专题08 有理数的乘除运算（七大题型，70题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题08 有理数的乘除运算（七大题型，70题） 目录 题型一：两个有理数的乘法运算 1 题型二：多个有理数的乘法运算 2 题型三：有理数乘法的实际应用 4 题型四：有理数乘法运算律 6 题型五：有理数的除法运算 7 题型六：有理数除法的应用 9 题型七：有理数乘除混合运算 11 一、题型一：两个有理数的乘法运算 1．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·二模）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：；；；．上述结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面的式子中正确的是（    ）                            A． B． C． D． 5．（2023七年级上·福建·专题练习）如果，都是有理数，那么 ． 6．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，则 ． 7．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在一张纸上写上这一百个自然数，1，2，3，4，5，…，99，100．划去前两个数，把它们的和写在最后面：3，4，5，…，99，100，3；然后再划去前两个数，把它们的和写在最后面：5，6，…，99，100，3，7；如此这样下去，直到只剩下一个数为止．那么这个过程中一共写了 个数，最后一个数是 ． 8．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法中，正确的说法有 （填序号）： ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，则；⑥若，则. 9．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 二、题型二：多个有理数的乘法运算 11．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 12．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 14．（24-25七年级上·全国·课堂例题）7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 15．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已如a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则 ． 16．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 18．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 19．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 20．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察等式： ， ， ， 将以上三个等式两边分别相加得 ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下式的计算结果： ①______． ②______． (3)探究并计算：． 三、题型三：有理数乘法的实际应用 21．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 22．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 23．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 24．（23-24七年级上·湖北襄阳·开学考试）把一个长分米、宽分米、高分米的长方体木块切成立方厘米的小方块，排成一行长 米． 25．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）【行程问题】A、B两只青蛙玩跳跃游戏，A每次跳10厘米，B每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始．在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时，另一只距离最近的陷阱有多少厘米？ 26．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ (3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？ 27．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）一振子从点开始左右来回振动8次，规定向右为正，向左为负，这8次振动的记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)求该振子停止时所在的位置距点多远． (2)如果振子振动1用时0.02，那么完成8次振动共需多少秒？ 28．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）10月的某一个周末，某校组织七年级优秀学生干部乘汽车沿公路参观6个“最美乡村”景点(设定这6个景点都在同一条直线上)，约定汽车向东行驶的方向为正(图中箭头的方向为东)，向西行驶的方向为负，这一天从地出发到六个景点、、、、、参观，汽车行驶记录依次为：单位：千米，，，，，． (1)以为原点，在数轴上标出这六个景点的位置； (2)最后一个景点在地东边还是西边？距地多少千米？ (3)若每千米汽车耗油升，油价元升，则到达景点时，共需油费________元．(直接写出结果) 29．（23-24七年级上·广东湛江·期中）教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为7.20元/升，则小王共花费了多少元钱？ 30．（23-24七年级上·广东东莞·期末）某生活超市购进标准重量为25千克的白菜5筐，可实际上每筐都有误差，如果超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，那么这5筐白菜的误差如下（单位：千克）． (1)求这5筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (2)求这5筐白菜实际总重量是多少千克？ 四、题型四：有理数乘法运算律 31．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 32．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）（1） （2） 33．（23-24七年级上·河北承德·期中）计算： (1)； (2)． 34．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算：． 35．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 36．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：． 37．（23-24七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 38．（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 39．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 40．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 五、题型五：有理数的除法运算 41．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 42．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）若，且，则（） A．1或 B．或 C．或 D．无法判断 43．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤．    A．1 B．2 C．3 D．4 44．（23-24七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（    ） A． B．1 C． D． 45．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）若，则自然数 ． 46．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ． 47．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 48．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 49．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为123，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被1000除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为69，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 50．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 六、题型六：有理数除法的应用 51．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 52．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是（不考虑，树和灯的宽度），如图，从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是（    ） A． B．   C．   D．   53．（2024七年级上·全国·专题练习）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 54．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知是一列数，，任意三个相邻的数之和为m，则 . 55．（23-24七年级上·重庆渝中·开学考试）小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的，等于小张的，而且小张比小王多做了72道，小李做了 道． 56．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）A、B两地之间相距120千米，其中一部分是上坡路，其余全是下坡路，小华骑电动车从A地到B地，再沿原路返回，去时用了小时，返回时用了小时，已知下坡路段小华的骑车速度是每小时30千米，那么上坡路段小华的骑车速度为 ． 57．（23-24七年级上·安徽淮北·开学考试）张老师在黑板上写了四个数，其中每三个数相加的和分别是45、46、49、52．那么，这四个数中最小的数是( ) 58．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 59．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）呼市出租车起步价8元（2千米以内），超过2千米的每千米按1.5元计价收费，李叔叔乘出租车外出办事，共付车费17元，李叔叔乘车走了多少千米？ 60．（23-24七年级上·湖北恩施·开学考试）甲乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时．共加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时，共加工208个，甲乙两人每小时各加工多少个零件？ 七、题型七：有理数乘除混合运算 61．（2023·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 62．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 63．（23-24七年级上·河北邢台·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．    如图2，用“格子乘法”表示，则 ；利用图2的结果可以计算 ．    64．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)． 65．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： (1) (2) 66．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 67．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现： 计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 68．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）下面是小胡同学做过的一道题目，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式① ．② (1)上述解题过程中，从第______步开始出错（填序号），错因是______； (2)写出本题的正确解答过程． 69．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1) (2) 70．（23-24七年级上·广东珠海·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 有理数的乘除运算（七大题型，70题） 目录 题型一：两个有理数的乘法运算 1 题型二：多个有理数的乘法运算 7 题型三：有理数乘法的实际应用 15 题型四：有理数乘法运算律 22 题型五：有理数的除法运算 28 题型六：有理数除法的应用 36 题型七：有理数乘除混合运算 41 一、题型一：两个有理数的乘法运算 1．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数乘法、除法的运算方法，有理数大小比较，根据乘法、除法的运算方法，分别判断出每个算式的结果与a的大小关系，即可推得算式中的计算结果最小的是哪个算式． 【详解】解：a是非零自然数， ，，，， ， ， 所以算式中的计算结果最小的是：， 故选：A． 2．（2024·江苏徐州·二模）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，有理数的加减法，乘法，以及绝对值的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据数轴可知，，根据有理数的加减法、乘法规则和绝对值的几何意义，即可逐一判断． 【详解】解：A、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意； B、 ， ，结论错误，该选项符合题意； C、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意； D、 ， ，结论正确，该选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：；；；．上述结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由即可判断；由，，即可判断 ；由，，即可判断；由，即可判断，掌握数轴上有理数的特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项错误，不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴选项正确，符合题意； ∴正确结论有； 故选：． 4．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面的式子中正确的是（    ）                            A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，根据数轴即可判断求解，掌握数轴上有理数的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴正确， 故选：． 5．（2023七年级上·福建·专题练习）如果，都是有理数，那么 ． 【答案】0或2或 【分析】本题考查了绝对值的定义，及分类讨论的思想，有一定的难度． 根据绝对值的定义分情况讨论即可求解． 【详解】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 综上，或， 故答案为：0或2或． 6．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数的乘法运算，由得到异号，进而分两种情况进行求解即可得到结果，掌握去绝对值符号运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴异号， 当，时， 原式， ， ； 当，时， 原式， ， ； ∴或， 故答案为：或． 7．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在一张纸上写上这一百个自然数，1，2，3，4，5，…，99，100．划去前两个数，把它们的和写在最后面：3，4，5，…，99，100，3；然后再划去前两个数，把它们的和写在最后面：5，6，…，99，100，3，7；如此这样下去，直到只剩下一个数为止．那么这个过程中一共写了 个数，最后一个数是 ． 【答案】 199 5050 【分析】本题考查了有理数加法与乘法的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．写好100个数后，每次操作使得个数减1，可得又写了99个数，由此即可得；每次操作不影响这一百个自然数的和，由此即可得最后一个数． 【详解】解：由题意可知，写好100个数后，每次操作使得个数减1， 则又写了99个数， 所以这个过程中一共写了个数， 因为每次操作不影响这一百个自然数的和， 所以最后一个数是 ， 故答案为：199；5050． 8．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法中，正确的说法有 （填序号）： ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，则；⑥若，则. 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题考查了相反数，绝对值，乘方，有理数的除法，乘法计算，根据运算法则和定义计算即可． 【详解】①若，则a，b互为相反数，当，无意义，不符合题意； ②若，则，符合题意； ③若，则或，不符合题意； ④若，则或，不符合题意； ⑤若，则，符合题意； ⑥若，则时，不成立，不符合题意， 故答案为：②⑤． 9．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可； （2）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二、题型二：多个有理数的乘法运算 11．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，先求出取出的这三个数的和为20，再由，得到这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，据此讨论分别取到1到10这10个数时的最大乘积即可得到答案． 【详解】解：， 所以取出的这三个数的和为20， 因为， 所以这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数， 当取的数有10时，由于， 此时三个数的积最大为， 同理取的数有9时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有8时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有7时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有6时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有5时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有4时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有3时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有2时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有1时，此时三个数的积最大为， 综上所述，这三个数的积的最大值为280， 故选A． 12．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的，，得出的结论，再根据已知条件，，判断字母，，表示的数的正负性即可． 【详解】解：由图可知， ， ，， ， 故D正确； ，， 当时，， 当时，， 故A错误； 由得，， 当，0离近时，，0离远时，； 当时，， 故B错误； ， ，， 当0离近时，； 0离远时，， 故C错误； 故选：D． 13．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据题意得出这四个数的值，即可确定这四个数的和，解题的关键在于根据题意判断出四个数的值． 【详解】解：由题意得：这四个整数小于或等于，且互不相等，再由乘积为可得，四个数中必有和， ∴四个数为：，，，， ∴和为， 故选：． 14．（24-25七年级上·全国·课堂例题）7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 72 120 0 【分析】本题考查了有理数的乘法，直接根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：72； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：120； （5）， 故答案为：0． 15．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已如a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意或，根据，得出或，求出m的值即可． 【详解】解：∵a、b、c是三个不同整数，（不妨设），m为整数， ， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 16．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：①已知，，是非零的有理数， 当时， 则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时； 二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确； ②， ，，， 则， 由于时， 当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在； 、、中只有一个负数， 令，，， 原式，故②错误； ③当时，分两种情况： 当时，， 当时，， 故时的最大值为7，最小值为，故③正确； ④由且， 、互为相反数， ， ， 不妨，， 则则式子 ，故④正确； ⑤当时， 、异号， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， 又， ，， ， 根据，b}， ，，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除的混合运算，根据运算法则将除法转化为乘法，再利用乘法运算律简便计算即可． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 19．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的加法，掌握高斯求和公式是解题的关键．原式可化为，再推理计算即可． 【详解】原式 ． 20．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察等式： ， ， ， 将以上三个等式两边分别相加得 ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下式的计算结果： ①______． ②______． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题干阅读部分信息归纳可得答案； （2）①利用（1）中归纳的结论把原式化为，再计算即可；②利用（1）中归纳的结论把原式化为，再计算即可； （3）利用乘法的分配律结合（1）中规律把原式化为：，再计算即可. 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知， 故答案为：； （2）解：① ； ② ； （3）解： . 三、题型三：有理数乘法的实际应用 21．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 【答案】244872 【分析】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键． 根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可． 【详解】解： ， ， 由前三个式子得到的规律计算该式得： ， 故答案为． 22．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 23．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短分钟，在制作阶段若缩短分钟，最后分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解． 【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行， 则加工该件艺术品最少需要：（分钟）； 需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟， 在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），， 综上，最少投入为：（元）， 故答案为：，． 24．（23-24七年级上·湖北襄阳·开学考试）把一个长分米、宽分米、高分米的长方体木块切成立方厘米的小方块，排成一行长 米． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的体积公式；1立方厘米的小方块的棱长是厘米，所以长分米处可以切割出个小正方体，宽分米处可以切割出个小正方体，高分米处，可以切割出个小正方体，由此借助长方体的体积公式即可求出切成的个数，然后用切成的个数乘，然后换算为米即可． 【详解】解：立方厘米的小方块的棱长是厘米，所以可以切出的小正方体的个数为： 分米厘米，分米厘米，分米厘米， 个 厘米 厘米米 答：排成一行长米． 故答案为：． 25．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）【行程问题】A、B两只青蛙玩跳跃游戏，A每次跳10厘米，B每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始．在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时，另一只距离最近的陷阱有多少厘米？ 【答案】另一只距离最近的陷阱有4厘米 【分析】本题考查了最小公倍数，有理数乘除法的应用，先分别求出A、B每次所跳的距离和陷阱距离的最小公倍数进而求出A、B掉下去所用时间，B用时少，则先掉下去，此时A跳了（厘米），两边陷阱分别为36厘米和48厘米，离最近陷阱4厘米． 【详解】解：A．10和12的最小公倍数为60，则（秒） A跳6秒会调入陷阱； B．15和12的最小公倍数为60，  （秒） B跳6秒会调入陷阱； 4秒6秒， B先掉下去，此时A跳了：（厘米），40厘米两边的陷阱分别是36厘米和48厘米， 则离最近的陷阱有（厘米）， 答：另一只距离最近的陷阱有4厘米． 26．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ (3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)小李在下午出发地东6千米 (2)汽车共耗油21.32升 (3)小李的汽油费用是95.94元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用，绝对值的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.41即可； （3）将（2）中的结果乘以4.5即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小李在下午出发地东6千米； （2）（千米）， （升）， 答：这天下午汽车共耗油21.32升； （3）（元）， 答：小李的汽油费用是95.94元． 27．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）一振子从点开始左右来回振动8次，规定向右为正，向左为负，这8次振动的记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)求该振子停止时所在的位置距点多远． (2)如果振子振动1用时0.02，那么完成8次振动共需多少秒？ 【答案】(1)振子停止时所在的位置为点右侧5.5处 (2)1.23秒 【分析】本题主要考查了正负数的意义、有理数运算得应用、化简绝对值等知识，理解正负数的意义是解题关键． （1）结合正负数的意义，列式求解即可； （2）首先计算出振子完成8次振动移动的距离，然后计算完成8次振动所需时间即可． 【详解】（1）解：， 答：该振子停止时所在的位置为点右侧5.5处； （2）， 秒， 即完成8次振动共需1.23秒． 28．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）10月的某一个周末，某校组织七年级优秀学生干部乘汽车沿公路参观6个“最美乡村”景点(设定这6个景点都在同一条直线上)，约定汽车向东行驶的方向为正(图中箭头的方向为东)，向西行驶的方向为负，这一天从地出发到六个景点、、、、、参观，汽车行驶记录依次为：单位：千米，，，，，． (1)以为原点，在数轴上标出这六个景点的位置； (2)最后一个景点在地东边还是西边？距地多少千米？ (3)若每千米汽车耗油升，油价元升，则到达景点时，共需油费________元．(直接写出结果) 【答案】(1)见解析 (2)最后一个景点在景点的东边；距离地千米； (3) 【分析】本题考查了数轴的应用，绝对值的应用，有理数的加法与乘法的应用； （1）根据题意画出数轴，在数轴上表示出各点即可； （2）根据（1）中点的位置即可得出结论； （3）先求出从A地出发到走完最后一个景点时一共前进了多少千米，然后算出耗油量，再根据“总价单价数量”可得答案． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）由图可知，到了最后一个景点时在地的东边，距地千米； （3）千米， 元， 即到达景点时，共需油费元． 故答案为：． 29．（23-24七年级上·广东湛江·期中）教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为7.20元/升，则小王共花费了多少元钱？ 【答案】(1)小王距出发地西边5千米 (2)当天耗油11升，共花费79.2元 【分析】考查正数与负数的实际应用，利用有理数的加减法是解题的关键，注意单位耗油量乘以行驶距离等于总耗油量 （1）将所有行程数据相加，结合正负数的意义解答即可； （2）把所给数据的绝对值相加求出行驶的路程，然后结合耗油量以及油价列式解答即可. 【详解】（1）解：， 则小王距出发地西边5千米； （2）汽车的总路程是：（千米）， 耗油：（升）， 花费：（元）. 所以当天耗油11升，共花费79.2元． 30．（23-24七年级上·广东东莞·期末）某生活超市购进标准重量为25千克的白菜5筐，可实际上每筐都有误差，如果超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，那么这5筐白菜的误差如下（单位：千克）． (1)求这5筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (2)求这5筐白菜实际总重量是多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）直接计算误差的和，根据结果的正负即可判断； （2）按5框标准重量+误差和计算即可求解． 【详解】（1）解：（千克） 答：这5筐白菜总计不足千克； （2）解：（千克） 答：这5筐白菜总重千克． 四、题型四：有理数乘法运算律 31．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 32．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）（2）7 【分析】（1）根据有理数乘法交换律、结合律计算即可． （2）根据分配律计算即可． 本题考查了有理数乘法运算，分配律计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 33．（23-24七年级上·河北承德·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）把原式变成省略加号和括号的加法，进行计算即可； （2）利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】（1） （2） 34．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，把原式转化为，利用拆项法解答即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， ． 35．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 36．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数乘法运算律，利用有理数乘法分配律简化运算即可得到答案，熟记有理数乘法分配律是解决问题的关键． 【详解】解： ． 37．（23-24七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了用乘法运算律进行有理数运算，利用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 38．（23-24七年级上·广东珠海·期中）阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【分析】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【详解】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【点睛】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 39．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘法的分配律计算即可． （2）根据有理数乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的分配律，牢记有理数乘法的分配律是解题的关键． 40．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1) (2)130.79 (3) (4) 【分析】（1）运用加法结合律，将同分母的先相加，再进行计算； （2）运用乘法分配律逆运算进行解答即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）将分数整数部分和小数部分分开计算即可； 【详解】（1） ． （2） ． ． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算：如果有括号，要先做括号内的运算． 五、题型五：有理数的除法运算 41．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，由绝对值的性质可得当时，；当时，；当时，；当时，；分情况讨论即可．注意：（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种．运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】∵当时，；当时，； 当时，；当时，； ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ∴综上所述，的值可能为2，，0，不可能为1． 故选：C． 42．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）若，且，则（） A．1或 B．或 C．或 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【详解】∵，且， ∴中负数有一个或三个， 则原式或， 故选A． 43．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴与有理数的关系及有理数的计算．能够熟练通过数轴判断有理数的大小是解题关键．通过数轴得出有理数的大小再计算每个选项判断正误即可． 【详解】解∶由数轴知∶， ∴，，，，， ∴， ∴正确的有①⑤， 故选：B． 44．（23-24七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除法、有理数的大小比较，正确理解规定的运算法则是解题关键．先根据规定的运算法则进行转化，再计算有理数的乘除法求解即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 45．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）若，则自然数 ． 【答案】402 【分析】本题主要考查了估算计算．熟练掌握缩放原数据估算计算，是解决问题的关键． 设，缩放数据得到， 得到即得． 【详解】设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：402． 46．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据题目已知条件得出，，，中有一个负数或两个负数，再分两种情况：当中有一个负数时，不放设，，；当中有两个负数时，不妨设，，，分别进行计算即可，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：为非等有理数，且， ，，，中有一个负数或两个负数， ， 当中有一个负数时，不放设，，， 则原式， 当中有两个负数时，不妨设，，， 则原式， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 47．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3 故答案为：或3 48．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 49．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为123，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被1000除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为69，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（4），（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． （1）根据，再计算即可得出结论； （2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论； （3）根据，对于匹配的钥匙，则有，据此可求出当公钥a为69时b的值； （4）根据，对于匹配的钥匙，则有，再由可得出匹配的钥匙（答案不唯一）． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∵能被1000整除， ∴被1000除的余数为， 即被1000除的余数为． （3）∵， ∴对于匹配的钥匙，则有， 当公钥a为69，则匹配的私钥； （4）∵， ∴对于匹配的钥匙，则有， ∵， ∴匹配的钥匙． 故答案为：，（答案不唯一）． 50．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据，得到a、b异号，不妨设，则； （2）根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可； （3）先由题意得到，再根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 六、题型六：有理数除法的应用 51．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 【答案】C 【分析】此题是典型的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．此题是工程问题，把此工作分段进行分析，甲自己做了3天做了，则可知道甲自己做需要天，从而求出乙的工作效率，进而求出结果即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴乙的工作效率为： ∴（天）， 故选：C． 52．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是（不考虑，树和灯的宽度），如图，从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了图形规律以及列代数式：每隔3棵树就有一个路灯，也就是路灯与路灯之间的距离是，即第一个路灯是，第二个路灯是，第三个路灯是，以此类推，，即520m处刚好是第十四个路灯，而505m距离520m是15m，所以路灯前面有一棵树，而545m距离520m是25m，即路灯后面有两颗树，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是 ∴路灯与路灯之间的距离是， ∴第一个路灯是， 第二个路灯是， 第三个路灯是， 以此类推， …… ，即520m处刚好是第十四个路灯， ∵从第1个路灯起向右之间 ∴而505m距离520m是15m，所以路灯前面有一棵树，而545m距离520m是25m，即路灯后面有两颗树， 即从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是树、路灯、树、树； 故选：A 53．（2024七年级上·全国·专题练习）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ，，， ， ∵m、n、p、q为正整数， ∴q的最小值为8，则，，， ∴， 的最小值为65． 故答案为：65 54．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知是一列数，，任意三个相邻的数之和为m，则 . 【答案】3 【分析】本题考查数字类规律探索，根据任意三个相邻的数之和相等，可得，，，根据求出，推出这列数的排列规律，利用规律求解即可． 【详解】解：任意三个相邻的数之和为m， ，，， ，，， ， 解得， 这列数是以3，，为循环的数列， ， ， 故答案为：3． 55．（23-24七年级上·重庆渝中·开学考试）小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的，等于小张的，而且小张比小王多做了72道，小李做了 道． 【答案】36 【分析】由小王做的题数的一半等于小李的，则小王做的题目是小李的,又小李的，等于小张的，则小张做的是小李的,则小张比小王多的是小李的倍，又小张比小王多做72道题，从即可得解． 【详解】解： （道） 故答案为：36． 【点睛】完成本题要注意分析题目中的数量之间的关系,确定好单位“l”． 56．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）A、B两地之间相距120千米，其中一部分是上坡路，其余全是下坡路，小华骑电动车从A地到B地，再沿原路返回，去时用了小时，返回时用了小时，已知下坡路段小华的骑车速度是每小时30千米，那么上坡路段小华的骑车速度为 ． 【答案】20千米/小时 【分析】在往返路程中，去时上坡回来变下坡，去时下坡回来变上坡，由此可知往返上坡和下坡一样长，则去时下坡路和返回下坡路之和等于全程，去时上坡路和返回上坡路之和等于全程，再根据下坡的速度，求出下坡所用的时间，进而求得上坡的时间，然后利用路程时间，即可求出上坡速度． 【详解】解：往返下坡所用时间（小时）， 往返上坡所用时间为（小时）， 上坡速度（千米/小时）， 故答案为：20千米/小时． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确去时下坡路和返回下坡路之和等于全程，去时上坡路和返回上坡路之和等于全程是解此类题的关键． 57．（23-24七年级上·安徽淮北·开学考试）张老师在黑板上写了四个数，其中每三个数相加的和分别是45、46、49、52．那么，这四个数中最小的数是( ) 【答案】12 【分析】由于四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么得到这四个数每个数都加了3次，这样就有，则为这四个数的和，然后利用这个和分别减去已知数据即可求解． 【详解】解：∵每三个数之和分别为45、46、49、52，它一共加了12个数， ∴这四个数每个数都加了3次， 依题意有：， ∴四个数的和为64，而其中三个数的和为45、46、49、52， 则有， ∴这四个数中最小的数是：12． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是正确理解题意，准确把握题目的数量关系列出算式解决问题． 58．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 59．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）呼市出租车起步价8元（2千米以内），超过2千米的每千米按1.5元计价收费，李叔叔乘出租车外出办事，共付车费17元，李叔叔乘车走了多少千米？ 【答案】李叔叔乘车走了8千米 【分析】本题主要考查整数、小数复合应用，根据题意可知：要先求出超出2千米的路程花了多少钱，根据“车费总价÷单价=数量”求出超出2千米的路程，然后用“超出的路程+起步的2千米=全路程”，列式解答即可． 【详解】解：， ， ， （千米）； 答：新街口距离这个汽车站8千米． 60．（23-24七年级上·湖北恩施·开学考试）甲乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时．共加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时，共加工208个，甲乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工22个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】由“甲做7小时，乙做3小时，共加工208个”，可知“甲做14小时，乙做6小时，共加工416个”，根据“甲做4小时，乙做6小时．共加工零件196个”，可求得甲每小时加工的为零件：，进而可求得乙每小时加工的零件个数． 【详解】解：因为甲做7小时，乙做3小时，共加工208个， 所以甲做14小时，乙做6小时，共加工416个， 又因为甲做4小时，乙做6小时．共加工零件196个， 所以甲每小时加工的为零件：（个）， 乙每小时加工的为零件：（个）， 答：甲每小时加工22个零件，乙每小时加工18个零件． 【点睛】本题考查了比较复杂的工程问题和代换问题的综合应用，关键是结合数据的特征把甲做7小时，乙做3小时替换为甲做14小时，乙做6小时． 七、题型七：有理数乘除混合运算 61．（2023·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①中“”的位置有种可能，“”确定位置后，“”的位置有种可能，则添加“”“”两个运算符号，得到的算式有种不同的结果，故①错误； ②结果为， 必须添加“”， 若添加“”， 添加“”， 添加“”，则有，故②正确； ③添加的运算符号中有“”，且同时添加三个运算符号， 要是结果最大，不能添加，必须添加“”，此时添加“”， 添加“”，即可得到最大结果，为，故③错误； 综上所述，正确的有②，个数为， 故选：B． 62．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负； ①同正：； ②两正一负，不妨令，则； ③一正两负，不妨令，则； ④同负：； 故选：C． 63．（23-24七年级上·河北邢台·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．    如图2，用“格子乘法”表示，则 ；利用图2的结果可以计算 ．    【答案】 7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，数字规律探究； （1）利用“格子乘法”表示即可得到m的值； （2）根据解析（1）得出，代入求值即可． 解题的关键是根据题干信息得出规律，准确计算． 【详解】解：（1）利用“格子乘法”表示即可得到m的值，如图所示：    ， 故答案为：7； （2）根据图可知：， ． 故答案为：． 64．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算律、有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用加法结合律进行简便运算即可； （2）先化除为乘，然后再计算即可； （3）直接运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 65．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 66．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【答案】(1)，否 (2)72 (3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析 【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义． （1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据题意考虑所有可能性并列出即可． 【详解】（1）解：根据题意列式为：， ∵， ∴游戏不再继续， 即：第二次结果为：； （2）解：根据题意列式为：， ， ； （3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”， 理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜； 理由二：所有的出牌可能有： ①，甲负乙胜； ②，乙负； ③，乙负； ④，乙负； ⑤，乙胜； ⑥，甲负乙胜， ∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”． 67．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现： 计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 【答案】(1)共有35种选法 (2)3；1；4；10；5；15； (3)220 【分析】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算， （1）根据材料给出组合的方法直接计算即可； （2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得，，由此规律可得； （3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可； 掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键． 【详解】（1）解：根据公式， 答：共有35种选法． （2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15， ∵，， ∴，      故答案为3；1；4；10；5；15； （3） ． 68．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）下面是小胡同学做过的一道题目，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式① ．② (1)上述解题过程中，从第______步开始出错（填序号），错因是______； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)①，没有按从左到右的顺序计算 (2) 【分析】（1）检查解题过程发现第①步有误， （2）写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：（1）第①步出错，运算的顺序有误，没有按从左到右的顺序计算； 故答案是：①，没有按从左到右的顺序计算； （2）正解解法为：原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序． 69．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除法法则和交换律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 70．（23-24七年级上·广东珠海·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④ 【分析】①按照去括号及加减运算法则计算即可； ②按照乘法运算法则计算即可； ③按照乘法分配律进行计算即可； ④按照先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的即可； 【详解】解：① ② ③ ④ 【点睛】本题考查混合运算及简便计算，准确理解法则是解决本题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$