专题05 直线和差最值和切线长结论及椭圆焦长焦比焦点三角形（重要题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 直线和差最值和切线长结论及椭圆焦长焦比焦点三角形（重要题型） 题型一：直线线段和与差的最值问题 结论：当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 求解形如的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题； （2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值. 典型例题1．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 破解：如图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知，故选：D. 典型例题2．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 破解： 找出点关于轴的对称点，连接， 与轴的交于点，连接，此时为最短， 由与关于轴对称，，所以，又， 则直线的方程为 化简得：，令，解得，所以故选：D． 1．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．已知x，y满足，则的最大值为 C．已知x，y满足，则的取值范围是 D．已知x，y满足，则的最大值为0 4．已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 7．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 9．已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 10．已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 题型二：有关圆的切线长问题 技巧总结 第一类特殊问题：切线长公式 过圆外一点引圆的两条切线，则切线长为 推导：采用勾股定理 典型例题1．经过点作圆的切线，切线长是_____________． 破解：设切点为T,圆心为C（6，0），半径为2， 所以切线长，填。 典型例题2．从点引圆的切线，则切线长是__________． 破解：因为圆的方程为，所以圆心，半径， 所以，所以切线长，故答案为． 1．已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 2．已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．若已知直线与圆，为上的动点，过作圆的切线，切点为，当切线段的长最短时，四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 7．设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 9．已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线，圆，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 题型三：椭圆焦长以及焦比结论 Ⅰ假焦点三角形周长公式:过椭圆的左焦点的弦与右焦点围成的三角形的周长是； Ⅱ焦长公式：是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，是椭圆半焦距，则①；②；③． Ⅲ焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，，令，即，代入弦长公式可得． 典型例题1．设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F. （1）证明：； （2）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程． 破解：⑴出现不等式则采用处理结论（下面秒杀技巧介绍） 设点设线，联立化解，韦达判别 ⑵由假焦点三角形的焦长结论可知 由又∵∴得 由题干已知故、、 所以椭圆方程为 典型例题2．已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线PA，PB的斜率之积为； （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率． 破解：⑴此题只能设点求斜率 故∴① 又∵在椭圆上，∴② 由①②得 ⑵假焦点三角形的焦长结论可知 ∵，∴椭圆方程为 , 由又∵∴得 故 1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 3．已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 5．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 6．若为椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 8．已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（    ） A．2 B．4 C．7 D． 题型四：椭圆焦点三角形问题 椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则； 证明：设 推论及应用：（注意：r为内切圆半径） 典型例题1．已知椭圆的左右焦点分别是是椭圆上的一点，且，则面积是（ ） A． B． C． D． 破解：正规方法 因为，且， 所以， 所以，所以， 秒杀方法 典型例题2．椭圆的焦点为，为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 破解：正规方法 由题意可知，则，所以， 由椭圆的定义，可得，平方得， 因为，所以，则， 所以，解得， 所以△的面积为. 秒杀方法 1．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 3．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 4．过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．过椭圆的右焦点作直线，直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C． D．20 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 9．已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线和差最值和切线长结论及椭圆焦长焦比焦点三角形（重要题型） 题型一：直线线段和与差的最值问题 结论：当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 求解形如的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题； （2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值. 典型例题1．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 破解：如图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知，故选：D. 典型例题2．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 破解： 找出点关于轴的对称点，连接， 与轴的交于点，连接，此时为最短， 由与关于轴对称，，所以，又， 则直线的方程为 化简得：，令，解得，所以故选：D． 1．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 2．已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解. 【详解】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．已知x，y满足，则的最大值为 C．已知x，y满足，则的取值范围是 D．已知x，y满足，则的最大值为0 【答案】A 【分析】 函数表示到点和的距离之和，计算距离得到A正确，举反例得到BCD错误，得到答案. 【详解】对选项A：， 表示到点和的距离之和，最小值为， 正确； 对选项B：取，满足条件，此时，错误； 对选项C：取，满足条件，此时，错误； 对选项D：取，满足条件，此时，错误； 故选：A 4．已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 求出直线AC的方程，设.由，列不等式，利用判别式法求出t的范围，即可求解. 【详解】由题意知直线AC的方程为. 因为点D是直线上的动点，所以可设. 因为，所以， 化简得：对任意x恒成立, 所以，化简得, 解得或,结合t为正整数得：t的最小值为4. 故选：B 5．已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，可分别求得坐标，利用两点间距离公式可将表示为，利用基本不等式可得最小值，由取等条件可得结果. 【详解】由题意知：直线斜率存在且不为，可设， 令，解得：，即；令，解得：，即； ，， （当且仅当，即时取等号）， 即当时，取得最小值. 故选：A. 6．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果. 【详解】因为与的交点坐标为 所以， 当时， ， 所以的最大值是， 故选：B. 7．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，求得点坐标，求得的表达式，再求得其最小值. 【详解】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解. 【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值. 故选：C 9．已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解析】将问题转化为“点到点的距离加上点到点的距离加上点到点的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值. 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离， 表示点到点的距离，设， 则表示的长度和， 显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小， 当均不在坐标原点，如下图所示： 考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为， 所以； 当其中一个在坐标原点，如下图所示： 此时分别有，， 所以； 当都在坐标原点时，， 综上可知：的最小值为， 故选：C. 10．已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出A关于直线的对称点，然后根据两点之间直线最短进行求解即可. 【详解】解：设A关于直线的对称点的坐标为， 则， ∴最小． 故选：B 题型二：有关圆的切线长问题 技巧总结 第一类特殊问题：切线长公式 过圆外一点引圆的两条切线，则切线长为 推导：采用勾股定理 典型例题1．经过点作圆的切线，切线长是_____________． 破解：设切点为T,圆心为C（6，0），半径为2， 所以切线长，填。 典型例题2．从点引圆的切线，则切线长是__________． 破解：因为圆的方程为，所以圆心，半径， 所以，所以切线长，故答案为． 1．已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 2．已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】如图， 设，则， 因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 3．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形面积为，利用切线长公式可知，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案. 【详解】    将化为标准方程为：， 所以圆的圆心为，半径为2， 由题意，四边形面积为， 又因为， 所以当最短时，四边形面积最小，此时. 故选：C 4．若已知直线与圆，为上的动点，过作圆的切线，切点为，当切线段的长最短时，四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断直线与圆的位置关系，由切线的性质结合勾股定理得出，当切线段的长最短时，有，再由四边形的面积为，然后求解即可. 【详解】圆，可转化为，所以圆心，半径为2， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离， 因为为切点，所以，，由勾股定理得， 所以切线段的长最短时，则最短，此时，所以，， 所以四边形的面积为.    故选：B 5．已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意利用推出，确定在圆上，继而将问题转化为和有两个交点的问题，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求得答案. 【详解】设，由题意知，则， 则， 即， 整理得，解得或， 由于在圆外，故，则， 即的轨迹方程为圆， 曲线过定点，由射线和射线组成， 且和关于直线对称， 结合图象可知要使曲线上存在四个点满足题意， 需使得和有两个交点， 故需有且，解得， 即， 故选：B 6．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【详解】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 7．设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可. 【详解】圆心为，半径为，设切点为， 要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以， 故选：B 8．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可求得切线段的长. 【详解】如图所示，圆心,连接, 因为直线，关于直线对称， 所以垂直于直线， 故 而, 则, 故选： 9．已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将四边形的面积表示出来，可得，再由，即可得到结果. 【详解】由题意知四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值. 又，所以. 故选:B. 10．已知直线，圆，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质，得到直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，结合点到直线的距离公式和圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆的性质，可得当直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小， 因为圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 即，所以切线长的最小值为. 故选：D. 题型三：椭圆焦长以及焦比结论 Ⅰ假焦点三角形周长公式:过椭圆的左焦点的弦与右焦点围成的三角形的周长是； Ⅱ焦长公式：是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，是椭圆半焦距，则①；②；③． Ⅲ焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，，令，即，代入弦长公式可得． 典型例题1．设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F. （1）证明：； （2）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程． 破解：⑴出现不等式则采用处理结论（下面秒杀技巧介绍） 设点设线，联立化解，韦达判别 ⑵由假焦点三角形的焦长结论可知 由又∵∴得 由题干已知故、、 所以椭圆方程为 典型例题2．已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线PA，PB的斜率之积为； （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率． 破解：⑴此题只能设点求斜率 故∴① 又∵在椭圆上，∴② 由①②得 ⑵假焦点三角形的焦长结论可知 ∵，∴椭圆方程为 , 由又∵∴得 故 1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行求解. 【详解】由椭圆方程可知，解得. 又椭圆上一点M到两焦点的距离和为， 所以M到另一个焦点的距离为. 故选：B 2．已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式求解最大值. 【详解】依题意，，，则，，设， 所以：，又因为：， 所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确. 故选：C． 3．已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出椭圆左焦点的坐标，结合椭圆的定义转化为求的最小值，再求出点到直线的距离得解. 【详解】椭圆C的左焦点为，则，于是， 当且仅当Q，P，三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 最小值为点到直线的距离，所以的最小值为1. 故选：A 4．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，取到最大值. 故选：D. 5．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 又由椭圆的定义可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 6．若为椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，由此求得的最大值. 【详解】，，， 即. 所以的最大值为. 故选：D 7．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解. 【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得 由椭圆方程可知，.，根据椭圆定义有， 故选：A 8．已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点为椭圆上的动点，，分别为两个圆上的动点，三个点都是动点，需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点，如图，因此可以固定其中两个点，实现动静转化． 由椭圆的定义得到为定值，至于，只需与圆的半径产生联系即可． 【详解】根据椭圆的定义，得， 所以， 即所求取值范围为．    故选：A 9．若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的定义得，根据中位线定理即可求出的值． 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆的另一个焦点为，则， 而是的中位线，所以． 故选：B． 10．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（    ） A．2 B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图所示，设椭圆的另一焦点为，因为O、M分别是F1F2和PF1的中点，所以, 而由椭圆的方程得a=10，2a=20，所以, 所以=7， 故选：. 题型四：椭圆焦点三角形问题 椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则； 证明：设 推论及应用：（注意：r为内切圆半径） 典型例题1．已知椭圆的左右焦点分别是是椭圆上的一点，且，则面积是（ ） A． B． C． D． 破解：正规方法 因为，且， 所以， 所以，所以， 秒杀方法 典型例题2．椭圆的焦点为，为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 破解：正规方法 由题意可知，则，所以， 由椭圆的定义，可得，平方得， 因为，所以，则， 所以，解得， 所以△的面积为. 秒杀方法 1．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 3．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得. 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 4．过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出的周长. 【详解】对于椭圆，， 由题意可知，的周长为 . 故选：A. 5．已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得：， 的周长为. 故选：D. 6．过椭圆的右焦点作直线，直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C． D．20 【答案】B 【分析】的周长为，计算得到答案. 【详解】，则， 的周长为. 故选：B. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【详解】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 8．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 9．已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 10．已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$