高二数学期中模拟卷01（人教A版2019选择性必修第一册：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线 3 3 1 0x y   的倾斜角为（ ） A．30 B．135 C．60 D．150 2．在四面体OABC中，OA a   ，OB b   ，OC c   ，G为 ABC 的重心， P在OG上，且 1 2 OP PG   ，则 AP   （ ） A． 2 1 1 9 9 9 a b c     B． 8 1 1 9 9 9 a b c    C． 8 1 1 9 9 9 a b c     D． 2 1 1 9 9 9 a b c    3．“ 3m   ”是“直线  1 : 1 2 1 0l m x y    与直线 2 : 3 1 0l x my   平行”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线 : 1 0l x y   与圆 2 2: 2 3 0C x y x    交于 ,A B两点，则 ACB 的面积为（ ） A． 3 B．2 C．2 2 D． 3 2 5．双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b     的一条渐近线为 3y x ，则 C的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D．4 6．已知椭圆E： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的右焦点为  3,0F ，过点F 的直线交椭圆E于 ,A B两点，若 AB的中 点坐标为 (1, 1) ，则椭圆E的方程为（ ） A． 2 2 1 18 9 x y   B． 2 2 1 27 18 x y   C． 2 2 1 36 27 x y   D． 2 2 1 45 36 x y   7．已知直线 1 : 5 0l ax y   与直线 2 : 4 0( )l x ay a a    R 的交点为 P，则点 P到直线 : 3l y x  距离的 取值范围是（ ） A．[3 2,7 2] B． (3 2,7 2] C．[2 2,6 2] D． (2 2,6 2] 8．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为F ，点 , , (2,2)M N A 在抛物线C上， 0AM ANk k  ，其中 1AMk  ，则 | sin sin |FMN FNM   的最大值为（ ） A． 5 5 B． 2 5 5 C． 3 5 5 D． 4 5 5 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 12, 1AB AD AA   ，点M 为线段 1 1B D 上动点（包括端点），则 下列结论正确的是（ ） A．当点M 为 1 1B D 中点时， 1C M 平面 1 1BB D D B．当点M 为 1 1B D 中点时，直线DM 与直线BC所角的余弦值为 2 3 C．当点M 在线段 1 1B D 上运动时，三棱锥 1C BDM 的体积是定值 D．点M 到直线 1BC 距离的最小值为 6 3 10．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的动弦 AB，圆 2 2 2 2 8C : ( x a ) ( y )    ，则下 列选项正确的是（ ） A．当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时，则实数 a的取值范围为[ 3,5] B． 1ABC 的面积最大值为 1 C．若原点O始终在动弦 AB上，则OA OB   不是定值 D．若动点 P满足四边形OAPB为矩形，则点 P的轨迹长度为2 3π 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点  1 2,0F  与到点  2 2,0F 的距离之积为 4，则下 列结论正确的是（ ） A．点  2 2,0D 在曲线C上 B．点  ,1 ( 0)M x x  在C上，则 1 2 2MF  C．点Q在椭圆 2 2 1 6 2 x y   上，若 1 2FQ F Q ，则Q C D．过 2F 作 x轴的垂线交C于 ,A B两点，则 2AB  第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1AB  ， 1 2AA  ，D为 1B B的中点，则异面直线 1A B与 1C D所成角 的余弦值为 ． 13．已知圆 C：    2 21 1 4x y    ，若直线 5y kx  上总存在点 P，使得过点 P的圆 C的两条切线夹角为 60，则实数 k的取值范围是 . 14．已知O为坐标原点，双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，点M 在以 2F 为圆心､ 2OF 为半径的圆上，且直线 1MF 与圆 2F 相切，若直线 1MF 与C的一条渐近线交于点N ，且 1FM MN   ，则C的离心率为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知 (3,1), ( 1,2),A B ACB  的平分线所在的直线的方程为 1y x  ． (1)求 AB的中垂线方程； (2)求 AC的直线方程． 16．（15 分）已知圆 C的方程为：    2 23 1 4x y    ． (1)若直线 : 0l x y a   与圆 C相交于 A、B两点，且 2 2AB  ，求实数 a的值； (2)过点  1, 2M 作圆 C的切线，求切线方程． 17．（15 分）如图，在圆锥 PO中，AC为圆锥底面的直径， B为底面圆周上一点，点D在线段 BC上， 2 6AC AB  ， 2CD DB . (1)证明： AD 平面 BOP； (2)若圆锥 PO的侧面积为18π ，求二面角O BP A  的余弦值. 18．（17 分）已知双曲线C和椭圆 2 2 1 4 x y  有公共焦点，且离心率 6 2 e  ． (1)求双曲线C的方程； (2)过点  2,1P 作两条相互垂直的直线 ,PM PN 分别交双曲线C于不同于点 P的M N、 两点，求点 P到直 线MN 距离的最大值． 19．（17 分）已知F 为椭圆C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的左焦点，椭圆C过点  2, 2P ，且直线PF 的斜率 为 2 4 . (1)求椭圆C的方程； (2)若点  1 1,M x y ，  2 2,N x y 在椭圆C上，且 90MFN  ，过M ，N 分别作椭圆C的切线 1l ， 2l ， 1l 与 2l 相交于点Q . （i）求点Q的轨迹方程； （ii）求 PQF△ 周长的最小值. 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选A. 2．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以， 所以，因为，，， 所以，故选C. 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，直线与平行；当直线与直线平行时，有且，解得，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选A. 4．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则,故的面积为.故选B. 5．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由双曲线方程易知C的渐近线为，所以，则.故选C. 6．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设，所以，两式相减可得，整理可得，根据题意可知直线的斜率为，由的中点坐标为可得；因此，可得，又焦点为可得，解得；所以椭圆的方程为.故选A. 7．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.圆心到直线l距离为，因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.故选D. 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点在抛物线上，把点代入中得，则， 所以抛物线为，直线， 与抛物线方程联立可得，，则，则，，则， 所以用替换可得，则， 则，故， 直线，即， 则点到直线的距离， ，， ， 而， 令，因为，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立，故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选ACD 10．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，当圆和圆存在公共点时，，所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；对于B，的面积为，当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以，当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，与圆联立得，，设， 则，，综上，恒为定值，错误；对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其周长为长度为，正确.故选ABD. 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与， 则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又， 所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【解析】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，，所以，则直线与所成角的余弦值为，故答案为：. 13．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 【答案】或． 【解析】圆，则圆心为，半径，设两切点为，则，因为，在中，，所以,因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或．    14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 【答案】 【解析】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，将代入中，故，则.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的平分线所在的直线的方程为． (1)求AB的中垂线方程； (2)求AC的直线方程． 【解析】（1）的中点坐标为，又，-----------------------------2分 故AB的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分 故AB的中垂线方程为，即；----------------------------------------------------6分 （2）由对称性可知，关于的对称点在直线上，故，-----9分 解得，故，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分 故直线的方程为，即.---------------------------------------------------------13分 16．（15分）已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 【解析】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2，--------------2分 直线与圆相交于、两点，且，则，----------4分 解得或；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，-------------------------------------------------------8分 切线的斜率存在时，可设切线为，即，---------------------------------------9分 由切线的定义可知，，解得，---------------------------------------------------------13分 故切线方程为，综上所述，切线方程为或．-------------------------15分 17．（15分）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. (1)证明：平面BOP； (2)若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 【解析】（1）平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设，故，，-----------------------------------------------------------2分 ，. .-------------------------------5分 故，平面，平面.---------7分 （2）圆锥PO的侧面积，， 由（1）可知，为平面的法向量，---------------------------------------------------------8分 设平面的法向量为，而，， 故，令得，-----------------------------------------------12分 则， 所以二面角的余弦值为.----------------------------------------------------------------------------15分 18．（17分）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以双曲线的，又因为， 所以，所以双曲线的方程为.---------------------------------------5分 （2）当直线的斜率不存在时，设，则，， 依题意，，即，由解得或（舍去），所以，此时到直线的距离为.------------------------------------------------------------------------------8分 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ，------------------------------------------------------------------------------10分 依题意，所以 ，整理得，即，由于直线，，所以，函数的开口向上，判别式为，故①成立.所以直线的方程为，即，------------------------------------------------------------------------------13分 所以到的距离，， 当时，；当时，当且仅当时等号成立. 所以.综上所述，点到直线的距离的最大值为.--------------------17分    19．（17分）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 【解析】（1）由题意得，直线的方程为，即， 当时，，故，由解得或（舍去），椭圆的方程.------------------------------------------------------------------------------3分 （2）（i）设直线：，，，， 与联立，所以，，------------------------------------------------------------------------------5分 由可得 ；化简可得①--------------------7分 设的方程为，即，与联立，令，结合，解得，所以切线方程为，即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程，同理可得方程为：，由在直线，上，则，即，在直线上， 所以直线方程为：，即②，由①②可得，时也满足此方程，所以的轨迹方程为.-------------------------------------------------------------14分 （ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上，过分别向直线作垂线，垂足分别为，， 由抛物线定义可得：， 当且仅当，，共线时取等，所以周长的最小值为.--------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 5．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 10．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    13．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 . 14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的平分线所在的直线的方程为． (1)求AB的中垂线方程； (2)求AC的直线方程． 16．（15分）已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 17．（15分）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. (1)证明：平面BOP； (2)若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 18．（17分）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 19．（17分）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 5．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 10．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    13．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 . 14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的平分线所在的直线的方程为． (1)求AB的中垂线方程； (2)求AC的直线方程． 16．（15分）已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 17．（15分）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. (1)证明：平面BOP； (2)若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 18．（17分）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 19．（17分）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A B C A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．或． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）的中点坐标为，又，-----------------------------2分 故AB的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分 故AB的中垂线方程为，即；----------------------------------------------------6分 （2）由对称性可知，关于的对称点在直线上，故，-----9分 解得，故，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分 故直线的方程为，即.---------------------------------------------------------13分 16．（15分） 【解析】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2，--------------2分 直线与圆相交于、两点，且，则，----------4分 解得或；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，-------------------------------------------------------8分 切线的斜率存在时，可设切线为，即，---------------------------------------9分 由切线的定义可知，，解得，---------------------------------------------------------13分 故切线方程为，综上所述，切线方程为或．-------------------------15分 17．（15分） 【解析】（1）平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设，故，，-----------------------------------------------------------2分 ，. .-------------------------------5分 故，平面，平面.---------7分 （2）圆锥PO的侧面积，， 由（1）可知，为平面的法向量，---------------------------------------------------------8分 设平面的法向量为，而，， 故，令得，-----------------------------------------------12分 则， 所以二面角的余弦值为.----------------------------------------------------------------------------15分 18．（17分） 【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以双曲线的，又因为， 所以，所以双曲线的方程为.---------------------------------------5分 （2）当直线的斜率不存在时，设，则，， 依题意，，即，由解得或（舍去），所以，此时到直线的距离为.------------------------------------------------------------------------------8分 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ，------------------------------------------------------------------------------10分 依题意，所以 ，整理得，即，由于直线，，所以，函数的开口向上，判别式为，故①成立.所以直线的方程为，即，------------------------------------------------------------------------------13分 所以到的距离，， 当时，；当时，当且仅当时等号成立. 所以.综上所述，点到直线的距离的最大值为.--------------------17分    19．（17分） 【解析】（1）由题意得，直线的方程为，即， 当时，，故，由解得或（舍去），椭圆的方程.------------------------------------------------------------------------------3分 （2）（i）设直线：，，，， 与联立，所以，，------------------------------------------------------------------------------5分 由可得 ；化简可得①--------------------7分 设的方程为，即，与联立，令，结合，解得，所以切线方程为，即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程，同理可得方程为：，由在直线，上，则，即，在直线上， 所以直线方程为：，即②，由①②可得，时也满足此方程，所以的轨迹方程为.-------------------------------------------------------------14分 （ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上，过分别向直线作垂线，垂足分别为，， 由抛物线定义可得：， 当且仅当，，共线时取等，所以周长的最小值为.--------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！