专题01 共面向量及基底的处理技巧（重要题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 共面向量及基底的处理技巧（重要题型） 题型一：空间向量基底的判断标准 解此类问题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解 通式： 千万注意：能够表示基底的三个向量绝不可共面 典型例题1．若向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（       ） A． B． C． D． 破解：因为向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是， 所以， 设在基底下的坐标是， 则， 所以， 则，解得，所以在基底下的坐标是，故选：C. 典型例题2．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（       ） A． B． C． D． 解：不妨设向量，，； 则向量，，． 设， 即， ∴解得即在，，下的坐标为．故选：C． 1．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 2．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 5．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 8．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 9．若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 题型二：用构建基底的思想处理夹角等其它问题 第一步：根据题干意思挑选两两存在关系的三个向量作为基底 第二步：所求问题中的向量分别用基底表示出来 第三步：采用夹角、距离及平行与垂直的结论进行求算 典型例题1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 破解：因为，所以， 所以 ， 又，所以，则.故选：A 典型例题1．已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 破解：如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，，故选：A. 1．在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行六面体的各棱长均为，则（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的斜三棱柱中，，，则“”是“”的（    ）    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（    ）    A．1 B． C．0 D． 5．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，且交平面于点M，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型三：共面向量定理解决图形问题 共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 典型例题1．如图，设，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 破解：由题意得 =.故选：A 典型例题2．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面 破解：因为，则 即 即 由空间向量共面定理可知，共面，则P，A，B，C四点一定共面故选：B 1．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 6．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 7．四棱锥底面为平行四边形，分别为棱上的点，，设，则向量用基底表示为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 9．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（   ）    A． B． C． D． 10．在四面体中，点M在线段上，且，N为中点，则（    ） A． B． C． D． 题型四：平面法向量的妙解 方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平面垂线的方向向量即为平面的法向量． 方法2、待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 典型例题1．向量＝(1，2，3)，＝(4，5，6)是平面内的两个不共线向量，求平面的法向量 破解：第一步：书写标准格式 设平面的法向量为， 则 第二步：“草稿纸上演算过程” ①求x时，、的横坐标就不参与运算， ＝(2，3)，＝(5，6) 求外外项之积减内项之积就是x＝2×6－5×3=－3. ②求y时，、的纵坐标就不参与运算， ＝(1，3)，＝(4，6) 求内内项之积减外项之积就是y＝4×3－1×6=6. ③求z时，、的竖坐标就不参与运算， ＝(1，2)，＝(4，5) 求外外项之积减内项之积就是z＝1×5－4×2=－3. ∴＝(－3，6，－3) 第三步：写答案 令，得. 典型例题1．设平面α内两向量＝(1,2,1)，＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是 破解： 第一步：书写标准格式 设平面的法向量为， 则 第二步：“草稿纸上演算过程” ①求x时，、的横坐标就不参与运算， ＝(2，1)，＝(1，2) 求外外项之积减内项之积就是x＝2×2－1×1=3. ②求y时，、的纵坐标就不参与运算， ＝(1，1)，＝(-1，2) 求内内项之积减外项之积就是y＝1×（-1）－1×2=-3. ③求z时，、的竖坐标就不参与运算， ＝(1，2)，＝(-1，1) 求外外项之积减内项之积就是z＝1×1－（-1）×2=3. ∴＝(3，-3，3) 第三步：写答案 令，得. 1．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C．2 D．10 2．已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知平面，的法向量分别为，，且，则（     ） A． B．1 C． D． 6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 8．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 9．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 10．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是.若，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 共面向量及基底的处理技巧（重要题型） 题型一：空间向量基底的判断标准 解此类问题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解 通式： 千万注意：能够表示基底的三个向量绝不可共面 典型例题1．若向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（       ） A． B． C． D． 破解：因为向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是， 所以， 设在基底下的坐标是， 则， 所以， 则，解得，所以在基底下的坐标是，故选：C. 典型例题2．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（       ） A． B． C． D． 解：不妨设向量，，； 则向量，，． 设， 即， ∴解得即在，，下的坐标为．故选：C． 1．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 2．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知 BCD 选项中的向量共面, 无法作为一组基底; 假设 A 中向量共面, 可知不存在满足条件的实数 , 由此知假设错误, 则 A 中向量可以作为基底. 【详解】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误. 故选： A 3．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 4．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B 5．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 6．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，再设，整理后根据系数对应相等列方程组求解. 【详解】由已知可得， 设， ，解得， 即向量在基底下的坐标为. 故选：A. 7．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解. 【详解】对于A，，所以共面，故A错误； 对于B，，所以共面，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在，使得， 则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，，所以共面，故D错误. 故选：C. 8．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案. 【详解】依题意构成空间的一个基底， A选项，由于，所以，，共面，故A错误； B选项，由于，所以共面，故B错误； C选项，因为，所以共面，故C错误. D选项，假设存在实数使得， 则有，无实数解，则假设不成立，则不共面. 故选：D. 9．若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，B，D，判断每个选项中的向量是否共面，根据空间向量基底的含义，即可判断其正误，对于C，采用反证的思想，假设共面，得出矛盾，即可判断其对错，即得答案. 【详解】对于A，，即共面， 故不能作为空间向量的一组基底，A错误； 对于B，，即共面， 故不能作为空间向量的一组基底，B错误； 对于C，假设共面，则存在实数，使， 则，则共面，这与为空间向量的一组基底矛盾， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，C正确； 对于D，，故共面， 故不能作为空间向量的一组基底，D错误； 故选：C 10．如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得存在实数，使，表示出，根据系数对应相等列方程求解. 【详解】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得. 故选：B. 题型二：用构建基底的思想处理夹角等其它问题 第一步：根据题干意思挑选两两存在关系的三个向量作为基底 第二步：所求问题中的向量分别用基底表示出来 第三步：采用夹角、距离及平行与垂直的结论进行求算 典型例题1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 破解：因为，所以， 所以 ， 又，所以，则.故选：A 典型例题1．已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 破解：如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，，故选：A. 1．在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】由题意得为中点，所以， 又因为，所以， 所以，故A项正确. 故选：A.    2．如图，平行六面体的各棱长均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，平方后求出，求出答案. 【详解】由已知可得， ，两边平方得， ， 所以. 故选：B. 3．在如图所示的斜三棱柱中，，，则“”是“”的（    ）    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】以为基底，计算，然后解不等式即可判断答案. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 因为，所以. 反之，若，则， 则，即. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4．如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（    ）    A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，结合空间向量运算用表示，再利用空间向量基本定义即可求解. 【详解】在平行六面体中，M是与的交点， 则， 又，由空间向量基本定理，知，，， 所以. 故选：A 5．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，利用空间向量基本定理转化求解即可 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，， 所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A 6．在平行六面体中，，且交平面于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点H，连接与交于点O，由几何关系证明且点M与点O重合，则由求模即可. 【详解】根据题意，连接交于点H，连接与交于点O，如图， 在平行六面体中，，则， 根据平面的基本性质易知点M与点O重合，故 ． ∴ 故选：D． 7．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，借助模长公式能求出的长． 【详解】， ， ． 故选：A 8．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意将作为一组基底，把表示出来，平方化简后可求得结果. 【详解】由题意得， 因为， 所以，， 因为, 所以 ， 所以，即的长为2， 故选：B 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理得到，平方后，利用空间向量数量积公式计算出，从而求出模长. 【详解】因为是的中点， 所以， 所以 因为的长为2，且与，的夹角都等于60°． 所以 ， 所以. 故选：A 10．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 【详解】由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 题型三：共面向量定理解决图形问题 共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 典型例题1．如图，设，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 破解：由题意得 =.故选：A 典型例题2．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面 破解：因为，则 即 即 由空间向量共面定理可知，共面，则P，A，B，C四点一定共面故选：B 1．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 2．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的定义及题设条件即可化简得到结论. 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 3．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 4．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 5．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 6．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解. 【详解】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则. 故选：D. 7．四棱锥底面为平行四边形，分别为棱上的点，，设，则向量用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用，结合题设条件，以及向量的运算法则，即可求解. 【详解】因为分别为棱上的点，， 则 ， 故. 故选：A. 8．如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 9．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点，    ． 故选：C． 10．在四面体中，点M在线段上，且，N为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以及的位置，通过空间向量的加减以及数乘将表示为的线性组合. 【详解】因为，所以， 又因为N为中点，所以， 所以， 故选：B. 题型四：平面法向量的妙解 方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平面垂线的方向向量即为平面的法向量． 方法2、待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 典型例题1．向量＝(1，2，3)，＝(4，5，6)是平面内的两个不共线向量，求平面的法向量 破解：第一步：书写标准格式 设平面的法向量为， 则 第二步：“草稿纸上演算过程” ①求x时，、的横坐标就不参与运算， ＝(2，3)，＝(5，6) 求外外项之积减内项之积就是x＝2×6－5×3=－3. ②求y时，、的纵坐标就不参与运算， ＝(1，3)，＝(4，6) 求内内项之积减外项之积就是y＝4×3－1×6=6. ③求z时，、的竖坐标就不参与运算， ＝(1，2)，＝(4，5) 求外外项之积减内项之积就是z＝1×5－4×2=－3. ∴＝(－3，6，－3) 第三步：写答案 令，得. 典型例题1．设平面α内两向量＝(1,2,1)，＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是 破解： 第一步：书写标准格式 设平面的法向量为， 则 第二步：“草稿纸上演算过程” ①求x时，、的横坐标就不参与运算， ＝(2，1)，＝(1，2) 求外外项之积减内项之积就是x＝2×2－1×1=3. ②求y时，、的纵坐标就不参与运算， ＝(1，1)，＝(-1，2) 求内内项之积减外项之积就是y＝1×（-1）－1×2=-3. ③求z时，、的竖坐标就不参与运算， ＝(1，2)，＝(-1，1) 求外外项之积减内项之积就是z＝1×1－（-1）×2=3. ∴＝(3，-3，3) 第三步：写答案 令，得. 1．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】B 【分析】根据线面垂直列方程，从而求得. 【详解】由于，所以， 所以，所以. 故选：B 2．已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直则向量数量积为0，逐个代入验证即可. 【详解】若点在平面内，则， 对于A： ，所以A选项的点不在平面内； 对于B：，满足要求，所以在平面内； 对于C：， 满足要求，所以在平面内； 对于D：，满足要求，所以在平面内， 故选：A 3．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使，只需成立即可，由此利用空间向量平行的坐标表示对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，要使，只需成立即可， 对于A，假设，所以存在，使得，因为，所以，得，即，无解，假设不成立，故A错误； 对于B，类比选项A得，得，即，无解，假设不成立，故B错误； 对于C，类比选项A得，得，即，无解，假设不成立，故C错误； 对于D，类比选项A得，得，解得，假设成立，故D正确. 故选：D. 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，则，从而即可求解 【详解】若，则，从而 即,解之得： 故选：D 5．已知平面，的法向量分别为，，且，则（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面平行，法向量之间的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以， 于是有， 故选：D 6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题可知，要使直线与平面垂直，即求直线的方向向量和平面的法向量共线即可，结合向量坐标即得. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，时满足， 对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误, 故选：C． 7．已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】运用法向量求出坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可. 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 8．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【分析】直接利用数量积为零计算即可. 【详解】若，则 则， 解得： 故选：B. 9．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只要给的点与点连接得到的向量与的一个法向量为垂直，则这个点就在平面内，否则不在平面内. 【详解】解：设①②③④中的点分别为. 对于A：令点，，则，所以，故A错误； 对于B：令点，则，所以，故B错误； 对于C：令点，则，所以，故C错误； 对于D：令点，则，所以，故D正确. 故选：D 10．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面垂直，法向量垂直，数量积为即可得取值范围. 【详解】 ， 即， 则， ， 则. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$