专题07 因式分解的意义（三大题型，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

专题07 因式分解的意义（三大题型，30题） 目录 题型一：判断是否是因式分解 1 题型二：已知因式分解的结果求参数 5 题型三：公因式 10 一、题型一：判断是否是因式分解 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．下列因式分解中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、题型二：已知因式分解的结果求参数 11．若是多项式因式分解的结果，则的值为（    ）． A． B．3 C． D．6 12．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 13．如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．0 14．若是多项式的一个因式，则 ． 15．已知多项式能分解为，则 ， ． 16．已知是的一个因式，则 ． 17．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 18．若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 19．把多项式分解因式得，求a、b的值． 20．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 三、题型三：公因式 21．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 22．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 23．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 24．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 25．用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（   ） A． B． C． D． 26．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 27．多项式，与的公因式为 ． 28．整式和的公因式为 . 29．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 30．与的公因式是 ． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 因式分解的意义（三大题型，30题） 目录 题型一：判断是否是因式分解 1 题型二：已知因式分解的结果求参数 5 题型三：公因式 10 一、题型一：判断是否是因式分解 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 2．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，解题的关键是正确理解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、是完全平方公式运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、分解不完全，不符合题意； 故选：． 5．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐项判断即可；掌握把一个多项式分解为几个多项式的乘积的形式叫做因式分解成为解题的关键． 【详解】解：A、，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C、属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，符合题意． 故选：D． 7．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、选项因式分解错误，不符合题意； C、不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解且分解正确，符合题意； 故选：D． 8．下列因式分解中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项等号右边利用整式乘法展开，看与等号左边的多项式是否相等即可得解． 本题主要考查了因式分解．因式分解与整式乘法是互逆关系．判断因式分解是否正确可以将等号右边用整式乘法展开，看与等号左边的多项式是否相等．熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 【详解】A. 左边，右边，左边右边，故A选项错误； B. 左边，右边，左边右边，故B选项错误； C. 左边 ，右边，左边右边，故C选项正确； D. 左边，右边，左边右边，故D选项错误． 故选：C． 9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； ．等式左右不相等，故本选项不符合题意； ．等式左右不相等，故本选项不符合题意； ．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意； 故选：． 10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A.是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B.右边结果不是积的形式，不符合题意； C.是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D.属于因式分解，符合题意． 故选：D． 二、题型二：已知因式分解的结果求参数 11．若是多项式因式分解的结果，则的值为（    ）． A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先计算，由即可求得的值． 【详解】解：， 由题意得，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 12．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先设原式，进而求出即可． 【详解】解：原式 故，，， 解得：，，或，，， ∴． 故选C． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 13．如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查多项式的乘法运算，熟记运算法则是关键． 14．若是多项式的一个因式，则 ． 【答案】2 【分析】设多项式的另一个因式是，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案． 【详解】解：设多项式的另一个因式是， ∴， ∴，，即，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键． 15．已知多项式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 16．已知是的一个因式，则 ． 【答案】 【分析】设另一个因式是根据多项式乘多项式法则求出，根据多项式乘多项式得出，再求出答案即可． 【详解】解：设另一个因式是 则， ， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键． 17．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 18．若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 19．把多项式分解因式得，求a、b的值． 【答案】 【分析】根据整式的乘法运算将化为，根据可知，，求出a、b的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查分解因式的知识及整式的乘法，正确计算出整式乘法的式子得出，是解答本题的关键． 20．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 三、题型三：公因式 21．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 22．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 23．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式； 【详解】与的公因式是， 故选：D． 【点睛】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 24．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 25．用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键． 根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母并且取相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【详解】 ， 故选：D． 26．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 【答案】2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 27．多项式，与的公因式为 ． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 28．整式和的公因式为 . 【答案】 【分析】本题考查确定公因式，先对进行因式分解，再根据确定公因式的方法：“①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式；③定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂”，求解即可． 【详解】解：∵， ∴和的公因式为， 故答案为：． 29．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 30．与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，进行判断即可． 【详解】解：与的公因式是； 故答案为：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$