专题01 三角形（压轴题30题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题01 三角形（压轴题30题） 一、单选题 1．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 3．如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 5．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得 和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 7．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（      ） A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7 9．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 10．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（　　） A．8.5 B．8 C．9.5 D．9 二、填空题 11．如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 12．如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 13．设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为 ．    14．如图，长方形纸片，点，分别在，边上，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点与点重合，点落在点，折痕为，若，则 度． 15．如图，中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将沿翻折，使点落在点处，若，，则的度数为 ． 16．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，．平面镜AB与BC的夹角∠ABC=α，则α= ． （2）如图③，若α=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出β= ．（可用含x的代数式表示）    17．如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则 ． 18．如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同样的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面积是 ． 19．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    20．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=41°，∠2=51°，那么∠3的度数等于 ．    三、解答题 21．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 22．【问题探究】如何证明三角形内角和定理？ （1）方法1：过的顶点A作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点A作，求证：． （2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成边上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，P是边上的任意一点，求证：． 【定理应用】 （3）如图3，点P是边上的任意一点，射线，平分，点N为线段上一点（点N不与点P，D，E重合），且．若，，试用含的式子表示． 23．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 24．在中，与的平分线相交于点P．        (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 25．阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则 ． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 26．典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    27．如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有_______个，以点为交点的“8字型”有________个； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出、、之间的关系（不需要证明）．    28．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，，分别平分，， ① 图2中共有____________个“8字形”； ② 若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或其他方法） ③ 猜想图2中与的数量关系，并说明理由．    29．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    (1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”； (2)若，试说明：是“完美三角形”； 【应用拓展】 (3)如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度数． 30．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题再现】 (1)如图1，在中，、的角平分线交于点P，，则______°； 【问题解决】 (2)如图2，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，求的度数； 【问题推广】 (3)如图3，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，直接写出______°； 【拓展提升】 (4)在四边形中，，点F在射线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形（压轴题30题） 一、单选题 1．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 2．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 3．如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质， 熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键. 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到 ，根据平行线的性质得到之间的等量关系，列出方程求解即可. 【详解】解：如图1，当点在上时，过点C作． 因为三角形由三角形平移得到， 所以． 因为，， 所以． ①当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以； 图1 ②当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以． 如图2，过点C作． 因为三角形由三角形ABC平移得到， 所以． 因为，， 所以． ①当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得，所以； 图2 ②当时，由图可知，，故不存在这种情况 综上所述，的度数为或或， 故选C． 4．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解： ，的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，故①正确， 平分， ， ，， ，故②正确； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ．故④正确， 综上正确的有：①②④， 故选：C． 5．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 6．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得 和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得 ，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD， ∴＝∠ABC，＝∠ACD， ∴ ＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A， 同理可得＝ ＝∠A， ∴＝∠A， ∵， ∴＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 7．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出． 【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图， ∵的外角和的外角是同角， ∵，， ∵平分和， ∴，， ∴，， ∵在中，， 在中， ∴，； ∵， ∴， ， 整理得，， 化简得， 将，代入，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键． 8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（      ） A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7 【答案】D 【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，分类讨论即可确定原多边形的边数． 【详解】解：如图， 剪切的三种情况： ①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=720， 解得：n=6． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键． 9．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c<0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】根据三角形的三边关系，得 a-b-c<0，b-a-c <0 ∴原式= 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 10．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（　　） A．8.5 B．8 C．9.5 D．9 【答案】B 【分析】连接CE，由AE=ED可得△ABE和△BED面积相等、△AEC与△DEC面积相等，同理可得△ABD的面积是△ADC面积的2倍，由△AEB与△BEC的面积比可得到其BE边上高之比，进而得到△EFC与△AEF的面积之比，求得△AEF的面积，再用△ADC的面积减去△AEF的面积即可得到四边形EDCF的面积． 【详解】解：连接CE． ∵△ABC的面积为30，AE=ED，BD=2DC ∴S△ABD=20，S△ADC=10，S△ABE=S△BDE=10 ∴S△EDC=5 ∴S△BEC=15 ∴S△ABE:S△BEC=2:3 ∴△ABE与△BEC边上高之比为2:3 ∴S△AEF: S△EFC=2:3 ∵S△AEC= S△ADC- S△EDC=5 ∴S△AEF= ∴四边形EDCF的面积为S△ADC- S△AEF=8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形面积计算的应该用，掌握面积公式并能熟练运用是解题关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了三角形外角定理，三角形内角和等知识．根据三角形外角定理得到，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图： ∵是外角， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 13．设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为 ．    【答案】60 【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：在图①中，连接，    ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：60. 【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律． 14．如图，长方形纸片，点，分别在，边上，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点与点重合，点落在点，折痕为，若，则 度． 【答案】 【分析】根据将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，得出，，可得，根据四边形为长方形，得出，可得，可求，根据为对称轴，可得，可得，根据，列方程，解方程即可． 【详解】解：∵纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ∵四边形为长方形， ， ， ， ∵再次折叠纸片使点与点重合，点落在点，折痕为， 四边形与四边形关于对称， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理及其推论，恰当应用折叠的性质是解题的关键． 15．如图，中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将沿翻折，使点落在点处，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据折叠，得到对应角相等，利用平角是和对顶角相等，求出，利用三角形内角和为，求出，进而求出，再利用外角的性质，即可求出． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，平角的定义，三角形的内角和为，以及外角的性质．熟练掌握折叠后，对应角相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 16．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，．平面镜AB与BC的夹角∠ABC=α，则α= ． （2）如图③，若α=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出β= ．（可用含x的代数式表示）    【答案】 90° 162°或90°＋x． 【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线ab，可知同旁内角互补，进一步求得α的度数； （2）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（1）的结论，三次反射的情况画图进行分析． 【详解】解：（1）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，PG与QG相交于点G， ∵平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴∠EPG＝∠QPG，∠PQG＝∠FQG， ∵ab， ∴∠EPQ＋∠PQF＝180°， ∴2（∠QPG＋∠PQG）＝180°， ∴∠QPG＋∠PQG＝90°， ∵∠QPG＋∠PQG＋∠PGQ＝180°， ∴∠PGQ＝90°， ∵PG⊥AB，QG⊥BC， ∴∠PBQ＋∠BQG＋∠QGP＋∠GPB＝360°， ∴∠PBQ＝360°－90°－90°－90°＝90°， 即α＝90°； 故答案为：90° （2）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC相交于点E， 由（1）知，∠E＝90°， ∵α＝108°， ∴∠BCE＝α－∠E＝108°－90°＝18°， ∴β＝180°－∠BCE＝108°－18°＝162°， 若经过三次反射，标记各反射点，如图④所示，作FMa，则FMab， ∵∠BHF＝∠AHR＝x， ∴∠BFH＝∠CFG＝180°－α－x＝180°－108°－x＝72°－ x， ∴∠RHF＝180°－2x，∠HFG＝180°－2∠BFH＝180°－2（72°－x）＝36°＋2x， ∵FMab， ∴∠RHF＋∠HFG＋∠FGS＝∠RHF＋∠HFM＋∠GFM＋∠FGS＝360°， ∴∠FGS＝360°－（36°＋2x）－（180°－2x）＝144°， 则∠CGF＝（180°－∠FGS）÷2＝18°， 由∠CGF＋∠CFG＋β＝180°， 得到β＝180°－∠CGF－∠CFG＝180°－18°－（72°－ x）＝90°＋x， 综上，β的度数为162°或90°＋x． 故答案为：162°或90°＋x． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平面镜成像入射角等于反射角是解题的关键． 17．如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则 ． 【答案】/30度 【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点P， ∴，， ∵在四边形ABCD中，， ∴， 由三角形的外角性质得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的性质及外角性质是解题关键． 18．如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同样的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面积是 ． 【答案】 【详解】试题解析：∵△ABC三边的中点A1，B1，C1， ∴B1C1=BC，A1B1=AB，A1C1=AC， ∴△A1B1C1∽△ABC， ∴S△A1B1C1=S△ABC=， 同理：S△A2B2C2=S△A1B1C1=， ∴S△AnBnCn=， ∴正△A8B8C8的面积是：． 19．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    【答案】105° 【详解】由图a知，∠EFC=155°. 图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°. 图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°. 故答案为105°. 点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在. 20．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=41°，∠2=51°，那么∠3的度数等于 ．    【答案】10° 【详解】试题分析：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°=108°，则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2=10°．故答案为10°． 考点：1．多边形内角与外角；2．三角形内角和定理． 三、解答题 21．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题． （4）由前面小题的结论易求，，再将已知条件代入化简可求，进而可求解． 本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：（1）在中，， 在中，， ， ； （2）、分别平分． ， 由（1）的结论得：， ①②，得 ． （3）如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ，， ， ； （4）由（1）可知：，，， ，， ， ，，，， ，， ， ． 故答案为：． 22．【问题探究】如何证明三角形内角和定理？ （1）方法1：过的顶点A作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点A作，求证：． （2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成边上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，P是边上的任意一点，求证：． 【定理应用】 （3）如图3，点P是边上的任意一点，射线，平分，点N为线段上一点（点N不与点P，D，E重合），且．若，，试用含的式子表示． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和平角的定义可解答； （2）如图2，过点作交于点，作交于点，根据平行线的性质和平角的定义可解答； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，②如图4，当点在线段上时，根据平行线的性质和角平分线的定义，三角形外角的性质可解答． 【详解】（1）证明：， ，． ， ； （2）证明：如图2，过点作交于点，作交于点， ，，， ， ； （3）解：①如图3，当点在线段上时， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，当点在线段上时， ； 综上：或． 23．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 【答案】(1)①；；②，证明见解析； (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键. （1）①利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可求解；②利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可证明； （2）延长交于点P，在中，求得，利用（1）的结论即可解决问题. （3）如图，延长，延长交于点，求解，由，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P，可得分别平分，利用（2）的结论可得答案； 【详解】（1）解：①平分，平分， ， ， ∵，则； ∵，则； ②猜想：，理由如下： 平分，平分， ， ； （2）解：延长交于点P，   ，， ，， 在中，， 由（1）结论得： （3）解：如图，延长，延长交于点， ∵，， ∴，    ∵，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P， ∴分别平分， 由（2）的结论可得： ； 24．在中，与的平分线相交于点P．        (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键． （1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解； （2）同（1）中方法计算即可； （3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明； ②分四种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ∵P是和的平分线的交点， ， （2）解：， ， ∵P是和的平分线的交点， ， ， ． （3）①∵是的外角的平分线， ． ∵平分， ． ， ， 即． ， ， 即． ②的度数是或或或． 由图得 ． 在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况： （Ⅰ）， 则，； （Ⅱ）， 则，，； （Ⅲ），又 则，； （Ⅳ），又， 则，． 综上所述，的度数是或或或． 25．阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则 ． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）平分，平分， ，， ． 故答案为：； （3）如图5， 是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 26．典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：（1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：27． 27．如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有_______个，以点为交点的“8字型”有________个； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出、、之间的关系（不需要证明）．    【答案】(1)见详解 (2)①3，4②③ 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和，共3个； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和，共4个； 故答案为：3，4； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 28．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，，分别平分，， ① 图2中共有____________个“8字形”； ② 若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或其他方法） ③ 猜想图2中与的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）见解析．（2）①6；②；③ 【分析】（1）根据三角形内角和定理及对顶角即可证明； （2）① 根据“8”字形的特征：有一组对顶角的两个三角形即可得出数量； ② 由“8字形”数量关系可得，从而，又由，分别平分，可得，，最后根据“8字形”数量关系即可求解； ③ 由② 易知，，又由角平分线可得，，从而得证． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， ， （对顶角相等）， ； （2）① 交点是点M，N各有1个， 和，和， 交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个， 和，和，和，和， 所以，“8字形”图形共有6个，    故答案为：6； ② ，， ， ， ，分别是和的平分线， ，， 又， ； ③ ．理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ，， ，分别是和的平分线， ，， ， 整理得，． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，“8”字形模型，角平分线，掌握相关性质定理并加深理解是解决本题的关键． 29．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    (1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”； (2)若，试说明：是“完美三角形”； 【应用拓展】 (3)如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度数． 【答案】(1)，，是 (2)见详解； (3)或 【分析】（1）根据即可得到，结合即可得到与，即可得到答案； （2）根据，，即可得到即可得到答案； （3）根据，，得到，得到，根据角平分线的定义得到，结合得到，从而得到，即可得到，即可得到，结合“完美三角形”列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是完美三角形， 故答案为：，，是； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是“完美三角形”； （3）解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“完美三角形”， ①当时，根据三角形内角和定理可得， ， 解得：， ②当时，根据三角形内角和定理可得， ， 解得：， 综上所述：或； 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线有关计算，平行线判定与性质，解题的关键是理解题目中的新定义，注意分类讨论． 30．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题再现】 (1)如图1，在中，、的角平分线交于点P，，则______°； 【问题解决】 (2)如图2，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，求的度数； 【问题推广】 (3)如图3，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，直接写出______°； 【拓展提升】 (4)在四边形中，，点F在射线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 【答案】(1)110 (2) (3)49 (4)在左侧；在中间；在右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）分点在点左侧，点在、之间，点在点右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：110； （2）由折叠的性质可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：49； （4）当点在点左侧时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 当在、之间时，如图所示： 同理可得，，， ∴； 当点F在D点右侧时，如图所示： 同理可得； 综上所述，在左侧；在中间；在右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$