专题09讲有理数及其运算150道计算题专项训练（15大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

该初中数学讲义以“有理数及其运算”为核心，构建了从基础概念到综合应用的完整知识体系。通过思维导图清晰呈现15大题型之间的逻辑关联，用表格对比加减乘除及混合运算的法则与技巧，帮助学生理解运算本质，把握符号规律和运算顺序，突出重难点如简便运算、实际应用与新定义运算的内在联系。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法指导”的创新设计，例如在题型六中引入“拆项法”计算技巧，引导学生从生活情境中抽象出数学模型，提升运算能力和推理意识。第7题利用带分数分离法简化计算，第62题通过卡片游戏强化正负数意义的理解，既面向全体又兼顾拔尖学生。每类题型均配有典型例题和易错点提示，支持学生自主复习，助力教师精准定位学情，实现分层教学与素养落地。

专题09讲有理数及其运算150道计 (15大题型) 题型预览 题型一有理数加法运算 题型二有理数加法在生活中的应用 题型三有理数加法运算律 题型四有理数的减法运算 题型五有理数的加减混合运算 题型六有理数的加减中的简便运算 题型七有理数加减混合运算的应用 题型八两个有理数乘法的运算 题型九多个有理数乘法的运算 题型十有理数乘法的实际应用 题型十一有理数的除法运算 题型十二有理数乘除混合运算 题型十三有理数四则混合运算 题型十四有理数乘方的运算 题型十五含乘方的有理数混合运算 只计算专项训练 【经典计算题一有理数加法运算】 1.(2025七年级上全国专题练习)计算： -》0: (2-375+3 算题专项训练 2.<2025七年级上全国专题练习)1)计算：(5-3引月 (2)计算：（-1.4+(-4.5). 3.（2025七年级上·全国.专题练习)计算： (1)20+(-12): (2)-8)+(-32): +: ④2 4.(2425七年级下·重庆永川阶段练习)阅读下面的文字： 天(-兮》进行汁第，我1可以用下面的方法 (7》君-7+〔》3+名4+写3号这种方法称为分商市分数法 3 你运用上面的方达计第：(》(7》14及〔0》】 5.（24-25七年级上·全国·课后作业)计算： (1)+3)+(-6)； (2-2.4)+10.8; (》5 ④+到-到 6.(25-26七年级上·全国·课后作业)阅读下面的计算方法. 计第：5+)+1+3 m:式-[++-+7+引3( --1+-9+-3]-r) 0 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算： -20mr-1o40w号- 7.（24-25七年级上·四川遂宁阶段练习)计算下列各式的值. (1)-22+15 (2)-12+0+(-8 (3)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+5.7 ④+4++6++-6 8.(2425六年级上上海期中)计第：（80+(5日+-075 9.（24-25七年级上·吉林长春期中)阅读下列材料： 计第：-5+17+3 解式[-列+[+7+引[+ -5+-9+(--〔（引+ =0- 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： o+2s5+5) e24引（0s引+4s0+》 10.(2024七年缀上北京专题练习)计第：-日+-5号》+24-3) ☑【经典计算题二有理数加法在生活中的应用】 11.(23-24七年级上山东青岛期中)请你将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入三阶幻方 中（每个数都要用且只用一次），使得每行、每列、每条对角线三个数之和都相等， 12.(23-24七年级上·福建泉州期末)某市为培育青少年科技的创新能力，举办了AI设计 比赛，小明设计了AI移动视频巡检车在直线轨道上做运动的一个雏形，规定：巡检车运动 前的位置为原点，向前运动为正方向，巡检车从开始运动至停止的记录为： +2,-3,-2,-11,+9.问：当巡检车运动停止时，停在哪个数的位置上？ -2 13.(23-24七年级上·重庆开州开学考试)某市目前的居民用电价格是每度0.52元.为了缓 解高峰时段用电紧张，鼓励市民免费安装分时电表实行峰谷电价，峰谷电价收费标准如下： 时段 峰时(8：00-21：00) 谷时(21：00-次日8：00) 每度电价（元） 0.55 0.35 小红家一个月大约用电120度，其中峰时用电量和谷时用电量的比是3：1.请通过计算说明， 小红家安装分时电表是否合算？ 14.(23-24七年级上·浙江绍兴阶段练习)文具店，小明家和书店依次坐落在一条东西走向 的大街上，已知文具店位于小明家西边200米处，书店位于小明家东边100米处，一天小明 从家里出发先去书店购书，然后再去文具店选购学习用品，最后回家学习. ()以小明家为原点，向东为正方向，取适当的长度为单位长度画一条数轴，在数轴上表示 文具店和书店的位置，并写出文具店和书店所表示的数字； (2)用求绝对值和的方法计算小明这一天所走的路程 15.(23-24六年级下·黑龙江绥化·期末)生活实际应用：下面是林林家二月份收支情况. 2月8日：妈妈领工资1600元 2月10日：交水电费180元 2月12日：林林买衣服用去60元 2月15日：爸爸领工资2200元 2月18日：去公园游玩用去50元 2月20日：妈妈买衣服用去150元 2月22日：爸爸买书报杂志用去130元 2月28日：本月伙食费合计用去820元 (1)请用正负数的知识填写下表 日期 2月8日 2月10日 2月12日 2月15日 2月18日 2月20日 2月22日 2月28日 收支情况 +1600 (2)尝试计算林林家2月份的结余. 16.(23-24七年级上·辽宁大连.期中)某班从学习、纪律、体育、劳动等方面进行小组加扣 分评价制度，每天以80分为标准，超过80分记作正数，不足80分记作负数，经过一周的学 习，一、二两个小组每天的得分如下表所示： 星期 二 三 四 五 组得分 2 3 -2 -24 15 二组得分 -6 -17 13 (1)请计算这两个小组本周的实际得分分别为多少？ (2)若一组有8名同学，二组有6名同学，求本周一组平均每人得分比二组平均每人得分多几 分？ 17.(22-23七年级下·上海嘉定阶段练习)超市里的罐装饮料常以6罐为一组售卖，如图1 是常见的一种捆绑方式的横截面示意图，外周用一根皮筋捆绑固定.己知每罐饮料罐体的直 径为6厘米. 图1 图2 (1)试求此种捆绑方式所用皮筋的长度（π取3.14，结果保留一位小数） (2)小明认为采用如图2的方式包装罐装饮料可以更节省皮筋长度，小明的说法是否正确？ 请通过计算说明理由. 18.(22-23七年级上·宁夏固原期中)如图是某旅游区景区示意图，在景区大门西侧还有景 区C,旅游观光车从景区大门出发到A景区和B景区，然后再到C景区，最后回到景区大 门. 2km 2.5km 西 景区大门 A景区 B景区东 (I)如果从B景区到C景区需要走8.5千米，以景区大门为原点写出各景区对应的数，并在 图中标出景区C的位置，用m表示观光车到过所有景区后第一次回到景区大门走过的路程， 求m (2)设A、B、C所表示的数字和为n,如果以A景区为原点，计算n; (3)若观光车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充好电而途中不充电的情 况下完成此次任务？请计算说明 19.(23-24六年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)萧红中学排球队购进一批新的排球，并对新 的排球进行了质量检测。有5个排球，以每个270克作为标准，超过的克数记作正数，不足 的克数记作负数。 +5 -3.5+0.7-2.5-0.6 (1)这5个排球中，求最接近标准的那个排球为多少克； (2)以每个排球270克为标准，这5个排球超过多少千克或者不足多少千克： (3)这五个排球店家需要快递寄给萧红中学，己知快递首重不超过1千克为12元，如果超过 1千克，按照每增加1千克增加2元，不足1千克按1千克计算，则店家需要付多少运费？ 20.(23-24七年级上·浙江丽水·期末)一辆出租车从A站出发，在一条东西走向的道路上行 驶，记向东行驶的路程为正，行驶的路程依次为（单位：km):十12，一8，十4，一13，一 6,-7. (1)通过计算说明出租车是否回到A站； (2)若出租车行驶的平均速度为50k/h,则出租车共行驶了多少时间？ 已【经典计算三有理数加法运算律】 21.（24-25七年级上·全国·课后作业)计算并比较每组两个算式的结果： (1)-5+(-6),（-6)+(-5): (2)3+(-6),（-6)+3: (3)[6+(-8)]+(+8),6+[-8)+(+8)]: (4)[15+(-15)]+(-7),15+[(-15)+(-7)]: 22.(2024七年级上全国.专题练习)计算： 专题09讲有理数及其运算150道计算题专项训练 （15大题型） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法在生活中的应用 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数的加减混合运算 题型六 有理数的加减中的简便运算 题型七 有理数加减混合运算的应用 题型八 两个有理数乘法的运算 题型九 多个有理数乘法的运算 题型十 有理数乘法的实际应用 题型十一 有理数的除法运算 题型十二 有理数乘除混合运算 题型十三 有理数四则混合运算 题型十四 有理数乘方的运算 题型十五 含乘方的有理数混合运算 【经典计算题一 有理数加法运算】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． （1）根据任何数与0相加仍得原数，即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数相加得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）计算：；             （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加即可． 【详解】解：（1 ）原式； （2 ）原式． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （1）根据有理数加法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则，进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． 参照题干的解题思路按照有理数的加法法则计算即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法，①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数． （1）根据有理数的加法法则计算即可 （2）根据有理数的加法法则计算即可 （3）根据有理数的加法法则计算即可 （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 7．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算； （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 8．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握拆项法是解题的关键： （1）利用拆项法进行计算即可； （2）利用拆项法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 10．（2024七年级上·北京·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【经典计算题二 有理数加法在生活中的应用】 11．（23-24七年级上·山东青岛·期中）请你将2，3，4，5，6，7，8，9，10填入三阶幻方中（每个数都要用且只用一次），使得每行、每列、每条对角线三个数之和都相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的加法，平均数的应用，明确“三阶幻方”中数字的特点是解题的关键．本题也可将数从小到大排序，最中间的数填入中心位置．根据“三阶幻方”中数字的特点：先求出最中间的数为6，再根据每行、每列、每条对角线三个数之和都等于18，大小匹配填写即可． 【详解】解： 由题意得：， 幻方中中间的数字为6， 每行、每列、每条对角线三个数之和都为， 在6的两侧的两个数的和应为， 如图所示： 3 10 5 8 6 4 7 2 9 12．（23-24七年级上·福建泉州·期末）某市为培育青少年科技的创新能力，举办了AI设计比赛，小明设计了AI移动视频巡检车在直线轨道上做运动的一个雏形，规定：巡检车运动前的位置为原点，向前运动为正方向，巡检车从开始运动至停止的记录为：．问：当巡检车运动停止时，停在哪个数的位置上？ 【答案】巡检车停在的位置上 【分析】本题考查了正负数的应用，在数轴上表示有理数，有理数加法的应用，掌握加法法则是关键；根据题意，把各个数相加即可． 【详解】解：依题意， ； 答；巡检车停在的位置上． 13．（23-24七年级上·重庆开州·开学考试）某市目前的居民用电价格是每度元．为了缓解高峰时段用电紧张，鼓励市民免费安装分时电表实行峰谷电价．峰谷电价收费标准如下： 时段 峰时（8：00—21：00） 谷时（21：00—次日8：00） 每度电价（元） 小红家一个月大约用电120度，其中峰时用电量和谷时用电量的比是．请通过计算说明，小红家安装分时电表是否合算？ 【答案】合算 【分析】小红家安装分时电表前的电费为元；安装分时电表时，峰时用电量和谷时用电量的比是，即峰时用是占全部用电量的，谷时用电量占全部用电量的，据此列式求得安装分时电表电费，比较后即可得解． 【详解】解：（元）； （元）， 元元， 小红家安装分时电表合算． 答：小红家安装分时电表合算． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是需要分情况探讨，明确题目中所给数量属于哪一种情况，由此选择正确的解题方法．此题考查了学生分析判断能力． 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）文具店，小明家和书店依次坐落在一条东西走向的大街上，已知文具店位于小明家西边200米处，书店位于小明家东边100米处，一天小明从家里出发先去书店购书，然后再去文具店选购学习用品，最后回家学习． (1)以小明家为原点，向东为正方向，取适当的长度为单位长度画一条数轴，在数轴上表示文具店和书店的位置，并写出文具店和书店所表示的数字； (2)用求绝对值和的方法计算小明这一天所走的路程． 【答案】(1)图见解析，文具店是－200，书店100 (2)小明这一天所走的路程600米 【分析】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可用数轴上的点表示数； （2）根据行走就是距离，可得所走的路程，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解：如图： 文具店是－200，书店100． （2）解：（米）， 答：小明这一天所走的路程600米． 【点睛】本题考查了绝对值和数轴的知识，第一问先用数轴上的点表示数，再写出文具店、书店表示的数；第二问距离就是所求路程． 15．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）生活实际应用： 下面是林林家二月份收支情况． 2月8日：妈妈领工资1600元   2月10日：交水电费180元 2月12日：林林买衣服用去60元 2月15日：爸爸领工资2200元 2月18日：去公园游玩用去50元 2月20日：妈妈买衣服用去150元 2月22日：爸爸买书报杂志用去130元 2月28日：本月伙食费合计用去820元 (1)请用正负数的知识填写下表: 日期 2月8日 2月10日 2月12日 2月15日 2月18日 2月20日 2月22日 2月28日 收支情况 +1600 (2)尝试计算林林家2月份的结余． 【答案】(1)填表见解析 (2)林林家2月份的结余2410元 【分析】（1）根据正负数的实际意义填表即可． （2）根据有理数加法的实际意义计算即可． 【详解】（1） 日期 2月8日 2月10日 2月12日 2月15日 2月18日 2月20日 2月22日 2月28日 收支情况 +1600 -180 -60 +2200 -50 -150 -130 -820 （2）元． 答：林林家2月份的结余2410元． 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解本题中正负数的实际意义是解题关键． 16．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）某班从学习、纪律、体育、劳动等方面进行小组加扣分评价制度，每天以分为标准，超过分记作正数，不足分记作负数，经过一周的学习，一、二两个小组每天的得分如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 一组得分 二组得分 (1)请计算这两个小组本周的实际得分分别为多少？ (2)若一组有名同学，二组有名同学，求本周一组平均每人得分比二组平均每人得分多几分？ 【答案】(1)这两个小组本周的实际得分分别为分、分； (2)本周一组平均每人得分比二组平均每人得分多分． 【分析】（）先求出所有记录的和，再计算总分；（）平均分相减即可，此题考查了正数和负数，根据有理数的加法求出所有记录的和是解题的关键． 【详解】（1）一组得分：， ， ； 二组得分：， ， ； 答：这两个小组本周的实际得分分别为分、分； （2）， ， 答：本周一组平均每人得分比二组平均每人得分多分． 17．（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）超市里的罐装饮料常以6罐为一组售卖，如图1是常见的一种捆绑方式的横截面示意图，外周用一根皮筋捆绑固定．已知每罐饮料罐体的直径为6厘米． (1)试求此种捆绑方式所用皮筋的长度（取3．14，结果保留一位小数） (2)小明认为采用如图2的方式包装罐装饮料可以更节省皮筋长度，小明的说法是否正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)此种捆绑方式所用皮筋的长度为厘米 (2)不正确；理由见解析 【分析】（1）如图，用四个拐角的弧长，加上四条线段的长度，即可求出皮筋的长度； （2）如图，用三个拐角的弧长加上三条线段的长度，求出皮筋的长度，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， ∵每罐饮料罐体的直径为6厘米， ∴半径为3厘米， 由图可知，橡皮筋的长度等于四个拐角的弧长，加上四条线段的长度， 每个拐角转了，四个拐角相当于转了， ∴四个拐角处的弧长之和等于一个圆的周长， ∴橡皮筋的长度（厘米）； ∴此种捆绑方式所用皮筋的长度为厘米； （2）解：不正确；理由如下： 如图， 由图可知，橡皮筋的长度等于三个拐角处的弧长加上三条线段的长度，三个拐角处，相当于转了，所以三个拐角处的弧长之和等于一个圆的周长， ∴橡皮筋的长度（厘米）； ∴两种捆绑方式所用的橡皮筋的长度相同， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查有理数加法的实际应用．正确的识图，确定橡皮筋长度的计算方法，是解题的关键． 18．（22-23七年级上·宁夏固原·期中）如图是某旅游区景区示意图，在景区大门西侧还有景区C，旅游观光车从景区大门出发到A景区和B景区，然后再到C景区，最后回到景区大门． (1)如果从B景区到C景区需要走8.5千米，以景区大门为原点写出各景区对应的数，并在图中标出景区C的位置，用m表示观光车到过所有景区后第一次回到景区大门走过的路程，求m； (2)设A、B、C所表示的数字和为n，如果以A景区为原点，计算n； (3)若观光车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务?请计算说明． 【答案】(1)17 (2) (3)不能，见解析 【分析】（1）根据题意画出点C位置，求出路程的和即可； （2）A表示0，B表示2.5，C表示，求出各个数字之和即可； （3），所以该电瓶车不能在一开始充好电而途由不充电的情况下完成此次任务． 【详解】（1）由题意A景区对应的数为2，B景区对应点数为4.5，C景区对应的数为， 如图所示： （千米）； （2）A表示0，B表示2.5，C表示， ∴； （3）∵， ∴该电瓶车不能在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务． 【点睛】本题考查数轴、有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）萧红中学排球队购进一批新的排球，并对新的排球进行了质量检测。有5个排球，以每个270克作为标准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数。 (1)这5个排球中，求最接近标准的那个排球为多少克； (2)以每个排球270克为标准，这5个排球超过多少千克或者不足多少千克； (3)这五个排球店家需要快递寄给萧红中学，已知快递首重不超过1千克为12元，如果超过1千克，按照每增加1千克增加2元，不足1千克按1千克计算，则店家需要付多少运费？ 【答案】(1)269.4克 (2)这5个排球不足0.0009千克 (3)店家需要付14元 【分析】（1）根据绝对值越小，越接近标准，再让标准克减去绝对值最小的数即可； （2）先求出5个排球的实际重量和标准5个排球的重量，然后相减，注意单位换算； （3）由实际重量1.3491千克可知为1千克和0.3491千克，根据快递收费标准计算即可． 【详解】（1）解：∵|-0.6|＜|+0.7|＜|-2.5|＜|-3.5|，270-0.6=269.4（克）， ∴这5个排球中，求最接近标准的那个排球为269.4克； （2）275+（270-3.5）+270.7+（270-2.5）+（270-0.6） =275+266.5+270.7+267.5+269.4 =1349.1（克）， 270×5=1350（克），1350-1349.1=0.9（克）=0.0009千克， ∴这5个排球不足0.0009千克； （3）∵1314.9克=1.3491千克， 1千克12元，超过的0.3491千克为2元，12+2=14（元）， ∴店家需要付14元运费． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的应用，解题的关键是注意单位换算． 20．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）一辆出租车从A站出发，在一条东西走向的道路上行驶，记向东行驶的路程为正，行驶的路程依次为（单位：km）：＋12，－8，＋4，－13，－6，－7． (1)通过计算说明出租车是否回到A站； (2)若出租车行驶的平均速度为50km/h，则出租车共行驶了多少时间？ 【答案】(1)出租车不能回到A站． (2)1小时 【分析】（1）只需将所有数加起来，看其和是否为0即可； （2）将出租车6次行驶的路程(绝对值) 相加，再根据时间=路程速度可得结论． 【详解】（1）解∶＋12＋（－8）＋4＋（－13）＋（－6）＋（－7）＝－18， ∴出租车不能回到A站； （2）解：， （小时） 答∶出租车共行驶了1小时． 【点睛】本题主要考查正数和负数的意义，绝对值的意义，理解正数和负数表示的是相反意义的量是本题解题的关键． 【经典计算题三 有理数加法运算律】 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算并比较每组两个算式的结果： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算的交换律和结合律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加法运算法则计算即可； （2）利用有理数的加法运算法则计算即可； （3）利用有理数的加法运算法则计算即可； （4）利用有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键． 依据“拆项法”计算即可； 【详解】解：原式 ． 23．（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握加法运算法则是解题的关键． （1）利用加法法则计算即可； （2）利用同号两数相加的法则计算即可； （3）先利用加法交换律和结合律运算，在运算有理数的加法解题； （4）先利用加法交换律和结合律运算，在运算有理数的加法解题． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 24．（23-24七年级上·广东广州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟记有理数的加法运算法则是解题关键． （1）根据加法交换律与结合律进行计算即可； （2）先都化为小数，再根据加法交换律与结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (5) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2500 (2)1000 【分析】本题主要考查了有理数加法运算律进行简便运算，掌握加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）先观察发现第1个数与第50个数，第2个数与第49个数，第3个数与第48个数……相加和都为100，然后进行计算即可； （2）可以利用有理数的结合律每两个数结合，即为1000个1即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是解题关键． （1）利用加法交换律和结合律计算即可解题； （2）利用加法交换律和结合律计算即可解题． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 29．（22-23六年级·上海·假期作业）计算：． 【答案】900 【分析】根据数字间的规律运用加法结合律进行解答即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了加法的结合律和数字间的规律，发现数字间的规律是解答本题的关键． 30．（22-23六年级·上海·假期作业）计算： 【答案】2623.4 【分析】根据加法交换律和结合律进行简算． 【详解】解： = = = =2623.4． 【点睛】本题考查了有理数的简便计算，解题的关键是找合适的简便方法计算． 【经典计算题四 有理数的减法运算】 31．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则进行计算即可，熟练掌握有理数的减法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 32．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法法则是解答的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 33．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】题目主要考查有理数的加减运算及求一个数的绝对值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值，然后计算减法即可； （2）先计算绝对值符号内的加减运算，然后求绝对值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（23-24七年级上·湖南长沙·期中） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据减去一个数等于加上它的相反数，进行计算即可． 【详解】解： ． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据绝对值的意义和有理数的减法法则进行计算即可 ． 【详解】解： ． 37．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于任意的两个有理数，定义.如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)6 (2)8 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数混合运算、化简绝对值等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ， ∴ 38．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算． (1)（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8）； (2)； (3)1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5）． 【答案】(1)15 (2)﹣2 (3)4.5 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）先统一成加法运算，然后进行计算即可得解； （3）根据有理数的减法运算法则转化为加法，然后进行计算即可得解． 【详解】（1）解：（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8） ＝﹣7+14+8 ＝﹣7+22 ＝15； （2）解：﹣1﹣（﹣）﹣（+） ＝﹣1+﹣ ＝﹣1﹣1 ＝﹣2； （3）1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5） ＝1.7+0.3+2.5 ＝2+2.5 ＝4.5． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键． 39．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】 40．（2024七年级上·全国·专题练习）“作差法”比较和大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用作差法得到，即可判断． 【详解】解： ． 【经典计算题五 有理数的加减混合运算】 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先统一成加法，再根据加法的交换律和结合律计算； （2）利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 43．（22-23七年级上·全国·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 44．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查带分数的减法运算，先计算括号内的减法，再计算括号外的减法；计算时需要将带分数化为假分数，然后通分进行计算． 【详解】解： 45．（23-24七年级上·广东清远·期中）计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算．按照从左到右的顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 46．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)90 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先根据去括号法则去括号，再算加减法即可； （2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律计算即可； （3）先根据绝对值的性质化简绝对值，再算加减法即可； （4）先算中括号里的式子，再根据加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 47．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 48．（22-23七年级上·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 49．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)5 (2)33 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求绝对值，再进行计算即可； （2）先求绝对值，再按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 50．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可； （2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【经典计算题六 有理数的加减中的简便运算】 51．（2025六年级上·上海·专题练习）用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键．把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 52．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数加减运算以及运算律，熟练掌握有理数加减运算法则是解题关键． 首先利用有理数加减运算律将原式转变为，然后根据有理数加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 53．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的加法运算．根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 54．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将分数进行拆解是解题的关键． （1）先把带分数进行拆解，再计算整数部分之和，分数部分之和，然后计算出最终结果． （2）将各个分数转化成，，等这样的形式，再将互为相反数的两个分数结合进行计算，只剩下，再计算得到结果． （3）将每个分数进行转化，得到，再将括号去掉，将互为相反数的结合进行计算，得到，最后计算出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 55．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数混合的运算，解题的关键是熟知其运算法则．将原式每一项提取公因数，再裂项，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 56．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相应有理数的加减运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键． （1）直接利用有理数的加法运算法则进行计算即可； （2）直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可； （3）先化简，然后将正负数分组，再分别进行加减运算； （4）先化简，然后将正负数分组，再分别进行加减运算； （5）先化简，然后将分母相同的有理数分组并进行计算得，再转化为进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 57．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算：用适当的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减混合运算法则一一计算即可． （1）先去括号，再从左到右依次计算即可． （2）先把小数化成分数，再把分母相同的部分进行加减运算即可． （3）先把小数化成分数，再把分母相同的部分进行加减运算即可． （4）先计算绝对值，把小数化成分数，再把分母相同的部分进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 58．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先运算绝对值，然后利用加法交换律和结合律计算解答即可． 【详解】解：原式 ． 59．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减的简便运算，利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 60．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查有理数加减运算中的简便计算，观察所给数据可知，从第2个数开始，每四个数字之和为0，由此可解． 【详解】解：原式 【经典计算题七 有理数加减混合运算的应用】 61．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）列式计算： (1)的相反数与的绝对值的差． (2)某市一天上午的气温是，下午上升，半夜又下降，问半夜的气温是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相反数和绝对值以及有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据相反数的概念、绝对值的性质计算； （2）根据题意列出算式，利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 答：半夜的气温为． 62．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有一种游戏，它的规则如下： 从若干张“△”和“○”卡片中分别抽取2张，若抽到“△”卡片就加上卡片上的数；若抽到“○”卡片就减去卡片上的数．4张卡片上的数经过运算后大的获胜．已知小明和小丽的起始数均为0，抽到的卡片如下： 试判断谁会胜出． 【答案】小丽会胜出 【分析】本题考查有理数的加减混合运算；根据游戏规则分别计算出小明和小丽所抽卡片上数字之和，比较大小即可得． 【详解】解：小明所抽卡片上的数字计算结果为： ； 小丽所抽卡片上的数字计算结果为： ∵， ∴小丽会胜出． 63．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表是某气象小组记录的5月20日至24日每天最高气温的变化情况，且19日的最高气温为（＋表示气温比前一天升高，－表示气温比前一天降低） 时间 20日 21日 22日 23日 24日 每一天最高气温的变化（与前一天比较） (1)请计算出5月22日的最高气温 (2)这五天中哪一天气温最高？哪一天气温最低？ 【答案】(1)31℃ (2)22日气温最高，21日气温最低 【分析】（1）19日的最高气温与表格中前三个数据进行相加，求解即可； （2）求出每一天的最高气温，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； 答：5月22日的最高气温是 （2）20日最高气温为：， 21日最高气温为：， 22日最高气温为：31℃， 23日最高气温为：； 24日最高气温为：； ∵， ∴22日气温最高，21日气温最低． 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 64．（22-23七年级上·福建福州·期中）如图为福州地铁2号线地图的站点图，规定从苏洋到洋里方向为正，从洋里到苏洋方向为负．某天，小明参加志愿者服务活动，从金山站出发开始，到P站出站为止，本次志愿者服务活动结束．小明当天乘车站数先后顺序依次记录如下（单位；站）： ． 请通过计算确定P站的具体名称． 【答案】P站的具体名称为水郡站 【分析】直接相加求出结果后根据正负好判断即可． 【详解】， 金山站向右六站为水郡站， 即P站的具体名称为水郡站． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算和正负号的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 65．（23-24七年级上·福建福州·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户，小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录为：，，，，，，（单位：km） （1）请计算说明小张最后是否回到了公司？ （2）小张这一天一共跑了多少公里？ （3）在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少公里？（直接写出答案） 【答案】（1）没有回到公司；（2）公里；（3）公里． 【分析】（1）把七个数值相加，再根据有理数加减混合运算的法则计算，如果计算结果是正数，则是离开最初的出发点向东，如果是负数，则是离开最初的出发点向西，如果等于0，则是回到最初的出发点； （2）求出七个数值的绝对值的和即可； （3）求出各站点离开出发点的距离，即可求出最远路程． 【详解】解：（1）（）， 答：小张最后没有回到公司； （2）（）， 答：小张这一天一共跑了公里； （3）， ， ， ， ， ， 答：小张离公司最远的距离是公里． 【点睛】本题主要考查的是正负和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 66．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）设表示不小于a的最小整数，如： (1)求的值； (2)令，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义以及有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表示不小于a的最小整数，先把每个式子化简，再运用加减混合法则进行运算，即可作答． （2）根据，化简的每个式子，再运用加减混合法则进行运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵表示不小于a的最小整数， ∴ ； （2）解：∵，表示不小于a的最小整数， ∴ ． 67．（23-24七年级上·江西赣州·阶段练习）赣南脐橙，江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三、全国最大的脐橙主产区．在赣南脐橙采摘的期间，吴大伯采摘了10箱赣南脐橙，它们的质量（单位：千克）称得如下： 10.3,9.7,9.2,9.6,10,10.3,10.5,10,10.4,9.9． (1)若每箱赣南脐橙以10千克为标准，超过10千克的千克数记为正数，不足10千克的千克数记为负数，则上述10箱赣南脐橙的质量数据后4个用正负数表示分别为________________． (2)求这10箱赣南脐橙的总质量． 【答案】(1) (2)千克 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算． （1）用原始数据减去10，列式计算即可． （2）先用原始数据减去10，后求新数据的和，根据总重量等于10倍的标准重量与新数据的和，计算即可． 【详解】（1）∵， ∴质量数据后4个用正负数表示分别为， 故答案为：． （2）∵， ∴新数据的和为：（千克）， ∴这10箱赣南脐橙的总质量为（千克）． 68．（23-24六年级上·山东泰安·期中）十月一国庆节是旅游旺季，某景区旅游观光小火车从起点站出发，途中停靠A、B、C、D四站，到达终点站后，乘客全部下车．某小火车从起点站到终点站，每一站乘客上、下车人数（单位：个）如表： 起点站 A站 B站 C站 D站 终点站 上车的人数 28 17 15 6 8 0 下车的人数 0 8 9 32 9 __________ (1)通过计算将表格填写完整；并回答本趟小火车行驶在哪两个相邻站之间，车上的乘客人数最多； (2)若观光小火车的收费标准为每人每站5元，这趟小火车能收入多少元？ 【答案】(1)16，小火车行驶在B站和C站之间时，车上的乘客最多 (2)这趟小火车能收入705元 【分析】（1）按照起点到A站，A到B站，B到C站，C到D站，D站到终点站，按照上加下减的法则计算即可． （2）计算车上人数的和，乘以单价即可． 【详解】（1）由题意得，起点到A站车上是28人， A到B站车上是人， B到C站车上是人， C到D站车上是人， D站到终点站车上是人， 终点站车上是人， 表格中“______”应填16；小火车行驶在B站和C站之间时，车上的乘客最多． （2）（元）， 答：这趟小火车能收入705元． 【点睛】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 69．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）计算： ① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第______次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置． 【答案】（1）①；②；（2）①第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，；②750 【分析】（1）①由每两个数为一组、其和为-1，共1010组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为-2，共505组，据此求解可得； （2）①根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共256组，据此求解可得．②找到小蚂蚁在正半轴爬行的规律，据此解答即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① 所以第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，对应的数为； ②小蚂蚁在正半轴爬行的规律为：第5次爬行到表示1的位置， 第6次爬行到表示的位置； 第9次爬行到表示1的位置， 第10次爬行到表示的位置； 第13次爬行到表示1的位置， 第14次爬行到表示的位置， 故小蚂蚁爬行第次均在表示1的位置， ∵， ∴第749次爬行到表示1的位置，第750次爬行到表示的位置． 故答案为：750 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． 70．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）小东的爸爸是出租车司机，为了计算汽车每千米的耗油量，某天上午，他从单位出发，在沿着南北方向行驶时详细记录了行车的路程情况．他规定向南为正，向北为负，下面是他这天上午行驶的路程记录（单位：千米）：， (1)已知该出租车这天上午共耗油升，你能计算出小东爸爸的出租车每千米的耗油量是多少吗？ (2)上午运营结束后，小东的爸爸应该向 行驶 千米返回单位． 【答案】(1)升/千米 (2)南，2 【分析】（1）根据题意求出这天上午行驶的路程，再用耗油量升除以行驶的路程即可； （2）把他这天上午行驶的路程记录的数相加即可解答． 【详解】（1）（千米）， （升/千米）， 答：小东爸爸的出租车每千米的耗油量是升/千米； （2）（千米）， 故上午运营结束后，小东的爸爸应该向南行驶2千米返回单位． 故答案为：南；2． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是注意理解相反意义的量的含义，耗油量＝行使的路程×单位耗油量． 【经典计算题八 两个有理数乘法的运算】 71．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）阅读下面的材料： 计算：， 解：． 应用：根据你对材料的理解，计算：． 【答案】 【分析】首先看懂题目所给例子的解题方法，再根据例子的方法进行计算即可．此题主要考查了有理数的乘法，关键是看懂所给题目例子的解题方法，注意结果符号的判断． 【详解】解： ． 72．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算；先算括号内的减法，再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 73．（23-24七年级上·河南焦作·期中）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：； 所以： 请计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可． （2）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：因为所以 74．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 75．（2024七年级上·全国·专题练习）（中考新考法·新定义）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法运算，弄清定义运算的实质是解题的关键； （1）根据新定义的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）． 76．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘法运算；理解新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； （2）按照新定义分步表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 77．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）定义一种新运算，观察下列式子：；；；． (1)填一填： ________， ________； (2)请你依照上述运算方法，求的值． 【答案】(1)12，； (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）仿照题干给定的运算方法进行计算即可； （2）根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：12，； （2） ． 78．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可； （2）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 79．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的A，B，C把数轴分成①②③④四部分，，点A，B，C对应的数分别是、、，且，． (1)原点在第______部分（填序号）． (2)比较：、、的大小． (3)若，且，求点表示的数． 【答案】(1)② (2) (3)表示的数为2 【分析】（1）由且得出，，从而得出原点的位置； （2）根据，，，得到，根据，，得到，即可得到； （3）根据非负数的性质求，，进而求出，根据求出，即可出点表示的数为． 【详解】（1）解：， 、异号， 由数轴知， ，， 原点在第②部分． 故答案为：②； （2）解：，，， ， ， ，， ， ； （3）解：， 又，， ，， ，， ∴， ， ， ∴点表示的数为， 即点表示的数为2． 【点睛】本题考查了数轴，非负数的性质，数轴上两点之间的距离，有理数的加法法则，乘法法则等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 80．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 【经典计算题九 多个有理数乘法的运算】 81．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ( )( ) ( )( ) ． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法，将和结合在一起，根据有理数的乘法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：，，，8，． 82．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)80 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 83．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 84．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】4 【分析】该题考查了有理数的乘法，先将带分数转化为假分数，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 85．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 86．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据有理数的乘法法则可以解答本题； （4）根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 87．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多个有理数相乘，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； （2）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； （3）根据多个有理数相乘法则计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 88．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 89．（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除的混合运算，根据运算法则将除法转化为乘法，再利用乘法运算律简便计算即可． 【详解】解： ． 90．（23-24七年级上·重庆开州·开学考试）用你喜欢的方法进行计算． (1) (2) (3) 【答案】(1)5.4 (2)1000 (3)201.1 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，有理数的乘法运算．解题的关键在于选取合适的方法进行简便运算． 【经典计算题十 有理数乘法运算律】 91．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】此题考查有理数乘法运算律，将除法化为乘法，百分数化为分数，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 92．（2025六年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法的交换律求解即可． 【详解】解： ． 93．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】499 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法分配律法则求解即可． 【详解】解： ． 94．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】1000000 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，灵活运用乘法交换律、结合律以及乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 95．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)47 (2)13 (3) (4)108 【分析】此题考查了有理数的乘法交换律和结合律，灵活运用乘法交换律、结合律可以使计算简便． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 96．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）． 【答案】0 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则． 根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 97．（24-25七年级上·重庆·开学考试）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用有理数乘法运算律成为解题的关键． 直接运用有理数乘法运算律以及有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 98．（24-25七年级上·重庆·开学考试）． 【答案】333 【分析】本题考查了乘法分配律的应用；原式中有共同的因数，则原式可化为，则可求解． 【详解】解： ． 99．（23-24七年级上·四川成都·开学考试） 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法分配律的应用，利用乘法分配律裂项把乘数化为能互相约分的数，简化计算即可. 【详解】 100．（24-25七年级上·广西来宾·阶段练习）【阅读理解】 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为，则原式． 请用上面方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的混合运算； （1）根据发现的规律得出结果即可； （2）根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）设为，为， 原式； （2）设为，为， 原式． 【经典计算题十一 有理数的除法运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练运算法则． （1）利用有理数的除法法则进行计算即可； （2）利用有理数的除法法则进行计算即可； （3）利用有理数的除法法则进行计算即可； （4）利用有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 102．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法．先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 103．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 104．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的除法，首先根据有理数的除法法则，求出的值是多少；然后用除以所得的商，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： ． 105．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)400 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，即可解答； （3）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （4）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：进而得出即可； （5）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （6）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 106．（22-23七年级上·浙江金华·期中）用常规方法计算时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出后，再利用倒数意义求出算式你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算．若不正确，请说明理由． 【答案】正确， 【分析】依据题目中所给的方法进行计算即可得到答案． 【详解】解：正确， ， 与互为倒数， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，倒数的定义，利用先求倒数的方法求解是解题的关键． 107．（22-23七年级上·陕西西安·期中）对于有理数x，y定义一种新运算： (1)若，则__________，__________； (2)若x，y满足，且，化简：． 【答案】(1)0，； (2) 【分析】（1）根据定义的新运算及绝对值的非负性即可求解； （2）先根据已知得出x，y的符号，再根据绝对值的性质对原式进行化简． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴，， ∴，， 故答案为：0，； （2）解：∵x，y满足，且， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了新定义的运算，有理数乘法和绝对值的化简，熟知有理数乘法异号得负，据此判断x，y的符号是解题的关键． 108．（23-24七年级上·山东济宁·期末）数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】（1）见解析；（2）这个数本身；（3）-3 【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可； （2）根据题意得出结论即可； （3）仿照已知的方法计算即可． 【详解】（1） ∴小明的解法的正确 （2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身 （3） ∴ 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 109．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则的值是多少？ 【答案】或 【分析】本题考查有理数的运算，分都大于0，都小于0，中有一个大于0，两个小于0，中有一个小于0，两个大于0四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当都大于0时，原式； ②当都小于0时，原式； ③当中有一个大于0，两个小于0时，原式； ④当中有一个小于0，两个大于0时，原式． 即的值为或． 110．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 【经典计算题十二 有理数乘除混合运算】 111．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有理数乘除混合运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握乘除法则，是解题的关键； （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）除法变乘法，约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 112．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1)0 (2)12 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算、乘除混合运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 113．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数混合运算的方法及运算顺序是解题的关键． （1）消去括号后，再通过有理数的加、减运算即可得出结论； （2）消去括号后，再通过有理数的加、减运算即可得出结论； （3）先根据除法运算法则把除法转化为乘法，再通过有理数的乘法运算即可得出结论； （4）先把带分数化成假分数，再根据除法运算法则把除法转化为乘法通过有理数的乘法运算即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 114．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算：． 【答案】1 【分析】该题考查了运用乘法分配律及式子变形进行简便运算，将原式先转化为，再解答即可． 【详解】解： ． 115．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算： 【答案】 【分析】该题考查了有理数的乘除法运算，先算括号，再算乘除法． 【详解】解： ． 116．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算，怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)8 (3)58 (4)28 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运算减法，最后运算加法，即可作答． （2）结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）先整理原式，结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （5）先整理原式，然后运算乘法，最后运算除法，即可作答． （6）先运算括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 117．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ． 118．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除混合计算： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）根据有理数乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 119．（24-25七年级上·重庆·开学考试） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加、减、乘、除法运算，根据运算顺序及运算法则即可求解，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 120．（22-23六年级·上海·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】利用公因数进行化简计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查速算技巧，计算除法时可先找到公因数，这样可以约分后简化计算． 【经典计算题十三 有理数四则混合运算】 121．（25-26七年级上·全国·课后作业）学习完有理数的乘法后，我们可以将不易直接计算的式子先进行处理，然后进行简便计算，例如，可以这样计算：． 请你仿照上面过程计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. （1）将原式变形后利用乘法分配律计算即可. （2）将原式变形后利用乘法分配律计算即可. （3）将原式变形后利用乘法分配律计算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 122．（2023七年级下·广东深圳·专题练习）脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算；关键掌握运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算． ()先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算中括号外面的乘法； ()根据除法的性质 进行简算； ()根据乘法分配律进行简算； 【详解】（1）解： （2） （3） 123．（24-25七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可； （4）先将小数化为分数，再对括号内通分计算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （5）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可； （6）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 124．（24-25七年级下·北京·开学考试）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法； 【详解】解： ． 125．（2024七年级上·四川成都·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分数的四则混合运算；根据分数的四则混合运算法则和简便运算结合进行计算即可． 【详解】解： ． 126．（23-24七年级下·北京·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题考查整数的四则混合运算．本题通过观察被除数与除数的结构，发现被除数可表示为除数的倍，从而快速得出结果．关键在于灵活拆分数字并提取公因数，避免繁琐的直接计算． 【详解】解： ． 127．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算括号中的乘法运算，再计算加减运算，最后算除法运算即可得到结果． 【详解】解：原式： ． 128．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先运算乘除，然后加减解答即可． 【详解】解：原式 ． 129．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】先化小数为分数，再化除为乘，先确定运算符号，再按照运算顺序计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，化小数为分数，再化除为乘，按照运算顺序计算是解题的关键． 【详解】解： ． 130．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）脱式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了四则混合运算，先算小括号里的减法，并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律算中括号里的加法，最后算乘法即可． 【详解】解： ． 【经典计算题十四 有理数乘方的运算】 131．（23-24七年级上·广东清远·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方、有理数的乘除混合运算．先算乘方，再算除法，最后算乘法． 【详解】解： ． 132．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；；；；． (2)；；． 【分析】（1）根据乘方的意义进行计算即可； （2）根据乘方的意义进行计算即可． 【详解】（1）解：；；；；． （2）解； ；；． 【点睛】本题考查了乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 133．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)3，2，1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，对于（1），先根据，可得，即可求出n，a； 对于（2），将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 134．（2022七年级·江苏·专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【答案】(1)1，1； (2)ab，anbn，abc，anbncn； (3)﹣0.125 【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1； 4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． （2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：ab，anbn，abc，anbncn． （3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 135．（24-25七年级上·福建厦门·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届．于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数．提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为．． (1)从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数的差是多少？ (2)若一个k进制的两位数，从左起第一位、第二位分别为a，b，则记这个k进制的两位数为．已知是的n倍（n为正整数，k是正整数且），其中a为大会标识中从左起的第四个八卦符号所表示的二进制数转换得到的十进制数，请你探求k的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了进位制的转换，读懂题意，正确进行进位制转换计算是解题的关键． （1）分别求出从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数，再求出差即可； （2）从左起的第四个八卦符号表示的二进制数转换得到的十进制数,再表示出和的数，根据是 的n倍进行探究即可得出k的值． 【详解】（1）解：第一个符号表示的二进制数为，其对应的十进制数为； 第四个符号表示的二进制数为，其对应的十进制数为； 所以，从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数的差是； （2）解：∵第四个符号表示的二进制数转换得到的十进制数是5， ∴， ；， ∵是 的n倍，（n为正整数，k是正整数且） ∴是整数， 即， ∴． 136．（24-25七年级上·四川眉山·期中）若有理数a，b满足，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值、乘方等知识点，掌握几个非负性的和为0，则每个非负数的和均为0成为解题的关键． 先根据非负数的性质求得a、b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 137．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）阅读下列材料，解决问题． 材料一：对于任意有理数a，b，定义新运算“”：． 例如：； 材料二：规定表示大于x的最小整数，例如：，，根据上述材料解答下列问题： (1)______；______． (2)求的值． (3)若有理数p，q满足，求的值． 【答案】(1)，25 (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，乘方运算，有理数的加减混合运算，理解和的定义是解题的关键． （1）根据和的定义计算即可； （2）根据的定义，原式可变形为，再进行加减运算即可； （3）根据可得，进而可得求出p的值，再根据的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，25； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 138．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 139．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 140．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：c______0，______0； (2)试化简：； (3)若，求（2）中的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减、乘方，熟练掌握数轴的性质和整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，，，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可得； （3）先根据数轴的性质、绝对值的性质、乘方运算可得，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，， 则，， 故答案为：，． （2）解：由数轴可知，， ，，， ． （3）解：， ， 由数轴可知，， ， 代入得：． 【经典计算题十四 含乘方的有理数混合运算】 141．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)3，2，1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，对于（1），先根据，可得，即可求出n，a； 对于（2），将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 142．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 143．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 144．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号，先计算括号内的运算； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 145．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘法的分配律计算即可． （2）根据含有乘方的混合运算法则计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，运算律的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 146．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)30 (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先算乘方和括号里的运算，再算乘除，最后算加减； （3）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减； （4）先算乘方，再算除法，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 147．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)55 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，化简括号和负号，最后计算加减即可； （2）先算乘方，再算括号里的减法，再算除法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 148．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确掌握运算顺序和法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算加减法； （2）先括号内的，再计算括号外的； （3）先计算乘方和中括号内的，再计算括号外的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 149．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行乘方运算，再进行乘除，最后进行加减运算即可； （2）先进行乘方运算，再进行乘除，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 150．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算和乘法运算律，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）把除法变为乘法后利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算的顺序计算即可． 【详解】（1）解： （2） 学科网（北京）股份有限公司 $