期中真题精选（压轴题3大题型45题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

期中真题精选（压轴题3大题型45题） 目录 一、压轴一：整式的加减 1 二、压轴二：整式的乘除 17 三、压轴三：因式分解 38 一、压轴一：整式的加减 1．按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 3．有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（　　） A． B． C． D． 6．排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记；甲方第二轮发球时，小花站在号位置，，这场比赛甲方发了21轮球，则的值为 ． 7．对于一个三位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若百位数字与个位数字的和与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“和差一数”．若百位数字与个位数字和的两倍与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“倍差一数”．例如：自然数463，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以463是“和差一数”；自然数392，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以392是“倍差一数”，则最小的“和差一数”为 ；若“和差一数”s的百位数字为3，“倍差一数”t的个位数字为1，且能被7整除，则满足条件的最大的s为 ． 8．对于任意正整数，若为偶数则除以2，若为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数，变换次数，当时，则的最小值为 ． 9．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“亚运冠军数”，例如：自然数4312，其中，，，所以4312是“亚运冠军数”； （1）自然数5413是否是“亚运冠军数”？答： ．（填“是”或“否”）； （2）若一个“亚运冠军数”的后三位数字所表示的数减去千位数字所表示的数的6倍得到的结果除以13余2，则符合要求的“亚运冠军数”是 ． 10．探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 11．阅读材料 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是______，最大的“欢喜数”是______； (2)若某“欢喜数”的百位数字为，十位数字为，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”为奇数，且十位数字比个位数字大6，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”． 12．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 13．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 14．[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 15．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2 3 4 5 (1)若时，则S的值为______． (2)根据表中的规律猜想：用含n的式子表示S为：______． (3)根据（2）中的规律计算：的值． 二、压轴二：整式的乘除 16．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 19．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 20．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 21．下列说法正确的有 ．（选序号） ①若，则满足条件的值有3个． ②若，，则用含的代数式表示为． ③已知，则的值是34． ④1，2，3，，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． 22．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 23．设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是 ． 24．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 25．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 26．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 27．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 28．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 29．阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M； 条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M； 我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． 又例如： ， 由于，所以，（不满足条件②） 故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 30．阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 三、压轴三：因式分解 31．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A．45 B．63 C．54 D．不确定 32．多项式的最小值为 ． 33．已知，，那么 ， ． 34．如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形AEFG的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为 ． 35．阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：______；_____ 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 36．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 37．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 38．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题． (1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数； (2)分解因式：； (3)已知实数，满足，求的最小值． 39．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 40．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙． (1)_______，__________（用含a、b的代数式分别表示）； (2)利用（1）的结果，说明、、的等量关系： (3)应用所得的公式计算： (4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系． 41．阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 42．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 43．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 44．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 45．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． (1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次； (2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　； (3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　． (4)请利用以上规律计算：（1+2x）3． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题精选（压轴题3大题型45题） 目录 一、压轴一：整式的加减 1 二、压轴二：整式的乘除 17 三、压轴三：因式分解 38 一、压轴一：整式的加减 1．按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键． 【详解】解：分子，，，，的规律为， 分母，，，，的规律为， 符号的规律为， 故第个数为， 故选：． 2．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 3．有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．①根据第三次操作后整式的个数判定；②根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；③、④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答即可 【详解】解：①原整式为：， 第1次操作后所得整式串为：， 第2次操作后所得整式串为：， 第3次操作后所得整式串为：，共有9个整式，故①错误； 第1次操作后整式串共有3个整式，， 第2次操作后整式串共有5个整式，，， 第3次操作后整式串共有9个整式，， 第4次操作后整式串共有17个整式，， ……， 第n次操作后整式串共有整式个数为：，②正确； 第1次操作后所得整式串为：x，2，，所有整式之和为：， 第2次操作后所得整式串为：x，，3，，，所有整式之和为：， 第3次操作后所得整式串为：x，3，，，3，，，，，所有整式之和为：， 第4次操作后所得整式串为：x，，3，，，3，，，3，，，，，，，，，所有整式之和为：， ……， 第n次操作后所得所有整式的和为：， 故操作第2024次操作后所有整式之和为：， 故③正确； ∴ ． ， 故④正确， 故选：A． 4．今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，掌握题目中人数的进出规律，列出算式是正确解答的关键． 【详解】解：从早晨时分，到上午时分共经历了个小时，即个“半小时”，因此进行次人员的进出，由进出人数的规律可得， 上午时分公园内的人数为： ， 故选：B． 5．如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律变化问题， 设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格，那么第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步跳到了5号位置上，依此类推可知：棋子移动了k次后走过的总格数是，讨论k的取值，找出不可能停棋的格子即可，根据棋子跳的总路程得到落脚处是解决本题的难点． 【详解】设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格， ∵棋子移动了k次后走过的总格数是， ∴这时S是整数，且使，分别取时，，是按照：循环的， 故第2，4，5格没有停棋， 即顶点C，E和F棋子不可能停到． 故选：C． 6．排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记；甲方第二轮发球时，小花站在号位置，，这场比赛甲方发了21轮球，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，根据题意列举发现发球轮数与所占位置的规律是解题关键．分别列举出发球与所占位置的规律，进而得出两者之间的数字规律进而得出答案． 【详解】解：小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑥号位置，则； 第2轮发球时，站在⑤号位置，则； 第3轮发球时，站在④号位置，则； 第4轮发球时，站在③号位置，则； 第5轮发球时，站在②号位置，则； 第6轮发球时，站在①号位置，则； 第7轮发球时，站在⑥号位置，则； 第8轮发球时，站在⑤号位置，则； 由此可得，每6轮重复出现相应的位置上， ，， ． 故答案为：78 7．对于一个三位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若百位数字与个位数字的和与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“和差一数”．若百位数字与个位数字和的两倍与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“倍差一数”．例如：自然数463，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以463是“和差一数”；自然数392，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以392是“倍差一数”，则最小的“和差一数”为 ；若“和差一数”s的百位数字为3，“倍差一数”t的个位数字为1，且能被7整除，则满足条件的最大的s为 ． 【答案】 243 397 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，熟练掌握数的特点，理解三个数位上数字之间的关系是解题的关键．根据“和差一数”的定义求出最小数，设“和差一数”s的个位数字为a（且是整数）；“倍差一数”t的百位数字为b（且是整数）；则“和差一数”s的十位数字为；“倍差一数”t的十位数字为；由已知条件求出满足条件的a、b；从而得出结论． 【详解】解：根据“和差一数”的定义可知：“和差一数”的百位上的数字和个位上的数字不能有1；否则十位上的数字就会重复； ∴最小的和差一数的百位数字为2，个位数字为3， ∴十位数字为：， ∴最小的和差一数为243； 故答案为：243； 若“和差一数”s的百位数字为3；“倍差一数”t的个位数字为1； 设“和差一数”s的个位数字为a（且即且是整数）； “倍差一数”t的百位数字为b（且是整数）； 则“和差一数”s的十位数字为； “倍差一数”t的十位数字为； ； ； ； ； 能被7整除；且是整数， 且是整数； ∴满足条件的a、b有、、； ∴满足条件的s有：、、（舍去）； 即s可为397或364． ∴最大数为397； 故答案为：397． 8．对于任意正整数，若为偶数则除以2，若为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数，变换次数，当时，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算，倒推出运算过程是解题的关键．采取倒推的方法，将可能的运算路线都找到即可． 【详解】解：由输出结果是1，倒推得到： ， ， ， ， ∴则n的可能值有4个，最小值为3， 故答案为：3． 9．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“亚运冠军数”，例如：自然数4312，其中，，，所以4312是“亚运冠军数”； （1）自然数5413是否是“亚运冠军数”？答： ．（填“是”或“否”）； （2）若一个“亚运冠军数”的后三位数字所表示的数减去千位数字所表示的数的6倍得到的结果除以13余2，则符合要求的“亚运冠军数”是 ． 【答案】 是 4312或8440或7707 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的运算，整数数位上的数字的特征， （1）利用“亚运冠军数”的定义判断即可； （2）设这个“亚运冠军数”的百位数字为，十位数字为，利用已知条件得到为13的倍数，再利用数位上的数字的特征求得，的值，则结论可求． 本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 【详解】解：（1），，， 自然数5413是“亚运冠军数”， 故答案为：是； （2）设这个“亚运冠军数”的百位数字为，十位数字为，则， 由题意可得：千位数字为，个位数字为， 后三位数字所表示的数为， 后三位数字所表示的数减去千位数字所表示的数的6倍得到的结果为． 后三位数字所表示的数减去千位数字所表示的数的6倍得到的结果除以13余2， 为13的倍数． ， 是整数， 是13的倍数， ，，， ． 或． 当时，由于， ，， 这个“亚运冠军数”为4312； 当时，由于， ，或，． 这个“亚运冠军数”为8440或7707． 综上，符合要求的“亚运冠军数”是4312或8440或7707． 故答案为：4312或8440或7707． 10．探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，即，，，……，，将等式左右同时相加得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴， ， ， …… ， ， 将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．阅读材料 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是______，最大的“欢喜数”是______； (2)若某“欢喜数”的百位数字为，十位数字为，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”为奇数，且十位数字比个位数字大6，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”． 【答案】(1)110，990 (2)见解析 (3)为671或693 【分析】此题考查学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，整式加减混合运算的应用．解题的关键是理解“欢喜数”的定义． （1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”即可； （2）由题意可得出，即证明这个“欢喜数”是11的倍数； （3）根据十位数字比个位数字大6，和“欢喜数”的定义可得出该“欢喜数”的百位数字为6，且个位数字小于等于3．再根据该“欢喜数”为奇数，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由“欢喜数”的定义可知最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990． 故答案为：110，990； （2）解：由题意可知该“欢喜数”是， ∴， ∴这个欢喜数是11的倍数； （3）解：∵十位数字比个位数字大6， ∴该“欢喜数”的百位数字为6，且个位数字小于等于3． ∵该“欢喜数”为奇数， ∴该“欢喜数”的个位数字为奇数， 分类讨论：①当“欢喜数”的个位数字为1时，则此时十位数字为，即该“欢喜数”为671； ②当“欢喜数”的个位数字为3时，则此时十位数字为，即该“欢喜数”为693． 综上可知为671或693． 12．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)10， (2)13， (3) 【分析】（1）根据题意第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点，第n次继续增画点后，，用代数式表示即可； （2）第2次画点后，在原基础上增加了2个点，就增加了个小三角形，，第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，根据，，，可以推出； （3）由（2）可推得，两式相减，去括号化简即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得：第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第n次继续增画点后，， 也可以写成， ∴(共有n个这样的数) ∴ 故答案为：10，； （2）解：第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，， 第4次画点后，在原基础上增加了4个点，就增加了个小三角形，， 根据，，，， ∵，，， ∴ 故答案为：13，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有变化，分析其联系与区别，有时需要多画出几个图形进行观察，归纳时要注意数形结合思想． 13．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 14．[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查数字的变化规律． （1）通过观察可得原式，再运算即可； （2）通过观察可得原式，再运算即可； （3）由，，，推出，，，据此求解即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； （3），理由如下， ∵，，，，， 又∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 即， ∴． 15．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2 3 4 5 (1)若时，则S的值为______． (2)根据表中的规律猜想：用含n的式子表示S为：______． (3)根据（2）中的规律计算：的值． 【答案】(1)72 (2) (3)10302 【分析】本题考查了数字规律，观察表格发现连续的偶数相加的和，等于加数的个数乘加数的个数加1，据此规律即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）加到时，加数的个数为：个 ； （3）加到时，加数的个数为：个 原式 二、压轴二：整式的乘除 16．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 17．关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项与系数等知识．熟练掌握多项式乘以多项式，多项式的项与系数是解题的关键． （1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可． 【详解】解：∵是关于的二次整式， ∴至少有一个为2， 当时，；此时的值为； 当时，；此时的值为； 综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求； ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，共3项； ∴，， ∴，共项； ∴，， ∴，共项； …… ∴可推导，，共项； ，共项； ，共项； ，共项； ∴，共项．④正确，故符合要求； 故选：D． 18．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由圆面积公式计算即可． 【详解】解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：B． 19．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 20．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先求得，再求得，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 设， ∴， ∵x，y为实数， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对于，当时，S有最大值， 当时，S有最小值， ∴的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 21．下列说法正确的有 ．（选序号） ①若，则满足条件的值有3个． ②若，，则用含的代数式表示为． ③已知，则的值是34． ④1，2，3，，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． 【答案】②③/③② 【分析】①分三种情况讨论，，，，计算后看符合题意的有几个； ②根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算，然后等量代换； ③先把化为的形式，然后计算，求出最后结果； ④设两个自然数的平方差求出的取值范围，分析与同奇同偶，进而得到这个数是奇数或是4的倍数，求出表示成某两个自然数的平方差的数的个数，再求出不能表示成某两个自然数的平方差的个数． 【详解】解：①若， ，则，不合题意 ，则， ，则，不合题意， 满足条件的值有1个， 故①不符合题意； ②， ， ， ， ， 即用含的代数式表示为， 故②符合题意； ③， ， ， ， ， 故③符合题意； ④设两个自然数的平方差， 与同奇同偶， 这个数是奇数或是4的倍数， 在1，2，3，，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的有14个， 不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：个， 故④不符合题意； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算、二元一次方程的解，掌握法则的应用，③的拆项法是解题关键． 22．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 23．设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是 ． 【答案】179 【分析】由题意可得，则，设有个1，个0，个，则，即可求解． 【详解】∵， ， ， ， 设有个1，个0，个， ∴， ， ，，，中为0的个数是179， 故答案为：179． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给是数，利用完全平方公式找到数的规律是解题的关键． 24．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 25．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)0 (3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 26．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 27．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【答案】(1)8，7，128 (2)①357；②；③4051 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【详解】（1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 28．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【详解】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 29．阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M； 条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M； 我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． 又例如： ， 由于，所以，（不满足条件②） 故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）将x看作常数进行配方，可将变型为，问题随之得解． 【详解】（1）， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． （2）∵代数式的下确界是1， ∴设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3） ， ，， （满足条件①） 当，，即，时，（满足条件②） 是的下确界． 30．阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【详解】（1） ， 整理得：， ， ； （2）的倒数为， ， ． 三、压轴三：因式分解 31．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A．45 B．63 C．54 D．不确定 【答案】B 【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m）， ∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m）， ∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m）， ∴n﹣2＝9，m＝， ∴n＝11，m＝63． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 32．多项式的最小值为 ． 【答案】18． 【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值． 【详解】解：， =， =， ∵， ∴的最小值为18； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值． 33．已知，，那么 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵m≠2n， ∴ ∴m＋2n＝−1； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案是：−1；0． 【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键． 34．如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形AEFG的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为 ． 【答案】 【分析】根据可设a＝3x，b＝2x，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝ 6x2，再根据即可列出等式化简整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根据长方形的周长公式即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴设a＝3x，b＝2x， 则AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4， ∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2 ＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2 ＝38x2－80x＋48， S2＝ab＝3x·2x＝6x2， 又∵， ∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44， ∴114x2－240x＋144＋30x2＝44， ∴144x2－240x＋100＝0， ∴36x2－60x＋25＝0， ∴（6x－5）2＝0， 解得：x＝， ∴C长方形AEFG＝2（a＋b） ＝2（3x＋2x） ＝10x ＝10× ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及用完全平方公式进行因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 35．阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：______；_____ 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]≥；[拓展提升] 【分析】[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可； [知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可； [拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可． 【详解】解：[初步尝试] ， ∴≥； ， ∴≤； [知识应用] = = =≥0 ∴≥； [拓展提升] = = = = 当a=1，b=时，原式=0， ∴≥0， ∴． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键． 36．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1 【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解； （2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； （3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值． 【详解】解：（1）x2-4x-5 =（x-2）2-9 =（x-2+3）（x-2-3） =（x+1）（x-5）， 故答案为：（x+1）（x-5）； （2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5， ∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴a-2b=0，b-1=0， ∴a=2，b=1． 【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． 37．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 【答案】(1)；（2）画图见解析，；（3）266． 【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可； (2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果； (3)根据题意列出方程，求出即可． 【详解】解：(1)用面积和差计算得：； 用长方形面积公式计算得：； 可得等式为：； (2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示： 根据面积公式可得，； (3) （2）中拼成的长方形周长为66，则， 解得，， ∴，即， 图1中小长方形的面积为24，则， 则， ； 拼成的长方形面积是266． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键． 38．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题． (1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数； (2)分解因式：； (3)已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答； （2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： = =， ∵，， ∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数； （2）解： = = =； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴当a=2时，a+b有最小值为1， ∴a+b的最小值为1． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键． 39．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种： (2) (3)16 【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答； （2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：第一种：； 第二种：； 第三种：； （2），， ， ， ， ，， ； （3）， ， ， ， ， 解得． 当，时，代数式的最小值是． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题． 40．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙． (1)_______，__________（用含a、b的代数式分别表示）； (2)利用（1）的结果，说明、、的等量关系： (3)应用所得的公式计算： (4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据长方形的面积计算公式及正方形的面积计算公式进行计算，即可得出结论． （2）利用图甲与图乙的面积相等，即可得到． （3）根据（2）得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得到结论． （4）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到、、ab三者的等量有关系． 【详解】（1）解：由题意可得：；， 故答案为：；； （2）∵图甲与图乙的面积相等， ∴、、的等量关系为：； （3） ； （4）如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形． 图②中大正方形的面积为：， 图②中四个小长方形的面积与中间小正方形的面积和为：， ∴ 【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，运用几何图形直观理解平方差公式，解决完全平方公式的推导过程，熟练掌握相关的公式并灵活运用是解题关键． 41．阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2 【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可； （2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可； ②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可． 【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）； （2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16， A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2， 所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2； ②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3， 即B2-2B-3=（B-3）（B+1） =（m2-2m-3）（m2-2m+1） =（m-3）（m+1）（m-1）2， 所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2． 【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 42．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析 【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”； （2）利用53=22+72即可判断； （3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可； （4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断． 【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， 故答案为：2或5或8（写一个即可）； （2）53=22+72，故53是“完美数”， 故答案为：是； （3）k=5（答案不唯一）， 理由：∵M=x2+4x+k ∴M=x2+4x+4+k-4 M=（x+2）2+k-4 则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5． （4）设m=a2+b2，n=c2+d2， 则有mn=（a2+b2）（c2+d2） =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd =（ac+bd）2+（ad-bc）2 故mn是一个“完美数”． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 43．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1 【分析】（1）大正方形的面积等于6个长方形和3个小正方形的面积和； （2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积； （3）①将（1）式子变形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解． 【详解】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2， 9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2， 阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc， ∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc； （3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴ab+bc+ca=0； ②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc， 1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴a3+b3+c3-3abc=1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用；根据一个图形面积的不同求法，利用面积相等，得到相应的表达式，再将表达式进行适当的变形，用代入法求值是解题关键． 44．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)4045； (4)9800 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性； （3）根据（2）的结论即可得到； （4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据以上规律，第4个等式为； 故答案为：； （2）解：根据这个规律猜想第n个等式为； 证明：， ∴猜想正确； （3）解：根据以上规律，； 故答案为：4045； （4）解： = ． 【点睛】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键． 45．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． (1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次； (2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　； (3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　． (4)请利用以上规律计算：（1+2x）3． 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2019，（1+x）2020 (3)（1+x）n+1 (4)8x3+12x2+6x+1 【分析】(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论； (2)结合(1)和阅读材料即可得结论； (3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可； (4)利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020， 故答案为：2019，（1+x）2020； （3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1] ＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2] ＝（1+x）n+1． 故答案为：（1+x）n+1； （4）（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$