 __． 破解：直线的倾斜角，所以直线的斜率为 又因为直线过点， 所以直线的方程为， ． 故答案为：． 典型例题2．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ） A．1 B． C．或1 D．2或1 破解：当时，直线，此时不符合题意，应舍去； 当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意； 当且，由直线可得：横截距为，纵截距为. 由，解得：. 故的值是2或1.故选：D 1．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】易知动点的坐标，由已知直线化为点斜式可得动点B的坐标，由两条直线垂直公式可得两条动直线互相垂直，结合勾股定理和重要不等式可求得结果. 【详解】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 2．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 3．已知直线与直线互相垂直，则m为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案. 【详解】两直线垂直，则有，即，解得. 故选：C 4．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 5．若直线与互相垂直，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两直线互相垂直的条件，列方程求的值. 【详解】若直线与互相垂直， 则有，解得. 故选：A 6．直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据直线的一般是方程以及截距的定义求解. 【详解】令，则，解得； 令，则，解得； 直线l：在x轴和y轴上的截距分别是，， 故选：D. 7．若直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】直接根据直线一般式的垂直公式求解即可. 【详解】若直线与直线垂直, 则，解得. 故选：C. 8．若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据纵截距求解出的值，然后由直线方程求解出斜率. 【详解】因为的纵截距为，所以直线经过， 所以，所以， 所以斜率， 故选：D. 9．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 10．已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，然后按照题意进行平移，最后根据两直线方程相同列出等式计算即可. 【详解】由题意，设直线l的方程为， 则平移后直线方程为， 由于平移后与原直线重合，则， 解得，即直线l的斜率为. 故选：B. 题型三：过两条直线交点的直线系方程结论 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 典型例题1．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ） A． B． C． D． 破解：依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为，故选：B 典型例题2．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程． 破解：设直线方程为， 化简得， 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为， 或，解得或． 代入并化简得直线的方程为或． 所以所求的直线方程为或． 1．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 2．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案. 【详解】直线方程变形得：. 由得，∴直线恒过点， ，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或， 又， ∴或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， ∴的取值范围为. 故选：C.    【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 3．动直线与圆交于点A,B,则弦最短为（    ）. A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】动直线过定点，圆的圆心，半径， ，所以弦最短为，从而求得结果. 【详解】因为动直线， 所以， 所以动直线过定点， 由可得， 所以圆的圆心，半径， ， 因为直线与圆交于两点， 所以弦最短为， 故选C. 4．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 5．若直线l：与曲线y＝－2＋有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出直线恒过的定点，画出曲线y＝－2＋，数形结合进行判断. 【详解】 整理化简为： 根据交点直线系方程， 该直线恒过直线与直线的交点. 联立方程组，解得直线恒过定点 对曲线y＝－2＋ 整理化简为： 故其为一个以为圆心，半径为3的半圆， 在同一直角坐标系下绘制图像如下图所示： 由图可知，直线与曲线有两个交点的临界情况如上图的和 当直线为的状态时，斜率为0，此时只有一个交点，故不取0； 当直线为的状态时，斜率为，此时有两个交点，故可取. 综上所述：. 故选：B. 6．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【详解】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 7．若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程． 【详解】解：直线与直线方程相减可得： ， 把点代入可得：， 线段的中垂线方程是，化为：． 故选． 8．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为(　　) A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0 C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程. 【详解】解得 因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直 所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0 故选A 9．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 10．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标. 【详解】解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为， 设点的坐标为，所在直线的方向向量为， 则所在直线的斜率， ，得， 所以，则的中点坐标为， 边上的中线所在的直线方程为， 则的中点在直线上， ，解得：， 所以点的坐标为. 故选：A. 题型四：判断动直线所过定点技巧 技巧：第一步：将参数提取 第二步：令参数前的系数为0，求解定点 1．任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 2．已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 【答案】B 【分析】由直线l的方程，令，对分类讨论即可求解. 【详解】由直线l的方程为， 令，解得． ∴直线恒过点， 若，则直线不垂直y轴， 若，则直线不垂直于轴， 综上所述，恒过点且不垂直y轴. 故选：B． 3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 4．已知直线，,，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的倾斜角为 C．当时，直线l的斜率不存在 D．当时，直线l与直线不垂直 【答案】B 【分析】中，令时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B; 当时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当时，求得直线l的斜率，在求得直线得斜率，即可判定两者的位置关系，可判定选项D. 【详解】中，令时， 可得l恒过定点，故选项A错误； 当时，直线的斜率为， 则若倾斜角为时，，且， 则，故选项B正确； 当时，直线l为，斜率为， 故选项C错误； 当时，直线l的斜率为， 又, 所以， 则直线l与直线垂直，故选项D错误. 故选：B. 5．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可. 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 6．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【详解】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 7．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过定点，直线过定点，且，得到的轨迹是以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的圆心，半径，得到的最大值是，得到答案. 【详解】因为直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心， 半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是． 故选：C 8．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 9．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 10．若点与的中点为，则直线必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点公式可得，即可代入求解定点. 【详解】由题意可得，则， 所以直线方程为， 所以经过定点， 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$