高二期中预测卷01（新课标卷）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

保密★启用前 高二期中预测卷01（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．直线过椭圆的一个焦点，则的值是 A． B． C． D． 3．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线，若，则 A． B． C．2 D． 6．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值是 A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（    ） A．直线l与圆O相交 B．直线AB恒过定点 C．当P的坐标为时，最大 D．当最小时，直线AB的方程为 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为 C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形 11．已知直线：，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则越大，直线的倾斜角越小 B．若直线关于直线对称的直线方程是，则 C．若直线过定点，直线经过和原点，则直线围绕点旋转45°后得到的直线方程是或 D．若直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，当最小时， 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是 . 13．已知点在动直线上的射影为点，若点，则的最大值为 . 14．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线． （1）若直线过点A，且与直线平行，求直线的方程； （2）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，求证： （1）直线平面； （2）直线直线.（用向量方法） 17．（15分）已知圆和圆外一点. （1）过作圆的切线，切点为，圆心为，求切线长及所在的直线方程； （2）过作圆的割线交圆于两点，若，求直线的方程. 18．（17分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，其离心率，直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于、两个不同点，过点作轴的垂线分别与、相交于点和，证明：是中点. 19．（17分）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且，△ABP是正三角形． (1)若，求证：平面ABP⊥平面ABC； (2)若直线PC与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 高二期中预测卷01（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率为， 解得， 故选：B． 2．直线过椭圆的一个焦点，则的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 3．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的标准方程，根据点在圆外以及方程为圆的方程列不等式组求解即可. 【详解】，即 因为点在圆外， ，解得 故选：D. 4．已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】由已知得：，又， ，解得：. 故选：B. 5．已知直线与直线，若，则 A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】根据两条直线平行的充要条件即可求出a. 【详解】, , 解得， 当时，不重合， 故选：C 6．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由，两边平方，整理得，所以，所以为等腰直线三角形，所以圆心到直线的距离为，解得，故选C． 7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以点到直线的距离为. 故选：D 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（    ） A．直线l与圆O相交 B．直线AB恒过定点 C．当P的坐标为时，最大 D．当最小时，直线AB的方程为 【答案】BCD 【分析】求出圆心O到直线的距离.对于A：由直接判断；对于B：设.求出以为直径的圆D的方程，得到直线AB：.证明直线AB恒过定点.对于C：先判断出 要使最大，只需最大.在直角中，由.求出最小时P ，即可判断；对于D：利用面积相等得到要使最小，只需最小，即时，得到P的坐标为，求出直线AB. 【详解】圆O的半径. 设圆心O到直线的距离为d，则. 对于A：因为，所以直线l与圆O相离.故A错误； 对于B：P为上的动点，可设. 因为PA，PB为过点P作圆O的两条切线，所以. 所以四点共圆，其中为直径. 设的中点为,则, 所以圆D为，即. 所以直线AB为圆D和圆O的相交弦，两圆方程相减得：. 即直线AB：. 由解得：，所以直线AB恒过定点.故B正确； 对于C：因为和为直角三角形，且,所以， 所以，所以. 要使最大，只需最大. 在直角中，. 要使最大,只需最小，所以当时，最小，此时，所以，所以直线. 由，解得：，即当P的坐标为时，最大.故C正确； 对于D：因为直线AB为圆D和圆O的相交弦，所以，且被平分. 所以四边形的面积为. 而四边形的面积还可以表示为 所以. 要使最小，只需最小，即时，得到P的坐标为. 所以圆, 两圆相减得到直线AB：.故D正确. 故选：BCD. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为 C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形 【答案】AD 【分析】利用离心率公式可判断A选项；利用两点间的距离公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；当点为椭圆的短轴的端点时，求出三边边长，可判断D选项. 【详解】由椭圆，可得，，则， 对于选项A，椭圆的离心率，故A正确； 对于选项B，设点，则，且有，可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故B错误； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点为椭圆的短轴的端点时，可得，， 此时为等边三角形，故D正确． 故选：AD. 11．已知直线：，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则越大，直线的倾斜角越小 B．若直线关于直线对称的直线方程是，则 C．若直线过定点，直线经过和原点，则直线围绕点旋转45°后得到的直线方程是或 D．若直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，当最小时， 【答案】BD 【分析】求出直线的斜率，可判断A；由直线关于直线对称可判断B；求出直线围绕点旋转45°后所得直线的倾斜角，即可判断C；设直线的截距式方程为，表示出，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，当时，直线的斜率为，故A错误； 可求得直线与直线的交点是，正是直线经过的定点， 可知直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以，解得，B正确； 易知，得直线的斜率为， 设直线围绕点逆时针旋转45°后所得直线的倾斜角为， 则， 所以直线围绕点顺时针旋转45°后所得直线的斜率为， 但是直线不经过点，故C错误； 直线过定点，另外假设直线的截距式方程为， 则，， 当且仅当，时，等号成立，此时直线的方程为， 由，得，故D正确． 故选：BD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是 . 【答案】 【分析】先求，从而得到边上的高所在的直线的斜率，根据点斜式可写出直线方程. 【详解】因为，，故， 故边上的高CD所在的直线的斜率为，所以该直线的方程为，即 故答案为：. 13．已知点在动直线上的射影为点，若点，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】先分析动直线过定点，从而得到动点的轨迹，再利用数形结合分析得到最大值. 【详解】因为动直线方程为， 所以动直线过定点， 又因为在动直线上的射影为点， 所以， 所以 的轨迹是为直径的圆. 圆心 ，半径为， 点与圆心间的距离是， 所以的最大值为. 故答案为： 14．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值. 【详解】依题意，设， 根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设， ，则，即， 所以 由于，所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 故答案为：    四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线． （1）若直线过点A，且与直线平行，求直线的方程； （2）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程． 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）斜率存在时两直线平行则（2）斜率存在时两直线垂直则. 试题解析：（1） （2） 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，求证： （1）直线平面； （2）直线直线.（用向量方法） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，得出点，根据向量的相等的性质和线面平行的判定可得证； （2）根据向量垂直的坐标表示可得证. 【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系， 设，则. （1），， 又平面，平面，直线平面. （2），. 17．（15分）已知圆和圆外一点. （1）过作圆的切线，切点为，圆心为，求切线长及所在的直线方程； （2）过作圆的割线交圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）切线长为,直线方程为；（2）直线或. 【详解】试题分析：(1)利用切线的性质可以知道,切线长、半径、点到圆心距离满足勾股定理,则切线长可求;再利用切点与点的连线和半径垂直以及切点都在圆上列出方程组,两式相减即可得到所在直线的方程; (2)先将圆的方程化成标准式,求出圆心和半径,再根据弦长为,结合垂径定理得到圆心到直线的距离,则就可以利用点到直线的距离公式求出直线的斜率,问题获解. 试题解析：（1）圆方程， ，切线长为. 由于四点共圆，则过的圆方程为 由于为两圆的公共弦，则两圆相减得直线方程为：. （如用圆的切线方程求出的相应给分） （2）①若割线斜率存在，设，即. 设的中点中点为，则， 由，得；直线. ②若割线斜率不存在，. 代入圆方程得，符合题意. 综上直线或. 18．（17分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，其离心率，直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于、两个不同点，过点作轴的垂线分别与、相交于点和，证明：是中点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求出直线的方程，根据直线与圆的位置关系可得出，由椭圆的离心率可得出，可求得、的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设，求出直线的方程，可得出，设直线的，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：由题意可得直线的方程为，即， 直线与圆相切，，， ，则，，则， 由可得， 椭圆的方程为. （2）证明：由题意可设， 由（1）得，则直线的方程为， 直线的方程为， 若直线轴，此时直线与椭圆相切，不合乎题意， 设直线的方程为， 由得， ，可得， ， ， ， 是中点. 19．（17分）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且，△ABP是正三角形． (1)若，求证：平面ABP⊥平面ABC； (2)若直线PC与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析；(2). 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式,结合线面角、面面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）设的中点为，连接， 因为，所以， 因为△ABP是正三角形，所以，因此， 而平面，所以平面， 而平面，所以， 因为△ABC为等腰直角三角形，且， 所以，而平面ABP， 所以平面ABP，而平面ABC， 所以平面ABP⊥平面ABC； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 因为△ABP是正三角形，所以该三角形的高为， 于是有，设平面ABC的法向量为，， 因为直线PC与平面ABC所成角为， 所以，而， 解得：，，即， 设平面的法向量为， ，， 所以有， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$