专题04 直线的对称和最值及圆的切线和最值问题（重要题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中复习常考题型秒杀技巧全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 直线的对称和最值及圆的切线和最值问题（重要题型） 题型一：直线有关对称问题 ①点关于线对称的点的求算 点关于直线的对称点为 ②线关于点对称的直线求算 直线关于点对称的直线为 ③线关于线对称的直线方程求算 直线关于直线对称直线为其中 典型例题1．点A（1,2）关于直线的对称点是_________. 破解：法一：正规方法 设对称点为，由题意可知，所以对称点为（3,0） 方法二：特殊形式的秒杀 点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 求对称点的横坐标，即将已知点的纵坐标代入即可 方法三：点关于线对称的点的求算 典型例题2．已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． 破解：正规方法 由题意知，设直线， 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 于是有，解得，即． 把点代入的方程，得，所以直线的方程为． 秒杀1：高端结论 直线关于直线对称直线为其中 其中 所以直线的方程为． 1．已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 4．直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D．（2，0） 7．直线关于原点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 8．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 9．直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：直线有关最值问题 技巧总结 ①求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接并延长交于点，连接,则点即为所求点，此时最大.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之差小于第三边）即 ②求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接交于点，连接,则点即为所求点，此时最小.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之和大于第三边）即 典型例题1．已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A．5 B． C． D． 破解： 如图所示：圆的圆心为，圆的圆心为， 因为，则点为直线上一点，其与坐标轴交于点， 连接，， 要求的最小值，即求的最小值， 明显四边形为正方形，则点关于直线的对称点为， 连接则，又， 则的最小值为.故选：D. 典型例题2．已知点，，在轴上找一点使最大，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 破解：如下图所示： 作点关于轴的对称点，由对称性可知，则. 当、、三点不共线时，由三角形三边关系得； 当、、三点共线时，. 所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 此时，直线的斜率为， 直线的方程为，即， 在直线的方程中，令，解得，即点.故选：D. 1．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 4．已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 7．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 9．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 10．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：有关圆的三类切线问题 第一类：求过圆上一点的圆的切线方程的方法 正规方法： 第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为 第三步：利用点斜式求出切线方程 注意：若则切线方程为，若不存在时，切线方程为 秒杀方法： ①经过圆上一点的切线方程为 ②经过圆上一点的切线方程为 ③经过圆上一点的切线方程为 第二类：求过圆外一点的圆的切线方程的方法 方法一：几何法 第一步：设切线方程为，即， 第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出 方法二:代数法 第一步：设切线方程为，即， 第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出 注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出. 第三类：求斜率为且与圆相切的切线方程的方法 方法一：几何法 第一步：设切线方程为，即 第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出. 方法二:代数法 第一步：设切线方程为， 第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出 典型例题1．圆的方程为，过点的切线方程 破解：正规方法： 第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为 第三步：利用点斜式求出切线方程 秒杀方法： 经过圆上一点的切线方程为 典型例题2．圆的方程为，过点的切线方程 破解：正规方法： 第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率 圆的一般式转化为标准形式为 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为 第三步：利用点斜式求出切线方程 秒杀方法： 经过圆上一点的切线方程为 1．作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为 A． B． C． D． 3．圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．9 6．从原点O引圆C：的切线，当m变化时切点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 9．过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 10．过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型四：圆的最值问题两大技巧 技巧总结 形如：若是定圆上的一动点，则求和这两种形式的最值 思路1：几何法 ①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值 ②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值 思路2：代数法 ①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值. ②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值. 典型例题．已知为圆：上任意一点. (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 破解：(1)∵的圆心，半径， 设，将看成直线方程， ∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离， 解上式得：，∴的最大值为. (2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点， ∴，可得， ∴的最大值为，最小值为； (3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 则， ； 1．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．   3．已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 7．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 10．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线的对称和最值及圆的切线和最值问题（重要题型） 题型一：直线有关对称问题 ①点关于线对称的点的求算 点关于直线的对称点为 ②线关于点对称的直线求算 直线关于点对称的直线为 ③线关于线对称的直线方程求算 直线关于直线对称直线为其中 典型例题1．点A（1,2）关于直线的对称点是_________. 破解：法一：正规方法 设对称点为，由题意可知，所以对称点为（3,0） 方法二：特殊形式的秒杀 点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 求对称点的横坐标，即将已知点的纵坐标代入即可 方法三：点关于线对称的点的求算 典型例题2．已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． 破解：正规方法 由题意知，设直线， 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 于是有，解得，即． 把点代入的方程，得，所以直线的方程为． 秒杀1：高端结论 直线关于直线对称直线为其中 其中 所以直线的方程为． 1．已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 4．直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 5．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 6．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设，关于对称的点必在上，若该点为， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C 7．直线关于原点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程. 【详解】点在直线上，则在所求直线上 所求直线的斜率，则所求直线方程为 故选：A 8．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得. 【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 10．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 题型二：直线有关最值问题 技巧总结 ①求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接并延长交于点，连接,则点即为所求点，此时最大.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之差小于第三边）即 ②求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接交于点，连接,则点即为所求点，此时最小.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之和大于第三边）即 典型例题1．已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A．5 B． C． D． 破解： 如图所示：圆的圆心为，圆的圆心为， 因为，则点为直线上一点，其与坐标轴交于点， 连接，， 要求的最小值，即求的最小值， 明显四边形为正方形，则点关于直线的对称点为， 连接则，又， 则的最小值为.故选：D. 典型例题2．已知点，，在轴上找一点使最大，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 破解：如下图所示： 作点关于轴的对称点，由对称性可知，则. 当、、三点不共线时，由三角形三边关系得； 当、、三点共线时，. 所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 此时，直线的斜率为， 直线的方程为，即， 在直线的方程中，令，解得，即点.故选：D. 1．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：    设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为， 故选：D 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【详解】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：D 4．已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得关于x轴的对称点，由此求得直线的方程，进而求得的坐标. 【详解】因为关于x轴的对称点为， 所以所在的直线方程为， 即， 令得，所以. 故选：B 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解. 【详解】 如图，设关于直线对称的点为， 则有 ，可得，可得， 依题意可得“将军饮马”的最短总路程为， 此时， 故选：B. 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为， 由题意可得，解得，即点， 在直线上取点，由对称性可得， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为. 故选：C. 7．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求得点关于直线的对称点，再由 “将军饮马”的最短总路程为求解. 【详解】点关于直线的对称点为， 则， 解得， 所以， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点，则为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点． 根据题意，为最短距离，先求出的坐标． 的中点为，直线的斜率为1， 故直线的方程为，即． 由，联立得，， ，则， 故， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故选：C． 9．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 设点关于直线的对称点， 连接，则即为的最小值，且. 故选：. 10．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 题型三：有关圆的三类切线问题 第一类：求过圆上一点的圆的切线方程的方法 正规方法： 第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为 第三步：利用点斜式求出切线方程 注意：若则切线方程为，若不存在时，切线方程为 秒杀方法： ①经过圆上一点的切线方程为 ②经过圆上一点的切线方程为 ③经过圆上一点的切线方程为 第二类：求过圆外一点的圆的切线方程的方法 方法一：几何法 第一步：设切线方程为，即， 第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出 方法二:代数法 第一步：设切线方程为，即， 第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出 注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出. 第三类：求斜率为且与圆相切的切线方程的方法 方法一：几何法 第一步：设切线方程为，即 第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出. 方法二:代数法 第一步：设切线方程为， 第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出 典型例题1．圆的方程为，过点的切线方程 破解：正规方法： 第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为 第三步：利用点斜式求出切线方程 秒杀方法： 经过圆上一点的切线方程为 典型例题2．圆的方程为，过点的切线方程 破解：正规方法： 第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率 圆的一般式转化为标准形式为 第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为 第三步：利用点斜式求出切线方程 秒杀方法： 经过圆上一点的切线方程为 1．作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】判断点在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可. 【详解】将点代入圆的方程：，所以点在圆上， 因为：圆心，所以直线的斜率：， 所以：切线的斜率为：，的方程为：，即：， 又因为：直线与直线平行， 所以：. 所以：直线与直线的距离：，故A项正确. 故选：A. 2．已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程. 【详解】的圆心为，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，故不是圆的切线， 当过的直线斜率存在时，设直线方程为， 则，解得， 则直线方程为，化为一般式为. 故选：A 3．圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程， 易知圆心，半径，所以到的距离为， 解之得，即切线. 故选：A 4．已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】易得点在圆上，故切线只有一条，且与直线垂直，根据的值，可求出切线的斜率，继而求得倾斜角. 【详解】因为在圆O上，则切线只有一条， 圆心为，所以， 所以过M的切线l的斜率为， 设切线的倾斜角为，则， 由于，故， 即， 故选：D． 5．已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解． 【详解】易知圆在点处的切线的方程为， 所以，，， 所以， 当且仅当，时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：C. 6．从原点O引圆C：的切线，当m变化时切点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知，设，表示出三个线段的长度，代入等式整理即得． 【详解】根据题意画出示意图，圆心，半径， 设切点的坐标为，由切线的性质可知 ，，， 所以点的轨迹方程为 故选：C． 7．设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据圆的方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离为半径求出与圆相切的直线斜率，如图，结合过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB可得，即可求解. 【详解】由圆，知圆心，半径， 设过点且与圆相切的直线方程为，即， 则点到切线的距离为， 解得或，所以， 因为过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB， 所以，得. 故选：B. 8．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程. 【详解】由圆心为，半径为， 斜率存在时，设切线为，则，可得， 所以，即， 斜率不存在时，显然不与圆相切； 综上，切线方程为. 故选：C 9．过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质，可求出直线的斜率，最后用点斜式可求出直线方程. 【详解】由题意点为切点，所以，又，所以，因此直线l的方程为． 故选：D 10．过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C， 圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3）， 又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上， 则，则切线的斜率k＝1， 则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0； 故选：C． 题型四：圆的最值问题两大技巧 技巧总结 形如：若是定圆上的一动点，则求和这两种形式的最值 思路1：几何法 ①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值 ②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值 思路2：代数法 ①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值. ②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值. 典型例题．已知为圆：上任意一点. (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 破解：(1)∵的圆心，半径， 设，将看成直线方程， ∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离， 解上式得：，∴的最大值为. (2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点， ∴，可得， ∴的最大值为，最小值为； (3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 则， ； 1．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 2．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    3．已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 4．已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和. 【详解】由已知直线，分别过定点，， 当时，：，：，交点为， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：. 5．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】因为、在圆上， 所以，，， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形，   表示、到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， ，， 故在圆上，. 故的最小值为. 故选：D. 6．已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据直线和的方程得到点为以为直径的圆上的点，然后根据三角形面积公式得到当点到直线的距离最大时，的面积最大，然后求最大值即可. 【详解】 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以， 所以点为以为直径的圆上的点， ，中点为， 则点的轨迹方程为， ， 所以当点到直线的距离最大时，的面积最大， ，直线的方程，即， 设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为， 则， 所以的面积最大值为. 故选：B. 7．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据表达式的几何意义求解即可. 【详解】解：设，，为坐标原点，，， 由，，，    可得，两点在圆上，且， 即有，即三角形为等边三角形，， 的几何意义为： 点两点到直线的距离与之和， 设中点为，则距离与之和等于到直线的距离的倍， 圆心到线段中点的距离，圆心到直线的距离， 所以到直线的距离的最大值为， 则的最大值为， 故选：D． 8．设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】曲线，其中，，即，， 曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆. 因为圆心到直线的距离， 故半圆上一点到直线的最小距离， 半圆上点到直线的距离最大， 则的取值范围为， 故选：B. 9．已知实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】D 【分析】依题意可得，即可得到点在圆上，又点到直线的距离，利用圆心到直线的距离求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，圆心为，半径， 则点到直线的距离， 则， 要求的最小值，即求的最小值的平方， 又到直线的距离， 所以，所以 则的最小值为. 故选：D 10．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】最小值满足四边形的面积最小，可转化为动点到点的距离最小值，即可求解． 【详解】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示，    连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$