专题03 轴对称复习（易错题38题14个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题03 轴对称复习（易错题38题14个考点） 一．线段垂直平分线的性质（共3小题） 1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　． 2．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　． 3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明． 二．等腰三角形的性质（共8小题） 4．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．13或10 5．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 6．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（　　） A．70 B．55° C．70°或55° D．60° 7．如图所示，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（　　）根． A．4 B．5 C．8 D．无数 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　 　． 9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是 　 　． 10．已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和9cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是 　 　cm． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高． （1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明； （2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 三．等腰三角形的判定（共5小题） 12．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有　 　个． 16．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有　 　个． 四．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 17．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果） 五．等边三角形的性质（共3小题） 19．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　 　． 20．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝4，则△A6B6A7的边长为　 　． 21．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使，点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F． （1）求∠E和∠AFD的度数； （2）求证：DE＝2DF． 六．等边三角形的判定与性质（共2小题） 22．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 23．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 七．含30度角的直角三角形（共2小题） 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 　 　秒时，△PBQ为直角三角形． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 八．生活中的轴对称现象（共1小题） 26．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 九．轴对称图形（共1小题） 27．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 一十．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题） 28．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点A（﹣2，3）按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A1（﹣1，3），再将A1（﹣1，3）关于x轴对称得到A2（﹣1，﹣3），再将A2（﹣1，﹣3）关于y轴对称得到A3（1，﹣3）…依次类推．点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（　　）（注：“012”算3次变换） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 一十一．坐标与图形变化-对称（共3小题） 29．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（　　） A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3） 30．明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1） 31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），若△ABC是关于直线y＝1的轴对称图形，则点B的坐标为　 　；若△ABC是关于直线y＝a的轴对称图形，则点B的坐标为　 　． 一十二．作图-轴对称变换（共1小题） 32．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出　 　个不同的格点三角形与△ABC成轴对称． 一十三．剪纸问题（共1小题） 33．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 一十四．轴对称-最短路线问题（共5小题） 34．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 35．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 36．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（　　） A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α 37．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 38．如图，已知点P是高为2的等边△ABC的中线AD上的动点，E是AC边的中点，则PC+PE的最小值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称复习（易错题38题14个考点） 一．线段垂直平分线的性质（共3小题） 1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG， ∴CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL）， ∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x， ∴12﹣x＝8+x， 解得x＝2， ∴AF＝12﹣2＝10． 故答案为：10． 2．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠BAC） ＝90°+∠BAC， 即∠BAC＝2∠BPC﹣180°； 如图，连接AO． ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC） ＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）， ＝2∠OAB+2∠OAC ＝2∠BAC ＝2（2∠BPC﹣180°） ＝4∠BPC﹣360°， 故答案为：4∠BPC﹣360°． 3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴点A、D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）， 证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠EAD＝30°， ∴DE＝AD， ∵∠EAD＝30°，DE⊥AB， ∴∠DEO＝30°， ∴OD＝DE， ∴DO＝AD． 二．等腰三角形的性质（共8小题） 4．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．13或10 【答案】B 【解答】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17． 故选：B． 5．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【答案】C 【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意， 得①或② 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：C． 6．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（　　） A．70 B．55° C．70°或55° D．60° 【答案】C 【解答】解：①当∵∠A是顶角时， ∵∠A的相邻外角是110°， ∴∠A＝180°﹣110°＝70°， ∵只有当∠B＝∠C时，△ABC为等腰三角形， ∴∠B＝（180°﹣70°）÷2＝55°， ②当∠A＝∠B是底角时， ∵∠A的相邻外角是110°， ∴∠A＝180°﹣110°＝70°， ∴∠B＝70°， 故选：C． 7．如图所示，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（　　）根． A．4 B．5 C．8 D．无数 【答案】B 【解答】解：如图所示： 依题意得：第一个等腰△EOF的底角∠O＝15°， 第二个等腰△FEG的底角∠FEG＝15°+15°＝30°， 第三个等腰△GFH的底角∠GFH＝30°+15°＝45°， 第四个等腰△HGT的底角∠HGT＝45°+15°＝60°， 第五个等腰△THK的底角∠THK＝60°+15°＝75°， 此时∠KTB＝75°+15°＝90°， 因此不存在第六个等腰三角形， ∴最多只能作出五个等腰三角形， ∴最多只能添加这样的钢管5根． 故选：B． 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　60°或120°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°； 当高在三角形外部时，顶角是120°． 故答案为：60°或120°． 9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是 　80°或110°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：分三种情况： ①当CD＝DE时， ∵∠CDE＝40°， ∴∠DCE＝∠DEC＝70°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝110°， ②当DE＝CE时， ∵∠CDE＝40°， ∴∠DCE＝∠CDE＝40°， ∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝80°． ③当EC＝CD时， ∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵∠ACB＝100°， ∴此时，点D与点A重合，不合题意． 综上所述，若△ADC是等腰三角形，则∠ADC的度数为80°或110°． 故答案为：80°或110°． 10．已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和9cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是 　3　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设腰长为x cm，底为y cm， 则由题意可知x+x＝18或9，解得x＝12或6， 而三角形的周长为2x+y＝18+9， 当x＝12时可解得y＝3，此时三角形的三边为12cm，12cm，3cm，满足三角形的三边关系，此时底边长为3cm， 当x＝6时可解得y＝15，此时三角形的三边为6cm，6cm，15cm，此时6+6＜15，不满足三角形的三边关系，不合题意； 综上可知底边长为3cm． 故答案为：3． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高． （1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明； （2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下： ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在△BED和△CFD中 ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF． （2）DE+DF＝CG． 证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD， 即AB•CG＝AB•DE+AC•DF， ∵AB＝AC， ∴CG＝DE+DF． 三．等腰三角形的判定（共5小题） 12．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：如图所示： 当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）． 故选：B． 13．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个． 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的6个交点即为所求； 作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求； 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有　12　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC＝36°， ∵ED∥BC， ∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°， ∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形， 在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形， 同理△AEC也是等腰三角形， 在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， ∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°， ∴OD＝OE，OB＝OC，即△ODE，△OBC也为等腰三角形， ∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°， ∴CD＝CO，BE＝OB， ∴△CDO，△BOE也是等腰三角形， 所以共有12个等腰三角形． 故填12． 16．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有　4　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个． 故答案为：4． 四．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 17．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2）， 故选：B． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）△ADF的形状是等腰直角三角形， 理由是：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AF平分∠EAC， ∴∠EAF＝∠FAC， ∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC＝∠EAC+∠BAC＝×180°＝90°， 即△ADF是直角三角形， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠EAC＝2∠EAF＝∠B+∠ACB， ∴∠EAF＝∠B， ∴AF∥BC， ∴∠AFD＝∠FDC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠FDC＝∠AFD， ∴AD＝AF， 即直角三角形ADF是等腰直角三角形． 五．等边三角形的性质（共3小题） 19．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　30a　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手， 比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x， 则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a， 所以六边形周长是， 2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）＝7x+9a， 而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍， 即x+3a＝2x， 故x＝3a． 所以周长为7x+9a＝30a． 故答案为：30a． 20．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝4，则△A6B6A7的边长为　128　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝4， ∴A2B1＝4， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝16＝24， A4B4＝8B1A2＝32＝25， A5B5＝16B1A2＝64＝26， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n+1， ∴△A6B6A7的边长为：26+1＝128． 故答案为：128． 21．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使，点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F． （1）求∠E和∠AFD的度数； （2）求证：DE＝2DF． 【答案】（1）∠E的度数为30°，∠AFD的度数为90°； （2）证明过程见解答． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC， ∵∠ACB是△CDE的一个外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°， ∵点D是边AC的中点， ∴CD＝AC， ∵CE＝BC， ∴CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∴∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠E＝90°， ∴∠AFD＝180°﹣∠BFD＝90°， ∴∠E的度数为30°，∠AFD的度数为90°； （2）证明：连接BD， ∵BA＝BC，点D是边AC的中点， ∴∠ABD＝∠DBE＝∠ABC＝30°， ∴∠DBE＝∠E＝30°， ∴DB＝DE， ∵∠BFD＝90°， ∴BD＝2DF， ∴DE＝2DF． 六．等边三角形的判定与性质（共2小题） 22．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZN＝a， ∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZ＝GF＝a， 同理IN＝a， ∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 23．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）故答案为：＝． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝BD， 故答案为：＝． （3）解：CD＝1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AB＝1，AE＝2， ∴AB＝BE＝1， ∵EN⊥DC，AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠ENB＝90°， 在△ABM和△EBN中， ， ∴△AMB≌△ENB（AAS）， ∴BN＝BM＝， ∴CN＝1+＝， ∴CD＝2CN＝3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AM∥EN， ∴＝， ∴＝， ∴MN＝1， ∴CN＝1﹣＝， ∴CD＝2CN＝1， 即CD＝3或1． 七．含30度角的直角三角形（共2小题） 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 　10或16　秒时，△PBQ为直角三角形． 【答案】10或16． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm， ∴BC＝AB＝20（cm），∠B＝90°﹣∠A＝60°， 由题意得：BQ＝t cm，AP＝2t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（40﹣2t）cm， 分两种情况： 当∠BQP＝90°时，如图： ∴∠BPQ＝90°﹣∠B＝30°， ∴BP＝2BQ， ∴40﹣2t＝2t， 解得：t＝10； 当∠BPQ＝90°时，如图： ∴∠BQP＝90°﹣∠B＝30°， ∴BQ＝2BP， ∴2＝2（40﹣2t）， 解得：t＝16； 综上所述：当点P运动10或16秒时，△PBQ为直角三角形， 故答案为：10或16． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或t＝1． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 八．生活中的轴对称现象（共1小题） 26．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 九．轴对称图形（共1小题） 27．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4，5共5个， 故选：D． 一十．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题） 28．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点A（﹣2，3）按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A1（﹣1，3），再将A1（﹣1，3）关于x轴对称得到A2（﹣1，﹣3），再将A2（﹣1，﹣3）关于y轴对称得到A3（1，﹣3）…依次类推．点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（　　）（注：“012”算3次变换） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 【答案】D 【解答】解：点B（1，1）按序列“012”作变换，表示点B先向右平移一个单位得到B1（2，1），再将A1（2，1）关于x轴对称得到B2（2，﹣1），再将B2（2，﹣1）关于y轴对称得到B3（﹣2，﹣1）…依次类推，点（1，1）经过“012”变换得到点（﹣2，﹣1），点（﹣2，﹣1）经过“012”变换得到点（1，1），说明经过6次变换回到原来的位置， 100÷6＝16……4， 所以点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（﹣1，﹣1）． 故选：D． 一十一．坐标与图形变化-对称（共3小题） 29．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（　　） A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3） 【答案】C 【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1）， ∴AB＝BC＝2， ∴C（3，3）， 一次变换后，点C1 的坐标为（2，﹣3）， 二次变换后，点C2的坐标为（1，3）， 三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3）， …， ∵2019次变换后的正方形在x轴下方， ∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016． ∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）． 故选：C． 30．明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1） 【答案】D 【解答】解：将第4枚圆形放在中心方形棋子的正上方一格处，即（﹣1，1）处，构成以过点（﹣1，0），（0，﹣1）的直线为对称轴的轴对称图形． 故选：D． 31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），若△ABC是关于直线y＝1的轴对称图形，则点B的坐标为　（4，﹣2）　；若△ABC是关于直线y＝a的轴对称图形，则点B的坐标为　（4，2a﹣4）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点， ∴它们到y＝1的距离相等，是3个单位长度，AB⊥x轴， ∴点B的坐标是（4，﹣2）． 若△ABC是关于直线y＝a的轴对称图形，则点B的横坐标为4，纵坐标为a﹣（4﹣a）＝2a﹣4， ∴点B的坐标为（4，2a﹣4）， 故答案为：（4，﹣2），（4，2a﹣4）． 一十二．作图-轴对称变换（共1小题） 32．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出　5　个不同的格点三角形与△ABC成轴对称． 【答案】答案请看解析过程． 【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示， 在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称． 最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称， 故答案为：5． 一十三．剪纸问题（共1小题） 33．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B． 故选：B． 一十四．轴对称-最短路线问题（共5小题） 34．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 35．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图， 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∴∠AE′F′＝65°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， ∴∠E′B′G＝∠E′BG， ∵∠BAC＝50°， ∴∠AB′F′＝40°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠BE′F′＝50°， ∴∠AE′B＝115°． 故选：B． 36．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（　　） A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α 【答案】B 【解答】解：作点C关于OM的对称点C′，过点C′作射线OP，则∠MOP＝α，连接C′B，C′D，则C′B＝CB，C′D＝CD，作点D关于OP的对称点D′，过点D′作射线OQ，则∠POQ＝α，连接C′D′，则C′D′＝C′D＝CD， ∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′， 要使AB+BC+CD最小，需点A，B，C′，D′在一条直线上，且AD′⊥OQ， ∵α＜30°， ∴∠NOQ＝3α＜90°， ∴可以过点A作AD′⊥OQ， 此时∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α， ∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α， ∴当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α， 故选：B． 37．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵BD⊥AC，AQ＝3，QD＝2， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝5， 如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE， 此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵AQ＝3，AD＝DC＝5， ∴QD＝DQ′＝2， ∴CQ′＝BP＝3， ∴AP＝AQ′＝7， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝7， ∴PE+QE的最小值为7． 故选：A． 38．如图，已知点P是高为2的等边△ABC的中线AD上的动点，E是AC边的中点，则PC+PE的最小值是　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，连接BP， ∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD垂直平分BC，高AD＝2， ∴BP＝CP， ∴PC+PE＝BP+PE， 当B，P，E三点共线时，BE的长即为PC+PE的最小值， ∵E是AC边的中点， ∴BE是等边三角形的中线， ∴BE＝AD＝2， 即PC+PE的最小值2， 故答案为：2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/29 5:02:48；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$