第五章 函数的概念、性质及应用（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第五章 函数的概念、性质及应用（压轴题专练） 题型一：复合函数的值域问题 1．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数的定义域为，值域为，其中． （1）若关于原点对称，求实数的取值范围； （2）试判断1是否在集合内，并说明理由； （3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，，当，（由分式分母不为零，得且）；（3）存在，或．. 【分析】（1）由题意函数的定义域满足，分和进行讨论得出答案. （2）由，即可得到或，然后再分别验证即可得到答案. （3）先考虑对任意的恒成立，在恒成立，求出参数的范围，然后再此范围内考虑对任意的恒成立， 【详解】（1）由题意函数的定义域满足， ①，即时，，符合， ②，设方程的两实根为，要满足题意，必有， 综上，； （2）若，则，从而，解得或， ①当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴， ②当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴， 综上，当时，，当，（由分式分母不为零，得且）； （3）先考虑对任意的恒成立． 记，对应的判别式分别为，则， ①且恒成立，则，即，得， ②，必须有，且方程与方程两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即，解得，满足判别式的条件. ③, 即，解得或 当时，，， 值域为，不符； 当时，，，当时，，不满足条件. 要满足对任意的恒成立，必有或； 再在或的情况下，考虑对任意的恒成立． （1）时，，由，可得， 要满足题意，，得，∴； （2）时，，符合； 综上，或． 【点睛】本题考查分式函数的定义域问题，根据定义域求参数范围，根据函数值域求参数的范围，属于难题. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 【答案】(1)函数是关联，函数不是关联，理由见解析 (2)或 (3)必要不充分条件，证明见解析 【分析】（1）根据给定的定义为时，求的取值区间即可判断作答. （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答. （3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答. 【详解】（1）函数是关联，证明如下： 任取R，若，则， 所以函数是关联； 函数不是关联，证明如下：： 若，则， 所以函数不是关联； （2）因是关联，则，有，即， 当时，，而， 即，解得或，所以不等式的解集为或， 当时，， 所以当时，， 而，得，解得，所以不等式的解集为， 当时，或当时，，此时不等式无解； 综上得或， 所以不等式的解集为或，. （3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下， 易得函数是关联，但时，所以函数不是关联； 所以充分性不成立； 当函数是关联时，即，， 则有，，即有， 又，则有，于是得， 从而得，即函数是{2}关联； 所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 3．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，若存在非零实数､，使得对定义域内任意的，均有成立，则称该函数为阶梯周期函数. （1）判断函数是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中表示不超过的最大整数，例如：，) （2）已知函数，的图像既关于点对称，又关于点对称. ①求证：函数为阶梯周期函数； ②当时，(､为实数)，求函数的值域. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②，. 【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断. （2）①根据函数的图像既关于点对称，又关于点对称，得到求解.②根据①的结论，分和两种情况讨论求解. 【详解】（1）因为, 所以存在,使得函数为阶梯周期函数 （2）①因为函数的图像既关于点对称，又关于点对称， 所以 ， 两式相减得：， 即 所以函数为阶梯周期函数； ②当时，， 由，得 ， 当时，， 由，得 ， 综上：函数的值域是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及若关于点对称，则结合应用. 题型二：根据奇偶性+单调性解不等式 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且． (1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)，在上的单调递增，证明见详解 (2) 【分析】（1）先由求出实数，再用定义法判断和证明函数的单调性； （2）利用函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式，求出取值范围. 【详解】（1）由题知，则，所以. 在上的单调递增. 证明：对，且， 则 ， 因为， 所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）知， 定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 由， 得， 即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以， 所以. 2．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)解关于的不等式（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上是减函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义法证明，即可求解； （2）由函数的定义法证明单调性，从而姐姐； （3）根据（1）（2）结论并利用函数的单调性并结合分类讨论从而可求解. 【详解】（1）奇函数，证明如下， 证明：由题意知，令，则，得， 再令，得，所以， 所以为奇函数， 故即证为奇函数. （2）在上是减函数，证明如下， 证明：任取，则，由题意知， 则， 所以，所以在上是减函数. （3）不等式，即为， 即，即有， 由（2）知在上是减函数，则，即， 即有. 当时，得解集为； 当时，即， 时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，即有， 时，，此时解集为， 当时，，此时解集为. 3．（23-24高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，其图像是一段连续曲线，在上是严格减函数，对任意的、，恒有，且，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明：方程在区间上有解； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值法求出，得到，可判断函数的奇偶性； （2）讨论函数在区间上的取值范围，证明方程在区间上有解； （3）利用函数奇偶性和单调性，结合特殊点的函数值，解不等式. 【详解】（1）函数为偶函数，证明如下： 对任意的、，恒有，且，， 当时，，解得， 当时，，则有， 又函数的定义域为，所以函数为偶函数. （2）当时，，解得， 当时，，解得， 函数为偶函数，，又， 函数的图像是一段连续曲线，， 所以存在，使，即方程在区间上有解； （3）当时，，有， 在上是严格减函数，，得， 当时，，， 函数为偶函数，，， 在上是严格增函数，在上是严格减函数 当时，不等式即， 解得或，即不等式解集为. 4．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称.已知函数 (1)若，求的值; (2)证明：函数的图像关于对称; (3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）代入数据直接计算即可. （2）计算得到证明. （3）根据单调性和对称性得到恒成立，考虑和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），，解得； （2） ， ， 故， 即函数的图像关于对称； （3）函数的图像关于对称， 函数在上是严格减函数，在上是严格增函数， 不等式恒成立， 等价于，整理得到， 当时，不等式成立； 当时，，，当时等号成立， 故，即； 综上所述：的取值范围为 题型三：函数奇偶性对称性应用 1．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用对称性可知为奇函数，的解集关于原点对称可求得a的值，再结合奇函数性质可求得b的值. 【详解】因为的对称中心为，所以为奇函数， 设，则， 由的解集关于原点对称，得， 此时，（） 任取，， 所以， 即：，解得， 所以图象对称中心的坐标为. 故选：B. 2．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，得出在上的单调性，结合函数的单调性、奇偶性可得，运算求解即可得答案. 【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间为增函数， ∴在区间为减函数， 又∵，则， ∴， 即不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和 . 【答案】6 【分析】用赋值法确定为奇函数，然后构造一个奇函数求的最大值和最小值，从而可得结论． 【详解】在中，令得，即， 令得，即，所以是奇函数， 令，则，是奇函数，所以在对称区间上， 当时，，， 所以． 故答案为：6． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，解题关键是构造奇函数．所用结论是：是（或，）上的奇函数，则． 题型四：函数不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式化为，结合分段函数的图象与性质数形结合计算即可. 【详解】 原不等式可化为，令， 则， 作出图象如图所示，易知的零点为， 要满足题意需的图象始终位于图象的上方（部分可重合）， 则需或， 所以当且仅当时取得最小值，显然没有上限. 故答案为：. 【点睛】难点点睛：首先是将不等式恒成立问题分离转化为两个分段函数与的图象所处位置问题.作出函数草图数形结合并分类讨论，关键点是对应了图象折线段的倾斜程度，同时对应了的零点位置，所以根据折线段的倾斜程度将分成和两种情况，同时注意范围及端点处即可. 2．（2024·上海长宁·一模）设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或的解集为，可得，运算求解即可. 【详解】因为，则在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 又因为，解得，所以的最大值为. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法指导： 方法1：分离参数法求最值. (1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔. 方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 3．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知存在，使得对任意的恒成立，则的取值范围 . 【答案】 【分析】依题意可得，则问题转化为存在使得在恒成立，然后求出的最小值和的最大值，即可得到不等式，求出参数的取值范围． 【详解】解：问题等价于：当时，恒成立，显然， 当，也即恒成立， 令在上单调递增，， 令，则在上单调递减，上单调递增， ①当时在上单调递减， ．， 即，解得，所以． ②当时，， ，， 即，解得，所以． ③当时在上单调递增， ．， 即，解得，所以． 综上可得当时，存在实数，使得不等式对于任意的都成立 故答案为：． 4．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知定义域为的函数为奇函数. (1)求函数解析式 (2)证明函数单调性 (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)是上的增函数 (3) 【分析】（1）由奇函数的性质即求得，反过来记得按奇函数的定义检验一下即可求解. （2）按照单调性的定义、指数函数单调性即可求解. （3）首先由函数的单调性、奇偶性将不等式转化为，通过换元、基本不等式、分离参数即可求解. 【详解】（1）由题意函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得， 当时，，，且函数的定义域为， 即此时是上的奇函数，满足题意. （2）由（2）可知，不妨设， 则， 因为，所以， 从而，即， 所以是上的增函数. （3）由（1）可知是上的奇函数， 所以， 由（2）可知是上的增函数， 所以由题意，令， 所以， 而在上单调递增， 所以在上单调递减， 从而， 故，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第一问求解析式之间根据奇函数性质求得，但一定要注意检验，第二问比较常规，第三问的关键是首先根据单调性、奇函数性质“去括号”，然后分离参数、基本不等式、换元运算即可得解. 5．（23-24高一上·上海金山·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）5；（3）. 【分析】（1）根据新函数的定义判断； （2）利用函数上是单调函数，新定义说明，结合可求得； （3）由单调性及新定义求得值，然后有不等式都成立，求出的最大值，得关于的不等式恒成立，由判别式可得范围． 【详解】解：对于函数的定义域R内任意的，取，则， 且由是R上的严格增函数，可知的取值唯一， 故是“依赖函数” 因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得， 又，所以，解得   故 因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 由，得，即实数s的取值范围是. 【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是在于理解新定义，利用新定义进行转化，结合函数的单调性易得关系式．不等式能恒成立问题求解时的转化要注意求函数的最大值还是最小值，如在上恒成立，则，而存在使得成立，则． 题型五：函数不等式能成立问题 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原问题可转化为对于任意，存在使得，即有，解出即可得. 【详解】由题意可得，对于任意，存在使得， 即，则，即. 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可. 【详解】函数在的值域为， 函数在的值域为， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以，所以，解得. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据求出，进而得到，即，由函数单调性得到，由题干条件得到，列出不等式组，求出答案. 【详解】，故， 故，解得：， 即， 因为，所以， 要想保证对于任意的，都存在，使得成立， 需要满足， 所以，解得：， 故. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海宝山·期中）设. (1)求不等式的解集； (2)若函数在上最小值为，求实数的值； (3)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，然后分，和三种情况求解即可； （2）分，和三种情况讨论函数的单调性，求解函数的最小值，从而列方程可求出实数的值； （3）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以由，得 ， 化简得， 当时，不等式无解， 当时，由，得，，解得或， 当时，由，得，，解得， 综上，不等式的解集； （2）当时，在上单调递增，函数无最小值，不合题意， 当时，，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，函数无最小值，不合题意， 当时，（）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为函数在上最小值为， 所以， 所以，解得或， 因为，所以， 所以； （3）因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 由（2）可知当时，在上单调递增， 所以时，， 因为， 所以， ①当，即时，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， ②当，无解， ③当，即时，， 由，得， 所以， 所以， 所以， ④当，即时，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 综上，， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与不等式的综合应用，考查函数最值的求法，考查不等式能成立问题，解题的关键是根据题意正确分类求解，考查数学分类思想和计算能力，属于较难题. 5．（23-24高二下·上海杨浦·期末）记（），（）. (1)若的解集为，求和的值； (2)若方程和都没有实数根，求证：方程和至少有一个没有实数根； (3)若，对任意的，都存在使得关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据二次方程解的情况直接可得参数值； （2）分别设两函数值域，可得函数在上以及在上均无实数根，分别讨论与，即可得证； （3）分情况讨论函数的最大值情况，将不等式转化为. 【详解】（1），即，解集为， 即，解得； （2）设函数的值域为，的最小为， 由方程和都没有实数根， 故函数在上以及在上均无零点， 若，则，从而在上也无零点， 即无实数根， 同理，若，则无实数根， 即方程和至少有一个没有实数根； （3）由，得，， 所以， 所以不等式有解即为， 又对任意的，都存在使得关于的不等式有解， 则， 因为， 又，所以， 题型六：抽象函数问题 1．（2024·上海·模拟预测）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据题意令得或；令可得，代入即可求解. 【详解】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或； 令，为任意实数，有，即； 因为，所以， 当时，；当时，； 所以的值不可能是， 故选：A. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①：通过，即可直接求得结果；对②：令，求得，再令，即可求得，即可判断；对③：对原式通过赋值法，结合已知数据，以及周期性的定义，即可求得结果；对④：根据③中所求，结合的取值，以及函数周期性，即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 对①：，故①正确； 对②：对，令，则，则； 再令，则，整理得， 又，故为偶函数，故②错误； 对③：对，令，则； 故，，则， ，也即，故的周期为，故③正确； 对④：由③可知：，又， 故，解得；同理，解得； ，解得，，解得，，解得； 即； 则，故④正确； 故说法正确的个数有个. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见详解； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【详解】（1）不是相关函数， 易知①， 而②，显然①②两式不相等， 即不是的相关函数， （2）令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以， 所以，所以是奇函数； （3）令，则， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若，， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若存在满足要求，令，则，即， 故， 而，所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 题型七：根据函数零点（方程根）个数求参数 1．（22-23高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中，其中，若函数的图象与直线有4个交点，则实数b满足的条件是 ． 【答案】，且， 【分析】判断函数的奇偶性，从而可作出函数的大致图象，结合函数的图象与直线的交点情况，列出相应不等式，即可求得答案.， 【详解】对于函数，当时，，则； 当时，，则； 当时，， 即满足，为奇函数； 由于，故在R上单调递减， 则当时，为增函数，则， 若，则，则对于，定义域为R，且为偶函数， 此时其图象大致为：    此时，函数的图象与直线有2个交点，不符合题意； 故，此时的图象如图示：    要使得函数的图象与直线有4个交点， 需满足，解得，且， 故实数b满足的条件是，且， 故答案为：，且 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要明确函数的图象情况，数形结合，得到相应不等式，求解答案. 2．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可. 【详解】当时，方程可化为，即， 则或（舍）； 当时，方程可化为； 要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根， 则且，解得且， 所以实数a的取值范围为 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得的值； （2）将不等式，转化为在上恒成立，利用函数取值即可求得实数k的取值范围； （3）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围． 【详解】（1）函数， 因为，对称轴为，所以在区间上是增函数， 所以，即，解得. 故. （2）由（1）得， 则不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 又时，，则， 所以，则. 故实数k的取值范围. （3）方程，代入， 得，， 化简整理得， 令，则， 则方程有两个不相等的实数根等价于关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根， 所以，即或， 解得或. 所以的取值范围是． 4．（2021·上海杨浦·模拟预测）已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用二次函数的最值，求出的值； （2）利用二次函数的最值研究两个函数的最值，先求出的最值取得时的值，再求出最值取得时的值，令两者相等，即可求出； （3）由条件，利用区间转换法求出在定义域上的解析式，再与联立，利用根的分布知识，即可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，，则在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 且当时，， 因为有最大值4，所以， 所以. （2）若，在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 即， 此时，时，有最大值， 又因为取最小值时，， 依题意有， 可得，且 因为，且，为整数， 所以， 因为，所以或， 所以满足条件的所有整数对是：和. （3）当整数对是：或时，， 因为， 所以， 所以是以4为周期的周期函数， 又因为，， 所以， 因为，所以， 所以对任意的，， 所以对任意的，都有， 即对任意的，都有， 对于任意的都存在，使得， 则， 则，， 所以，即， 所以是奇函数， 函数的零点的个数可转化为的图像与的图像交点的个数， 因为这两个函数都是奇函数，所以它们在轴右侧交点的个数为2， 当，，则，， 所以， 当，，则，， 所以， 显然，不符合题意， 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个公共点， 则有两组解， 即有两解， 利用根的分布知识，可得， 且无解， 即无解， 利用根的分布知识，可得， 所以此时可得； 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个交点， 所以有一组解， 即有一解， 利用根的分布知识，可得， 且有一组解， 即有一组解， 利用根的分布知识，可得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是把零点个数转化为两个函数图象的公共点个数，结合方程根的区间分布来求解. 题型八：函数零点代数和问题 1．（23-24高一上·上海·期末）对于实数和，定义运算“*”：，设，若函数（）恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的解析式，将函数的零点个数问题，转化为函数与函数图象的交点个数问题，结合图象，即可确定的取值范围. 【详解】当，即时，， 当，即时，， 所以， 因为有三个非零的零点， 所以与的图象有三个交点且交点横坐标不为零； 即与函数有三个交点， 作出的图象，如图，其中时，函数最大值为， 所以， 不妨设，易知,且，所以， 由，解得， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，注意数形结合. 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示， 令，由图可知：， 且，解得， 则， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 3．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数的表达式为且 (1)求函数的解析式； (2)若方程 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围； (3)已知若方程的解分别为，， 方程的解分别为，，求的最大值. 【答案】(1) (2); (3). 【分析】（1）将点代入解析式中求出的值，即可求得函数解析式 （2）结合已知条件得到方程，然后令，将方程转化为一元二次方程并求根，然后根据自变量的取值范围即可求出参数的取值范围； （3）首先通过求解含绝对值的方程，得到，同理解方程，得到，然后根据指数运算可得，最后根据的取值范围即可求解的最大值. 【详解】（1）由可得，又，，； （2）由和方程 可得：，令， 可得，则有， 且方程有两个不同的实数解， ，解得：. （3）由，得或， 所以，，， 由，得，， ，， 又因为，所以； ，， 即的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数的概念、性质及应用（压轴题专练） 题型一：复合函数的值域问题 1．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数的定义域为，值域为，其中． （1）若关于原点对称，求实数的取值范围； （2）试判断1是否在集合内，并说明理由； （3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 3．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，若存在非零实数､，使得对定义域内任意的，均有成立，则称该函数为阶梯周期函数. （1）判断函数是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中表示不超过的最大整数，例如：，) （2）已知函数，的图像既关于点对称，又关于点对称. ①求证：函数为阶梯周期函数； ②当时，(､为实数)，求函数的值域. 题型二：根据奇偶性+单调性解不等式 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且． (1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 2．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)解关于的不等式（）. 3．（23-24高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，其图像是一段连续曲线，在上是严格减函数，对任意的、，恒有，且，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明：方程在区间上有解； (3)当时，解关于的不等式. 4．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称.已知函数 (1)若，求的值; (2)证明：函数的图像关于对称; (3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求m的取值范围. 题型三：函数奇偶性对称性应用 1．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和 . 题型四：函数不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 2．（2024·上海长宁·一模）设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为 . 3．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知存在，使得对任意的恒成立，则的取值范围 . 4．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知定义域为的函数为奇函数. (1)求函数解析式 (2)证明函数单调性 (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·上海金山·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围. 题型五：函数不等式能成立问题 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是 ． 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·上海宝山·期中）设. (1)求不等式的解集； (2)若函数在上最小值为，求实数的值； (3)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值. 5．（23-24高二下·上海杨浦·期末）记（），（）. (1)若的解集为，求和的值； (2)若方程和都没有实数根，求证：方程和至少有一个没有实数根； (3)若，对任意的，都存在使得关于的不等式有解，求实数的取值范围. 题型六：抽象函数问题 1．（2024·上海·模拟预测）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 题型七：根据函数零点（方程根）个数求参数 1．（22-23高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中，其中，若函数的图象与直线有4个交点，则实数b满足的条件是 ． 2．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 4．（2021·上海杨浦·模拟预测）已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 题型八：函数零点代数和问题 1．（23-24高一上·上海·期末）对于实数和，定义运算“*”：，设，若函数（）恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数的表达式为且 (1)求函数的解析式； (2)若方程 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围； (3)已知若方程的解分别为，， 方程的解分别为，，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$