专题02 空间向量解决平行与垂直及夹角与距离问题（重要题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量解决平行与垂直及夹角与距离问题 （重要题型） 题型一：空间向量解决平行问题 方法 待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 证明平行操作如下： （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 典型例题1．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 破解：以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 典型例题2．在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 破解：(1)设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 所以，由于，所以平面. (2)设平面的法向量为， 则，故可设. ，，平面，所以平面. (3)，设平面的法向量为， 则，故可设.， 显然，平面与平面不重合，所以平面平面. 1．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 2．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 3．如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 4．长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 5．如图所示，三棱柱中，分别是上的点，且，．用空间向量解决如下问题：    (1)若，证明：； (2)证明：平面． 6．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 7．如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.    (1)求证：∥平面； (2)试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 8．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G．    (1)证明：； (2)证明：面EFDC； (3)求该五面体的体积． 9．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.    求证： (1)平面； (2)平面⊥平面. 10．在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 题型二：空间向量解决垂直问题 方法 待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 方法技巧与总结（1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 典型例题．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． （1）求证：A1E⊥BD； （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 破解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． （1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， ＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， ∴，即A1E⊥BD； （2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e) ∴， ， ，. ∴,　 取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)． 由平面A1BD⊥平面EBD得⊥. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 1．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 2．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 3．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且． (1)证明：平面； (2)求直线与的夹角． 5．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 6．棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：； (2)求. 7．已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 8．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 9．如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 10．在正四棱柱中，，是棱 上的中点．    (1)求证：； (2)异面直线与所成角的余弦值． 题型三：空间向量解决夹角问题 技巧总结: 结论1：异面直线所成角 ①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解 ②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出 关键是求出及与 结论2：线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角 结论3：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负. 典型例题1．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°. 破解：(1)设，连接，因为是正方形，所以是中点， 又因为是矩形，是线段的中点，所以,, 所以四边形为平行四边形，所以, 因为平面，平面，所以平面； (2)如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意设， 则，， 因为，，， 与所成角是， 所以，即， 化简得，解得或（不合题意舍去）， 从而，因此点应在线段的中点处． 典型例题2．如图，三棱台中，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角． 破解：(1)由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面， 因为面，故，又，则，得证； (2) 由题，，则，又，， 故，故. 分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 易得，，，，，，设平面法向量， 则，令，则， 故，故直线与平面所成的角为. 即直线与平面所成的角为. 1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 2．在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 3．如图，四边形是直角梯形，，，，，平面，为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 5．如图，正方体. (1)求证：面； (2)若E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 6．如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 7．四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE． (1)证明：面DEF； (2)若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小． 8．如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 技巧总结 结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》 推导过程：已知直线的方向向量是，点则直线与直线夹角为θ，则 结论2：《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量 结论3：《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量 结论4：《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量 结论5：《点点距离》 提示：与,的距离为 典型例题．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 破解：(1)证明：由题知， 因为，所以， 又，所以， 又，所以平面， 又平面，所以， 在正三角形中，为中点，于是， 又，所以平面 (2)取中点为中点为，则， 由（1）知平面，且平面，所以， 又，所以，所以平面， 于是两两垂直 如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 则 所以 设平面的法向量为， 则，即 令，则 于是 设，则 由于直线与平面所成角的正弦值为 于是，即，整理得，由于，所以 于是 设点到平面的距离为 则 所以点到平面的距离为 1．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 2．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 3．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 5．如图，在棱长为3的正方体中，点E在线段BD上，点F在线段上，且，．    (1)求到直线EF的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 6．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 7．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点.    (1)求到的距离； (2)求与平面所成角的正弦值. 8．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，点E是PB的中点.    (1)证明：平面PAD; (2)求点E到平面PAD的距离. 9．如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 10．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．    (1)求直线到直线AE的距离； (2)求点到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量解决平行与垂直及夹角与距离问题 （重要题型） 题型一：空间向量解决平行问题 方法 待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 证明平行操作如下： （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 典型例题1．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 破解：以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 典型例题2．在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 破解：(1)设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 所以，由于，所以平面. (2)设平面的法向量为， 则，故可设. ，，平面，所以平面. (3)，设平面的法向量为， 则，故可设.， 显然，平面与平面不重合，所以平面平面. 1．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 2．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 3．如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    （2）由（1）知， 所以，所以. 4．长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析 【分析】 （1）根据长方体的性质，结合线面垂直的判定定理、正方形的性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行证明即可. 【详解】（1）因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为， 所以侧面是正方形，因此， 因为平面， 所以平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 因为， 所以有平面. 5．如图所示，三棱柱中，分别是上的点，且，．用空间向量解决如下问题：    (1)若，证明：； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由题意分解向量，结合已知条件证明即可； （2）由向量共面基本定理证明存在，使得即可. 【详解】（1）由题意，且， 所以 ， 所以，即. （2）由题意 ， 这表明了共面，而面， 所以平面. 6．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 7．如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.    (1)求证：∥平面； (2)试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行证明即可； （2）根据空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，    所以 由题意知是平面的一个法向量， 因为， 所以， 因为平面，所以∥平面， （2）由已知，得点F在直线上， 因为直线与z轴平行，可设，，.. 又点F在平面内，所以存在实数，，使得， 即，整理得，所以， 解得，所以， 故F是棱上靠近点B的一个三等分点，且. 8．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G．    (1)证明：； (2)证明：面EFDC； (3)求该五面体的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而由线面平行的性质即可求解， （2）根据线线垂直以及重心的性质，即可由线面垂直的判定求证，或者利用向量法求解坐标，根据向量垂直求解， （3）根据锥体体积以及柱体体积公式即可求解. 【详解】（1）,平面ABEF,平面ABEF 平面ABEF， 又平面平面,平面ABCD． （2）解1：点G为的重心，作EG的延长线交AB于H， 点H为AB中点  又．   四边形AHCD为平行四边形，, 又平面，平面 ,,由于,, 又,平面， 平面，平面, 又, 又，平面， 平面    解2：以D为原点，以DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系, 设, , , 又, ，故，, 又,平面， 平面,    （3）解1：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系, ， ，, ∴五面体的体积， 解2：在中，, 令, 五面体的体积，    9．如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.    求证： (1)平面； (2)平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用，得到，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）利用向量的坐标运算得到，从而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，,，，， ∴，，， ，，，. ，， 即，又⊂平面，平面， ∴平面. （2）， ， ∴，即 又平面，平面， ∴平面. ∵平面， ∴平面⊥平面. 10．在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 题型二：空间向量解决垂直问题 方法 待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 方法技巧与总结（1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 典型例题．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． （1）求证：A1E⊥BD； （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 破解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． （1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， ＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， ∴，即A1E⊥BD； （2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e) ∴， ， ，. ∴,　 取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)． 由平面A1BD⊥平面EBD得⊥. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 1．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 2．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，设出点的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 3．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论； （2）根据空间向量家教的坐标表示，即可求得答案； （3）根据空间向量模长的坐标表示，即可求得答案. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，即. （2）由（1）得，， ，， 所以. （3）由（1）知， 故. 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且． (1)证明：平面； (2)求直线与的夹角． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由题设构建空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定证结论； （2）由（1）有，即可确定异面直线夹角大小. 【详解】（1）由平面，截面为矩形， 以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故， 又，即，则， 所以， ，， ，且平面，所以平面． （2）由（1）知：，即直线与的夹角为. 5．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 6．棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论. （2）求出的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则,，，，，，， 因为，， 所以， 所以，即. （2）因为，所以 因为，且， 所以. 7．已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，分析可知正三棱锥是棱长为的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台的表面积； （2）设点在底面的射影为点，则为正的中心，取的中点，连接，则，以点、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）解：将正三棱台补成正三棱锥，如图所示： 因为，且，则、分别为、的中点， 则，，故是边长为的等边三角形， 由此可知，、都是边长为的等边三角形， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 故正三棱台的表面积为. （2）解：设点在底面的射影为点，则为正的中心， 取的中点，连接，则， ，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、 、， 则，，， 所以，，，所以，，， 因为，、平面，故平面. 8．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明； （2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 9．如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)存在，满足，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证； （2）根据向量法判断线面是否平行即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. （2）假设存在，使平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则， 解得， 故存在，满足，使平面. 10．在正四棱柱中，，是棱 上的中点．    (1)求证：； (2)异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直； （2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值． 【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， ， 所以；    （2）， 设异面直线与所成角的大小为， 则， 故异面直线AM与BC所成角的余弦值为． 题型三：空间向量解决夹角问题 技巧总结: 结论1：异面直线所成角 ①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解 ②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出 关键是求出及与 结论2：线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角 结论3：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负. 典型例题1．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°. 破解：(1)设，连接，因为是正方形，所以是中点， 又因为是矩形，是线段的中点，所以,, 所以四边形为平行四边形，所以, 因为平面，平面，所以平面； (2)如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意设， 则，， 因为，，， 与所成角是， 所以，即， 化简得，解得或（不合题意舍去）， 从而，因此点应在线段的中点处． 典型例题2．如图，三棱台中，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角． 破解：(1)由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面， 因为面，故，又，则，得证； (2) 由题，，则，又，， 故，故. 分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 易得，，，，，，设平面法向量， 则，令，则， 故，故直线与平面所成的角为. 即直线与平面所成的角为. 1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）首先证明平面，再由勾股定理求出，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 2．在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）做辅助线，分析可证平面CDE，可知即为所求线面角，结合余弦定理运算求解； （2）建系标点，求平面MEQ、平面CDE的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）在三棱锥中，取CD中点为Q， 过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H，      因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，， 可知，，且EQ，平面MEQ，， 则平面MEQ，且平面MEQ，可得， 可知，，，CD，平面CDE， 则平面CDE，可知即为所求线面角， 在等腰梯形ABCD中，已知，，， 可求出，，， 可得， 且，则， 所以直线ME与平面CDE所成角为. （2）以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 可得，， 设平面MEQ的法向量为，则， 取，则，可得， 且平面CDE的法向量为， 可得， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 3．如图，四边形是直角梯形，，，，，平面，为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）取的中点，连接， 证明四边形是平行四边形，推出，即可证明平面； （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点与平面垂直为建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可． 【详解】（1）取的中点，连接， 又是的中点，，. ，，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点与平面垂直为建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 设平面的一个法向量为， 则即，解得，则， 设平面的一个法向量为， 则即，解得，则， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 4．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可. 【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴ （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 所以平面面夹角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 5．如图，正方体. (1)求证：面； (2)若E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定即可得证 （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用公式，求解即可 【详解】（1）因为正方体， 所以四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以， 又，是平面内的两条相交直线， 所以面 （2） 如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为a，又E为线段的中点， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的法向量为， ，令，，所以， 设平面与平面所成锐二面角的大小为. 所以，又，所以 6．如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见详解(2)(3)不存在,理由见详解 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证; （2）建立空间直角坐标系,利用向量法直接计算可知; （3）假设存在,利用向量法直接计算可知. 【详解】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 7．四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE． (1)证明：面DEF； (2)若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 由底面为矩形，有，而平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而平面，所以平面平面， 所以， 又平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．   ，则不妨设，，, 则， 点是的中点，所以， 由平面，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成锐二面角为， ， 即平面与平面所成二面角的大小为， 8．如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平面，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解； （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）平面． 理由如下证明：取中点，连接， 因为为的中点，且，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为为等边三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图所示， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 又， 故到平面的距离． （3）设，， 所以， 所以，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 又平面的法向量为， 于是， 化简得，又， 得， 即， 故存在点，此时． 9．四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答(2)(3)存在， 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接. 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，，所以. 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用线面垂直的向量求法求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，正方形的边长为2，取的中点，连接，， 由，，得，由为的中点，得， 由为等边三角形，得，于是，即， 又，则，而，平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内过点作， 又平面平面，因此平面，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 在中，由，，得，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 技巧总结 结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》 推导过程：已知直线的方向向量是，点则直线与直线夹角为θ，则 结论2：《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量 结论3：《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量 结论4：《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量 结论5：《点点距离》 提示：与,的距离为 典型例题．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 破解：(1)证明：由题知， 因为，所以， 又，所以， 又，所以平面， 又平面，所以， 在正三角形中，为中点，于是， 又，所以平面 (2)取中点为中点为，则， 由（1）知平面，且平面，所以， 又，所以，所以平面， 于是两两垂直 如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 则 所以 设平面的法向量为， 则，即 令，则 于是 设，则 由于直线与平面所成角的正弦值为 于是，即，整理得，由于，所以 于是 设点到平面的距离为 则 所以点到平面的距离为 1．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 2．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 3．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)参见解析(2) 【分析】（1）可以先说明两个向量共线，从而说明共面； （2）先利用关系求得，再利用勾股定理求点到直线距离. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知可得：， 所以，所以，即向量共线， 所以点共面. （2）由（1）可得：， 设向量的夹角为，则， 所以，又 所以点到直线的距离. 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 【答案】(1).(2) 【分析】（1）根据底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设异面直线AF与EC所成角为α，|求解； （2）根据直线EC的一个方向向量，结合=（0，2，1），||=，由d=求解. 【详解】（1）解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， 所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）. 所以=（2，0，1），=（2，1，0）， 设异面直线AF与EC所成角为α，则=， 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为. （2）因为=（2，1，0），所以直线EC的一个方向向量. 又=（0，2，1），||=， 所以点F到直线EC的距离d===. 5．如图，在棱长为3的正方体中，点E在线段BD上，点F在线段上，且，．    (1)求到直线EF的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出到直线EF的距离; （2）知平面的法向量，再把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案. 【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，，， 所以到直线EF的距离为． （2）由（1）得，，则． 易得平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则，得， 取，则，，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 6．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)2(2) 【分析】（1）建系，用空间向量方法表示直线外一点到已知直线的距离公式求解即可； （2）建议，用空间向量方法表示平面外一点到已知平面的距离公式求解即可. 【详解】（1） 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以到直线的距离为 （2）由（1）得，， 设平面的法向量为，则 取，则，，得， 所以到平面的距离为 7．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点.    (1)求到的距离； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)(2). 【分析】（1）以为坐标原点，建系，由向量法得出到的距离； （2）由向量法得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）解：以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 则，， ， 所以到的距离. （2）设平面的一个法向量，则，即 令，解得，，故. 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 8．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，点E是PB的中点.    (1)证明：平面PAD; (2)求点E到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）连接， 因为分别是的中点，则， 且平面PAD，平面PAD，所以平面PAD. （2）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，      菱形中，，所以, 在中， 因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以， 则点A、B、D、P的坐标分别是， 且E是PB的中点，则， 可得，，， 设平面PAD的法向量，则， 令，则，可得， 所以点E到平面PAD的距离. 9．如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建系，再由向量垂直的充分必要条件直接得出空间异面直线垂直. （2）由向量法求空间距离公式直接得出点到直线的距离. 【详解】（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示    依题意得， 因为， 所以． （2） 10．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．    (1)求直线到直线AE的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，可证明，求出点F到直线AE的距离即可求出结果； （2）利用空间向量并代入点到平面的距离公式计算即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，建立如图所示以DA、DC、为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：    则，，，，，，，， ，，，， 故，， 设直线到直线AE的距离为，则即为F到直线AE的距离； 因此 则直线到直线AE的距离为． （2）设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以 设点到平面的距离为， 可得， 则点到平面的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$