专题06 椭圆离心率及弦长面积的快速求解妙招（重要题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 椭圆离心率及弦长面积的快速求解妙招（重要题型） 题型一： 椭圆的离心率问题 （1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围. 结论1：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率 证明： 由正弦定理得： 由等比定理得：，即 ∴。 结论2：点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时，e= 注：或者 ,而不是或者 典型例题1．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 破解：设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为， 则，且， 所以，，， 依题意为等腰三角形，， 所以，化简得，又， 所以，即， 解得，又，所以， 即椭圆的离心率为. 故选：B    典型例题2．已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 破解： 如图，不妨设， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以，又因为为等腰直角三角形，所以,即，即，所以， 解得或（舍）， 故选:B. 1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型二：椭圆几何性质全方位总结 椭圆的方程性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦半径最大值，最小值 工具2：（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 典型例题1．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 破解：因为的周长为，所以，则， 又,的中点为 ，所以M的坐标为， 故，则， 结合，，解得， 所以椭圆C的标准方程为， 故选：A 典型例题2．已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 破解：由，得， 所以， 由椭圆的性质可知当与短轴的一个端点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为 ， 故选：A 1．已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 2．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 3．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 4．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 5．已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 6．设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 7．已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 8．已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为（异于点），则（    ） A． B．面积的最大值为 C．周长的最小值为12 D．的最小值为 9．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 10．已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．的最小值为 题型三：椭圆弦长快速求解妙招 弦长公式的两种形式 ①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则． ②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则． 典型例题1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 破解：设直线AB方程为，联立椭圆方程 整理可得：，设， 则，，根据弦长公式有： =．故B，C，D错误.故选：A. 典型例题2．过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______． 破解：∵椭圆方程为，∴焦点分别为，， ∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，， ∴，因此，． 故答案为:． 1．设直线与椭圆相交于，两点，已知点. (1)直接写出椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； (3)若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； (4)直接写出弦长的最大值. 2．已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 3．已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 4．设椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，短轴长为，过且垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若，试求内切圆的面积． 5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 6．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程. (3)与椭圆相交于C、D两点并求出弦长CD 7．已知椭圆，、分别为其左右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方． (1)若，求弦长； (2)若的面积为，求椭圆的方程． 8．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 9．已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，求弦长. 10．已知P为椭圆E:上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值. 题型四：椭圆面积快速求解妙招 三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 典型例题．已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程． 破解：（1）由题意得：，且， 解得：， 所以， 所以椭圆方程为； （2）联立与椭圆方程可得： ， 由，解得：； 设， 则，， 由弦长公式可得：， 点到直线的距离为， 则的面积为， 其中， 令，， 则， 由于，所以，, 令得：， 令得：， 即在上单调递增， 在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， ， 所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为． 1．已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程 (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 2．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 3．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 4．已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 5．已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 6．已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 7．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 8．椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)求四边形面积的取值范围. 9．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 10．椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.    (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 椭圆离心率及弦长面积的快速求解妙招（重要题型） 题型一： 椭圆的离心率问题 （1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围. 结论1：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率 证明： 由正弦定理得： 由等比定理得：，即 ∴。 结论2：点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时，e= 注：或者 ,而不是或者 典型例题1．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 破解：设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为， 则，且， 所以，，， 依题意为等腰三角形，， 所以，化简得，又， 所以，即， 解得，又，所以， 即椭圆的离心率为. 故选：B    典型例题2．已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 破解： 如图，不妨设， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以，又因为为等腰直角三角形，所以,即，即，所以， 解得或（舍）， 故选:B. 1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案. 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 2．中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及椭圆中三者的关系，利用椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】以椭圆的对称中心作为坐标原点建立平面直角坐标系，则可得， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：A． 3．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 4．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 5．已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值，即可求解. 【详解】由椭圆的定义，可知，    所以当最小时，最大， 由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时， 由解得，此时的离心率. 故选：A. 6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求得直线的方程，继而求得点，利用勾股定理建立方程，解出即可. 【详解】设，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 直线的方程为． 令，得，即． 因为， 所以，解得． 故选：B. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段比及椭圆的定义求得，，取的中点为，根据余弦定理建立关于的方程，即可求解离心率. 【详解】设，，则，即， 则，从而，，所以， 如图，取的中点为，则， 在中，. 在中，由余弦定理得，， 化简得，则. 故选：D 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的弦长公式可得，进而根据平行关系可得，利用椭圆定义以及勾股定理即可求解. 【详解】过作， 由于圆O截直线的弦长为，所以， 由于，所以,结合是的中点， 所以， 故，， 化简得， 所以， 故选：A 9．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 10．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，根据平行关系得到方程，得到，从而求出离心率. 【详解】由已知得：， 将代入椭圆中，，解得， 因为A，B分别是椭圆的右、上顶点，且，所以， 其中， 由得：， 解得， 由得：， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C. 题型二：椭圆几何性质全方位总结 椭圆的方程性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦半径最大值，最小值 工具2：（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 典型例题1．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 破解：因为的周长为，所以，则， 又,的中点为 ，所以M的坐标为， 故，则， 结合，，解得， 所以椭圆C的标准方程为， 故选：A 典型例题2．已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 破解：由，得， 所以， 由椭圆的性质可知当与短轴的一个端点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为 ， 故选：A 1．已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 【答案】ACD 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 2．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 【答案】ACD 【分析】对于A，则，故，则利用与离心率公式即可得解；对于B，设，，接着利用和结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解. 【详解】如图，直线l与交于G， 对于A，若，则，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，则，且即， 所以， 所以，故B错误； 对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确； 对于D，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即， 因此，故D正确. 故选：ACD． 3．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断． 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：BD． 4．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 5．已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 【答案】AD 【分析】由方程可得，结合椭圆性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 则，， 对于选项A：的周长为，故A正确； 对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误； 对于选项C：的最小值为，此时P为长轴顶点， 但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误； 对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确； 故选：AD. 6．设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 【答案】BD 【分析】利用点差法，即可判断A；根据A的结果，结合中点坐标和直线的斜率，可分别判断BC，直线与椭圆方程联立，结合弦长公式，即可判断D. 【详解】A.设，，， ，两式相减得， 整理为，即，故A错误； B.由，以及，可知，，则， 所以直线的方程为，则，故B正确； C.由，且直线l的方程为，所以，即， 且，解得：，，即，故C错误； D.联立，得，得或， 弦长，故D正确. 故选：BD 7．已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【详解】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 8．已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为（异于点），则（    ） A． B．面积的最大值为 C．周长的最小值为12 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，设，则，设，利用点差法推出，判断A；利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B；利用椭圆的定义以及几何性质判断C；利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，设，则，设 ， 由题意可知 ， 则 ，两式相减得， 即，即 ， 由 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A的分析可知，不妨设点在第一象限，则， 所以，当且仅当时取等号， 故 ，故B正确； 对于C，由题意知左焦点为，设右焦点为，， 则根据椭圆的对称性可知，故周长为 ， 而的最小值为椭圆的短轴长 ，由题意可知不能与椭圆短轴重合， 故周长大于，C错误； 对于D，由C的分析可知， ， 故 ，当且仅当时取等号，D正确， 故选：ABD 9．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 【答案】AB 【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；面积，结合的范围判断C；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D． 【详解】因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B正确； 面积，而， ∴面积最大值为，故C错误； ∵， ∴以线段为直径的圆的方程，其圆心为，半径为1， 又直线方程为，∴圆心到直线的距离为， ∴以线段为直径的圆与直线相离，故D错误． 故选：AB． 10．已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断. 【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得， ，故A项正确； 对于B项： ， 当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值， 由，得，，所以得， 所以最大值，故B项正确；    对于C项：设，若，即：， 则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又由A项知，得，又因为，得， 所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误； 对于D项： ， ， 当且仅当时取等号，故D项正确. 故选：ABD. 题型三：椭圆弦长快速求解妙招 弦长公式的两种形式 ①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则． ②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则． 典型例题1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 破解：设直线AB方程为，联立椭圆方程 整理可得：，设， 则，，根据弦长公式有： =．故B，C，D错误.故选：A. 典型例题2．过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______． 破解：∵椭圆方程为，∴焦点分别为，， ∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，， ∴，因此，． 故答案为:． 1．设直线与椭圆相交于，两点，已知点. (1)直接写出椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； (3)若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； (4)直接写出弦长的最大值. 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据点A的坐标，求出b，即得答案； （2）设直线方程，联立椭圆方程，可得交点坐标，根据弦长公式，即得答案； （3）由两点间距离公式，即可求得答案； （4）结合二次函数性质，即得答案. 【详解】（1）由题意知在椭圆上，则，故椭圆的标准方程为； （2）由于直线的斜率存在，设其方程为，联立， 得，解得两根，不妨设， 故； （3）设点的坐标为，则，则， 则； （4）由于， 当时，取得最大值为. 2．已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出过焦点的弦长，建立方程组求解即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再求出直线方程即可得解. 【详解】（1）设点，则椭圆半焦距，由得，由得， 依题意，，又，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆的方程为，，设点， 当时，直线的方程为的方程为， 由，得，解得， 由，得，解得， 即点，则直线的斜率， 于是直线的方程为， 整理得，显然直线恒过定点直线， 当时，直线的方程为，也经过， 所以直线恒过定点直线.    3．已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知分别求出即可得到的标准方程； （2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线的距离， 代入三角形面积公式，利用不等式求出面积的最大值． 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为， 则，又， 解得， 所以的标准方程为． （2）设， 联立直线与椭圆的方程，可得， 所以，得． 又原点到直线的距离， 所以， 所以． 令，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 即当时，的面积取得最大值． 4．设椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，短轴长为，过且垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若，试求内切圆的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据短轴长以及通经的计算公式，建立方程组，可得答案； （2）根据垂直直线，写出直线方程，联立椭圆方程，写出韦达定理，根据内切圆与三角形的关系，结合圆的面积公式，可得答案. 【详解】（1）依题意得．解得．所以． （2）   由（1）得，，，由于， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 由．消去并化简得，， 设，，则，， 所以， 到直线即的距离， 所以三角形的面积为，设三角形的内切圆半径为， 则，，所以内切圆的面积为． 5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 6．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程. (3)与椭圆相交于C、D两点并求出弦长CD 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程； （2）利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程. （3）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意可设椭圆方程为：， 则，解得：，椭圆的标准方程为：. （2）依题意，设，，    则，两式作差得：， 直线斜率， 又中点为，，，， 直线方程为：，即. （3）依题意，设，， 联立，消去，得， 易得，则， 又直线的斜率为， 所以弦长 . 7．已知椭圆，、分别为其左右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方． (1)若，求弦长； (2)若的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意写出直线的方程，联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求； （2）设，，由三角形面积公式得到，应用余弦定理得，结合及椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】（1）设，，时，直线的方程为， 联立椭圆方程得：，所以，， 所以．    （2）设，，则，化简得：． 另外，由余弦定理得：，结合，得：， 代入，消元得：，即， 结合得：，又，所以，， 综上，椭圆的方程为：． 8．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . 9．已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，求弦长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的标准方程； （2）设，，联立方程组，求出坐标，即可求出弦长. 【详解】（1）可设椭圆的标准方程为 由题意可知：a=2，，解得：，则椭圆的方程为：. （2）设，， 联立，化简得：， 解得：或， 代入直线解得：A（0，-1），B（2，0）， 故|AB|=. 10．已知P为椭圆E:上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值. 【答案】(1);(2). 【分析】（1）由题意可得，根据离心率求得，进而可得椭圆方程； （2）由题设有，联立椭圆方程求得，，应用两点距离公式即可求弦长|AB|. 【详解】（1）在△中，则， 所以，故，又，则，故， 所以椭圆E的标准方程. （2）由题设，直线，即， 联立并整理得：，可得，， 所以，，即，， 故. 题型四：椭圆面积快速求解妙招 三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 典型例题．已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程． 破解：（1）由题意得：，且， 解得：， 所以， 所以椭圆方程为； （2）联立与椭圆方程可得： ， 由，解得：； 设， 则，， 由弦长公式可得：， 点到直线的距离为， 则的面积为， 其中， 令，， 则， 由于，所以，, 令得：， 令得：， 即在上单调递增， 在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， ， 所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为． 1．已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程 (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在最大值，最大值为 【分析】（1）由题意直接得到，，然后计算出即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆的方程，设，，则，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，求出直线的方程，令，求出，即直线与轴交于一个定点，记为，然后计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4， 所以，即，，所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知直线的斜率不为，且斜率不可能不存在（否则重合），所以设直线的方程为：， 与椭圆的方程联立，得， 消去，得， 所以， 设，，则， 由根与系数的关系，得 ， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为， 令，得， 即直线与轴交于一个定点，记为， 则，等号成立当且仅当. 2．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；(2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 3．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 4．已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）用离心率的定义求解； （2）设的中点为，先分别确定点的坐标，再最终求解. 【详解】（1）由已知有，，故，所以离心率. （2） 如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而，故. 所以，从而在直线上. 由知，故，结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 5．已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2)①证明见解析；② 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程； （2）①由，关于对称，设的方程，，，，利用直线的斜率公式，即可求得为定值；②分类讨论，当所在直线与轴垂直时，求得点坐标，即可求得四边形面积，当所在直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理求得，利用两平行线之间的关系求得，根据平行四边形的面积公式，利用二次函数的性质，即可求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①因为，，，四点都在椭圆上，直线与交于点， 所以四边形为平行四边形， 又直线，的斜率均存在， 所以设的方程，，，， 显然， 椭圆的方程，则，， 所以， 又，， ， 为定值； ②由（1）可知：椭圆的左焦点，右焦点， 当所在直线与轴垂直时，则所在直线方程为，代入，得，则，，所以，， 平行四边形的面积； 当所在直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得． 显然，设，，则，， ， 两条平行线间的距离， 平行四边形的面积 ， 由，，， 设，由在上单调递减， ， ， 综上，平行四边形面积的最大值为． 6．已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得，即可得椭圆方程. (2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0，设直线方程与椭圆联立求得，根据设出点坐标，用斜率公式求得坐标，再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出，分离常数,变为积为定值的形式，再用的单调性计算即可. 【详解】（1）由题知抛物线的准线为，, 因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形， , 故椭圆的标准方程为:； （2）由（1）得椭圆的方程为， 的垂线交轴于，的斜率存在， 连接交椭圆于两点，的斜率不为0, 不妨设, 因为与椭圆的交点为，所以， 则， 联立，即， , , 设，,， 解得:， 到直线的距离为:， ， 因为，所以， 因为函数在上是增函数， 所以的最小值为， 因此，当时，面积的最小值为. 7．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为， 所以，所以， 所以.    8．椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据两直线互相垂直得，应用直译法即可求轨迹方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，结合弦长公式即可，再应用换元法转化为二次函数的最值. 【详解】（1）设，依题意，，且. 所以，整理得. 故点的轨迹方程为； （2）依题意，. 过作平行于的直线交于，两点，由对称性知. ①当的斜率为0或斜率不存在时，； ②当的斜率存在且不为0时，设：，，. 联立方程消元得：. ，故， 同理，. 故. 令，，则， 其中， 故. 综上，. 9．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，， 再由， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， ， 由弦长公式, 到直线的距离, ． 10．椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.    (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）6 【分析】（1）根据题意设出椭圆方程，用待定系数法求解即可得解； （2）（i）根据题意只要证为钝角即即可，求出坐标，利用向量数量积运算即可得证；（ii）求出四边形的面积，对面积的表达式变形利用基本不等式和对勾函数单调性求出最大值得解. 【详解】（1）由题知，椭圆的焦点为，， 故可设椭圆的方程为，将点代入可得， 解得， 所以椭圆得方程为.    （2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，； 根据题意可知直线斜率均存在，且，； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 则，； 所以； 即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内； （ii）易知四边形的面积为， 设，则，当且仅当时等号成立； 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$