专题02 全等三角形复习（易错题43题5个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题02 全等三角形复习（易错题43题5个考点） 一．全等图形（共1小题） 1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　 　． 二．全等三角形的性质（共4小题） 2．已知△ABC与△DEF全等，∠A＝∠D＝90°，∠B＝37°，则∠E的度数是（　　） A．37° B．53° C．37°或63° D．37°或53° 3．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　． 4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 　 　． 5．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　 　s． 三．全等三角形的判定（共9小题） 6．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC 7．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF 8．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．AD＝AE B．∠AEB＝∠ADC C．BE＝CD D．AB＝AC 9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4） 11．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 12．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　 　． 13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 14．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 四．全等三角形的判定与性质（共19小题） 15．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数等于（　　） A．120° B．70° C．60° D．50° 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．如图，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，则下列结论正确的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 18．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 19．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四边形ABDE，其中正确的结论个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 20．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 21．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　 　． 22．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　 　度． 23．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和9，则b的面积为 　 　． 24．如图，已知点P（4m﹣1，6m﹣5）在第一象限的角平分线OC上，∠BPA＝90°且点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，则OA+OB＝　 　． 25．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数． 26．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 27．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点． （1）求证：△ADB≌△CDE； （2）求∠MDN的度数． 28．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 29．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长． 30．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5， ①求证：AF⊥BD； ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD． 31．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝58°，∠D＝109°，∠ACD＝42°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝3，求AB的长． 32．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 　 　秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 　 　边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 33．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°． 探究：判断△AEF的形状，并说明理由； 发现：DO与AD之间有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由． 五．角平分线的性质（共10小题） 34．在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 35．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 36．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 37．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 39．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BC＝4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 40．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝4，则点P到AD与BC的距离之和为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 41．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD：DC＝3：2，S△ADC＝16，AB＝12，则CD的长为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 42．如图，AD是△ABC的角平分线，AB＝3，AC＝2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为　 　． 43．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形复习（易错题43题5个考点） 一．全等图形（共1小题） 1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　45°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE， ∴∠1＝∠DBE， 又∵∠DBE+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°． ∵∠2＝45°， ∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45°． 二．全等三角形的性质（共4小题） 2．已知△ABC与△DEF全等，∠A＝∠D＝90°，∠B＝37°，则∠E的度数是（　　） A．37° B．53° C．37°或63° D．37°或53° 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝53°． ∵△ABC与△DEF全等， ∴当△ABC≌△DEF时，∠E＝∠B＝37°， 当△ABC≌△DFE时，∠E＝∠C＝53°． ∠E的度数是37度或53度． 故选：D． 3．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2 ∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5 ∴x+y＝11． 故答案为：11． 4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 　（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等， 点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1）， 故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）． 5．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　1或4　s． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm， ∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm， 当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1， 当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4， 故答案为：1或4． 三．全等三角形的判定（共9小题） 6．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC 【答案】C 【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A＝∠D， （1）AB＝DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故A选项错误； （2）∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），故B选项错误； （3）EF＝BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确； （4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，（AAS），∴△ABC≌△DEF，故D选项错误； 故选：C． 7．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF 【答案】B 【解答】解：A、根据AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、∵在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、∵BC∥EF， ∴∠F＝∠BCA，根据AB＝DE，BC＝EF和∠F＝∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB＝DE，BC＝EF和∠A＝∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选：B． 8．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．AD＝AE B．∠AEB＝∠ADC C．BE＝CD D．AB＝AC 【答案】B 【解答】解：A、根据AAS（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； C、根据AAS（∠A＝∠A，∠B＝∠C，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； D、根据ASA（∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； 故选：B． 9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个， 共3+0+1＝4个， 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4） 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵点A（2，0），B（0，4）， ∴OB＝4，OA＝2， ∵△BOC与△AOB全等， ∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2， ∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）． 综上可知，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）， 故选：A． 11．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB， 在△OMD与△CEN中 ， ∴△OMD≌△CEN（SSS）； ∴∠O＝∠NCB， ∴CN∥OA． 故选：B． 12．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． 故答案为：． 13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　或3或或　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P在线段BC上运动的时间为t s， ①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）； ②点P由B向C运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP， ∴3t＝8﹣3t， t＝， 此时，点Q的运动速度为：5÷＝（cm/s）； ③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝3t﹣8， 解得t＝， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷＝（cm/s）； ④点P由C向B运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP＝4， 3t﹣8＝4， t＝4， ∵BE＝CQ＝5， 此时，点Q的运动速度为5÷4＝（cm/s）； 综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s； 故答案为：或3或或． 14．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　0或4或8或12　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12， 点P的运动时间为12÷1＝12（秒）， 故答案为：0或4或8或12． 四．全等三角形的判定与性质（共19小题） 15．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数等于（　　） A．120° B．70° C．60° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°， ∴∠AED＝∠ADE＝60°，∠EAC＝60°﹣∠C＝60°﹣50°＝10°， ∴∠DAC＝60°+10°＝70°． 故选：B． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°， ∴∠ACB+∠CAB＝120°， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠FCA＝，∠FAC＝CAB， ∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，故①正确； ②当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC， 而AD平分∠BAC，故②错误； ③如图，延长CE至G，使GE＝CE，连接BG， ∵AB＝2AE， ∴AE＝BE， ∵∠AEC＝∠BEG， ∴△ACE≌△BGE（SAS）， ∴∠ACE＝∠G，CE＝GE， ∵CE为角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠G， ∴BC＝BG， ∵CE＝GE， ∴BE⊥CE，故③正确； ④如图，作∠AFC的平分线交AC于点G， 由①得∠AFC＝120°， ∴∠AFG＝∠CFG＝60°， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°， ∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF， ∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA）， ∴AE＝AG，CD＝CG， ∴CD+AE＝CG+AG＝AC，故④正确； ⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H， 由④知，FG为∠AFC的角平分线， ∴GH＝GM， ∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC， ∵△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF， ∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4个， 故选：C． 17．如图，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，则下列结论正确的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：如图，过C作CF⊥AD于F， ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CF＝CE， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AF＝AE， ∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF， 又∵AB+AD＝2AE， ∴BE＝DF， ∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE， 即AB＝AD+2BE，故①正确； ∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE， ∴△CDF≌△CBE（SAS）， ∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确； 又∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确； ∵AB＝AD+2BE，CE＝CF， ∴由等式性质可得，AB×CE＝AD×CF+2×BE×CE， 即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误； 故选：B． 18．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝DP， ∴△APC的面积＝△DPC的面积， ∵△BPC的面积＝12cm2， ∴△BPD的面积+△CPD的面积＝12， ∴△ABP的面积+△APC的面积＝12， ∴△ABC的面积＝24cm2， 故选：A． 19．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四边形ABDE，其中正确的结论个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°，AD是角平分线， ∴DC＝DF，∠C＝∠DFB， 又∵DE＝DB， ∴Rt△CDE≌Rt△FDB， ∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF， 又∵∠DEA+∠DEC＝180°， ∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确； ∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B， ∴∠BDF＝∠BAC， ∴∠CDE＝∠CAB，故②正确； ∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠FAD， 又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD， ∴△ACD≌△AFD， ∴AC＝AF， ∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC﹣CE）＝AF+AC＝2AC， ∴AC＝（AB+AE），故③正确； ∵Rt△CDE≌Rt△FDB， ∴S△CDE＝S△FDB， ∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF， 又∵△ACD≌△AFD， ∴S△ACD＝S△ADF， ∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确； 故选：A． 20．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【答案】C 【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD＝BD， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB≌△△EDC（SAS）， ∴AB＝EC＝6， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 21．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　132°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BDC和△AEC中， ， ∴△BDC≌△AEC（SAS）， ∴∠DBC＝∠EAC， ∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝42°， ∴∠EAC+∠EBC＝42°， ∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣42°＝48°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣48°＝132°． 22．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　65　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： ∵∠BAC＝∠DAE， ∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4， ∴∠1＝∠4， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， 又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝115°， ∴∠ADB＝115°， 又∠ADB+∠3＝180°， ∴∠3＝65°， 故答案为65． 23．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和9，则b的面积为 　15　． 【答案】15． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∵∠ACE＝90°，∠EDC＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， ∵AC＝EC， ∴△ABC≌△CDE（AAS） ∴BC＝DE，AB＝CD， ∵a＝AB2，c＝DE2，CE2＝CD2+DE2＝a+c， 即b＝6+9＝15； 故答案为：15． 24．如图，已知点P（4m﹣1，6m﹣5）在第一象限的角平分线OC上，∠BPA＝90°且点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，则OA+OB＝　14　． 【答案】14． 【解答】解：∵点P（4m﹣1，6m﹣5）在第一象限角平分线OC上， ∴4m﹣1＝6m﹣5， 解得：m＝2， 则点P的坐标为（7，7）， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则∠PDA＝∠PEB＝90°， ∵∠EOD＝90°， ∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°， ∵∠BPA＝∠BPD+∠DPA＝90°， ∴∠EPB＝∠DPA， 由点P的坐标知，PE＝PD＝OD＝OE＝7， ∴△PDA≌△PEB（SAS）， ∴DA＝BE， ∴OA+OB＝OD+DA+OB＝OD+BE+OB＝OD+OE＝7+7＝14， ∴OA+OB＝14． 故答案为：14． 25．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠2＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°． 26．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CG， ∴∠B＝∠DCG， 在△BDE和△CDG中， ∵∠BDE＝∠CDG， BD＝CD， ∠DBE＝∠DCG， ∴△BDE≌△CDG（ASA）， ∴BE＝CG； （2）BE+CF＞EF．理由： 如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG， ∴DE＝DG， 又∵FD⊥EG， ∴FD垂直平分EG， ∴EF＝GF， 又∵△CFG中，CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF． 27．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点． （1）求证：△ADB≌△CDE； （2）求∠MDN的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ABD与△CDE中， ， ∴△ABD≌△CDE（SAS）； （2）∵△ABD≌△CDE， ∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE， ∵M、N分别是AB、CE的中点， ∴AM＝AB，CN＝CE， ∴AM＝CN， 在△ADM和△CDN中， ， ∴△ADM≌△CDN（SAS）， ∴∠ADM＝∠CDN， ∵∠CDN+∠ADN＝90°， ∴∠ADM+∠ADN＝90°， ∴∠MDN＝90°． 28．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 29．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长． 【答案】（1）证明详情见上面；（2）3． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°， 在Rt△EBD与Rt△FCD中 ， ∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）； ∴DE＝DF， 在Rt△AED与Rt△AFD中 ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）； （2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE＝AF， ∴AF＝12+BE， ∵AC＝AF+FC ∴AC＝AB+BE+FC， ∴18＝12+BE+CF， ∵BE＝CF． ∴18＝12+2BE， ∴BE＝3． 30．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5， ①求证：AF⊥BD； ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①证明：如图1， ∵在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠AEC＝∠BEF， ∴∠BFE＝∠ACE＝90°， ∴AF⊥BD． ②∵∠ECD＝90°，BC＝AC＝12，DC＝EC＝5， ∴根据勾股定理得：BD＝13， ∵S△ABD＝AD•BC＝BD•AF， 即 ∴AF＝． （2）证明：如图2，∵∠ACB＝∠ECD， ∴∠ACB+∠ACD＝∠ECD+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4， ∴∠BFA＝∠BCA＝90°， ∴AF⊥BD． 31．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝58°，∠D＝109°，∠ACD＝42°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝3，求AB的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AB的长为16． 【解答】解：（1）在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， ∵∠D＝109°，∠ACD＝42°， ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝29°， ∵∠BAD＝58°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝29°， ∴∠DAC＝∠FAC＝29°， ∵AC＝AC， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝109°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝71°， ∵∠ACB＝80°，∠FAC＝29°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝71°， ∴∠B＝∠CFE， ∴CF＝BC， ∵CE⊥AB， ∴BF＝2BE＝6， ∴AB＝AF+BF＝10+6＝16， ∴AB的长为16． 32．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 　24　秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 　AC　边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【答案】（1）①全等；②2秒，2.25cm/s； （2）24，AC． 【解答】解：（1）①全等，理由如下： ∵t＝1秒， ∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米）， ∵AB＝9cm，点D为AB的中点， ∴BD＝4.5cm． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm， ∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm）， ∴PC＝BD． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDP和△CPQ中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； ②假设△BPD与△CQP， ∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 又由∠B＝∠C，则只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5， ∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒）， ∴vQ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）； （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9， 解得x＝24， ∴点P共运动了24×1.5＝36（cm）． ∴点P、点Q在AC边上相遇， ∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇． 故答案为：24；AC． 33．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°． 探究：判断△AEF的形状，并说明理由； 发现：DO与AD之间有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 探究：△AEF是等边三角形， ∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形 发现：DO＝AD， ∵Rt△AED≌Rt△AFD， ∴∠EAD＝∠CAD， 又∵∠BAC＝∠EAD+∠CAD＝60°， ∴∠EAD＝30°， ∴DE＝AD， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， 又∵△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°，AD⊥EF， 又∵∠AED＝∠DEO+∠AEO， ∴∠DEO＝30°， ∴OD＝DE， ∴DO＝AD． 五．角平分线的性质（共10小题） 34．在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵点P到△ABC的三边的距离相等， ∴点P应是△ABC三条角平分线的交点． 故选：A． 35．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°， ∠ADB+∠A+∠ABD＝180° ∠ADB＝∠C，∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， 又∴点D是直线BC外一点， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3， 即DP长的最小值为3． 故选：C． 36．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 37．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO， ∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点， ∴OE＝OD＝OF， ∵△ABC的面积是12，周长是8， ∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12， 即×8×OD＝12， 即OD＝3， 故选：C． 38．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ABC＝30，BC＝10， ∴△ADC的面积+△CDB的面积＝30， ∴AC•DF+BC•DE＝30， ∴AC•4+×10×4＝30， ∴AC＝5， 故选：C． 39．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BC＝4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DA＝DE＝2， ∵BC＝4， ∴△BCD的面积＝BC•DE＝×4×2＝4， 故选：B． 40．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝4，则点P到AD与BC的距离之和为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：过点P作PF⊥BC，垂足为F，延长FP交AD于点M， ∴∠BFP＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠BFP＝∠DMP＝90°， ∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC， ∴PE＝PF＝4， ∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD， ∴PE＝PM＝4， ∴MF＝PM+PF＝8， ∴点P到AD与BC的距离之和为8， 故选：C． 41．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD：DC＝3：2，S△ADC＝16，AB＝12，则CD的长为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 【答案】A 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∵BD：DC＝3：2， ∴△ABD的面积：△ACD的面积＝3：2， ∵S△ADC＝16， ∴S△ABD＝24， ∴AB•DE＝24， ∵AB＝12， ∴DE＝4， ∴DE＝DC＝4， 故选：A． 42．如图，AD是△ABC的角平分线，AB＝3，AC＝2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DF， 又∵AB＝3，AC＝2， ∴AB＝AC， ∵△ABD的面积为15， ∴S△ABD＝AB×DE＝×AC×DF＝15， ∴AC×DF＝10， ∴S△ACD＝AC×DF＝10， 故答案为：10． 43．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△FDE和Rt△HDG中， ， ∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL）， 同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL）， 设△EDF的面积为x，由题意得， 48﹣x＝26+x， 解得x＝11， 即△EDF的面积为11， 故答案为：11． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/29 4:36:01；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$