专题02 全等三角形（压轴题36题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题03 轴对称图形（压轴题36题） 一、单选题 1．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 3．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．如图，点是的中点，，，平分，下列结论： ①②③④． 四个结论中成立的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 10．△ABC的边AB=12，AC=8，则其中线AD的长度范围是（  ） A．4＜AD＜20 B．2＜AD＜10 C．8＜AD＜12 D．6＜AD＜14 11．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 12．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（    ） A．180° B．200° C．210° D．240° 13．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 15．如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 16．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 17．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 18．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．    19．如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③若，则；④． 20．如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 21．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ． 22．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点的坐标为，另一个顶点的坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题 23．已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 25．如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 26．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 27．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 28．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 29．在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 30．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．    (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______． (2)设，． ①如图2，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点在直线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论． 31．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    32．等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．    (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 33．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．    (1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． (2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：． (3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 34．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，且，D为x轴上的一个动点，，且，连接交y轴于点M．    (1)求A，B两点坐标． (2)若D点的坐标为，求E点的坐标． (3)当D点在x轴上运动时，求证：为定值． 35．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 36．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称图形（压轴题36题） 一、单选题 1．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 2．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 3．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，故④正确； ， ，故②错误， 综上所述：正确的是①③④． 故选：D． 4．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 5．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于选择题中的压轴题． 6．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 7．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易证，从而推得①正确； 利用及三角形内角和与对顶角，可证，但现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得，则③正确； 证明，则，可得出结论④正确； 利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴， 现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 即，故③正确； 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 故④正确． ∵，，， ∴，，， ∴． 故⑤正确． 综上可知，正确的有①③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 9．如图，点是的中点，，，平分，下列结论： ①②③④． 四个结论中成立的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】过作于，易证得，得到；而点是的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ∵，平分， ∴， ∴ ∴； 而点是的中点， ∴，所以④错误； ∵， ∴， ∴，所以②正确； ∴，所以③正确； ∴，所以①正确， 综上：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形全等的判定与性质． 10．△ABC的边AB=12，AC=8，则其中线AD的长度范围是（  ） A．4＜AD＜20 B．2＜AD＜10 C．8＜AD＜12 D．6＜AD＜14 【答案】B 【分析】求中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解． 【详解】解：如图所示， 延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC＝8， 在△ABE中，， 即， ∴12−8＜AE＜12＋8， ∴4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，要注意掌握出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法． 11．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌，所以正确； ， ， ，所以正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ，所以错误； ≌， ， ， ， ， ，所以正确． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 12．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（    ） A．180° B．200° C．210° D．240° 【答案】A 【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到． 【详解】解：过点作于，如图， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键． 13．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得 ，即，；③由①可知 ，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知 ，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半． 【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点， ∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°， ∴∠APF+∠CPF=90°， ∵∠EPF是直角， ∴∠APF+∠APE=90°， ∴∠APE=∠CPF， 在△APE和△CPF中， ， ∴△APE≌△CPF（ASA）， ∴AE=CF，故①②正确； ∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE， ∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误； ∵△APE≌△CPF， ∴S△APE=S△CPF， ∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 15．如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长至点，使得，连接，可证得到，，进而由可得，即可证得，得到，即可由得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴． 16．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，分两种情况：①当 P在线段 上，②当 P在射线 上，再分别分和 两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 则， ∴， 即时间为秒，不合题意； ③当在射线上，时，， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ④当在射线上，时，， 则， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 17．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 18．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．    【答案】①②③④ 【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正确；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，①正确； 过点P作，    ∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线，②正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，③正确； 在与中，， ∴， 同理，， ∴， 两式相加得，， ∵， ∴，④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 19．如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的． 【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， （SAS）， ，，故②是正确的； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ，故③是正确的； ， ， ， ， ， ， 故④是正确的． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的，是本题解题的关键． 20．如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 【答案】 【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为， ∵，而， ∴， ∴， 故； 又∵， 而， ∴， ∴， ∴， 而，则， ∵， ∴， 而， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用（或）证明三角形全等是解本题的关键． 21．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ． 【答案】8 【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解； 【详解】解：如图，延长AD交BC与点E， ∵BD平分 ∴ ∵BD=BD ∴ ∴AB=BE ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AD=DE， ∴ ∴ 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点的坐标为，另一个顶点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图：分别过B和A作y轴的垂线，垂足分别为D、E;根据余角的性质，可得∠DBC=∠ECA，然后运用AAS判定△BCD≌△CAE，可得CE=BD=6，AE=CD=OD-OC=4即可解答． 【详解】解：分别过B和A作y轴的垂线，垂足分别为D、E ∴∠BDC=∠AEC=90° ∵AC=BC，∠BCA=90°，∠BCD+ ∠ECA=90° 又∵∠CBD+ ∠BCD=90° ∴∠CBD= ∠ECA 在△BCD和△CAE中 ∠BDC=∠AEC=90°，∠CBD= ∠ECA，AC=BC ∴△BCD≌△CAE（AAS） ∴CE=BD=6，AE=CD=OD-OC=4 ∴OE=CE-OC=6-2=4 ∴A点坐标为（4，-4）． 故答案为（4，-4）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答本题的关键． 三、解答题 23．已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或，． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，推出，证明，通过全等三角形的对应边相等，得到； （2）由（1）同理可得，得，，通过可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 故答案为： （2）解：，理由如下 又 ， 故答案为： （3）解：①点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， 当时，， ， ， 当，，满足， 故，符合题意 ②点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ，， 当时，， ， ， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， 当，时，满足， 故，符合题意； 综上，，或， 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解： 和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解： 轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 25．如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②垂直，见解析 【分析】（1）证明，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论； （2）①延长至M，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点N，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①延长至M，使，连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ②延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 27．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中 ， ， ，， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）线段、、之间的数量关系是， 在上截取，连接， ，，， ， 在与中 ， ， ， ， 又∵， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 28．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 29．在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)是一个固定的值， 【分析】（1）证，即可得证； （2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证； （3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于，于． 由（）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 又，， 平分， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键． 30．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．    (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______． (2)设，． ①如图2，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点在直线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；根据全等三角形的判定证明是解题的关键． （1）结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解； ②当点在射线上时，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解； 当点在射线的反向延长线上时，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴； 故答案为：． （2）解：①； 理由：∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴， 即， ∴、存在的数量关系为． ②当点在射线上时，如图1，    ∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴， 即， ∴、存在的数量关系为； 当点在射线的反向延长线上时，如图2，    ∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴， 即， ∴、存在的数量关系为． 31．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    【答案】（1），，（2）；（3），，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接，    由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 32．等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．    (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的长度不变， 【分析】（1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 33．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．    (1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：． (2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：． (3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，， 【分析】（1）欲证明已经有一边，一角相等，只要证明即可． （2）如图②中，过分别作于点，作于点，由，推出．因为，，推出平分，由此即可证明． （3）结论：当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，，分两种情况讨论，连接，证明，推出即可． 【详解】（1）证明：如图①中，    即， ， ． 在与中， ， ， （2）证明：过分别作于点，作于点，如图②．    由（1）中结论，得， 在与中， ， ， ． ，， 平分， ， ， ． （3）结论：当点在线段上时，． 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段上时，理由如下：连接，如图：    ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 当点在线段的延长线上时，理由如下：连接，如图：    ，，为的中点， ，，， ， 即， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 34．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，且，D为x轴上的一个动点，，且，连接交y轴于点M．    (1)求A，B两点坐标． (2)若D点的坐标为，求E点的坐标． (3)当D点在x轴上运动时，求证：为定值． 【答案】(1)A点的坐标为，B点的坐标为， (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出的值即可； （2）过点作轴于．证明可得结论； （3）是定值，证明可得为的中点；证明可得结论． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， （2）过点作轴于．    ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． （3）， ， ， ， 轴， ， ，， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 35．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 36．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$