第五章 函数的概念、性质及应用（单元复习 17类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第五章 函数的概念、性质及应用 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、函数的单调性 （1）增函数与减函数 ①增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). ②减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). （2）函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、函数的最大（小）值 （1）最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； （2）最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 4函数的奇偶性 （1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 5、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 6、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 03 题型归纳 题型一 求函数的定义域　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 例题2．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数定义域 （1）已知函数的定义域为，求的定义域. （2）已知函数的定义域为，求的定义域 （3）已知函数的定义域为，求的定义域. （4）设函数的定义域为，则的定义域. （5）若的定义域为，求的定义域 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 题型二 已知函数的定义域求参数　 例题1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）关于函数的定义域为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数在上有意义，则实数m的范围是 ． 巩固训练 1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 . 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若函数的定义域是，则实数的取值范围是 . 题型三 求函数的值域　 例题1．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）函数的值域为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6）. 题型四 根据值域求参数　 例题1．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数的值域为，则的值为 . 2．（2024高一·上海·专题练习）已知函数的最大值为4，最小值为—1，则= ，= 题型五 函数奇偶性判断　 例题1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列函数是奇函数： (1)； (2)． 题型六 根据函数奇偶性求解析式　 例题1．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时， . 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知奇函数的定义域是，且，当时，. (1)求证：是周期为2的函数； (2)求在区间上的解析式. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 2．（2024高一上·上海·专题练习）已知．若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式； 题型七 根据奇偶性求参数　 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数是偶函数，则实数 ． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知m、n是常数，而函数为奇函数.求m、n的值. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 题型八 求函数的单调区间　 例题1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 例题2．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海金山·期中）函数的单调减区间为 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ． 题型九 根据函数的单调性求参数 例题1．（24-25高三·上海·课堂例题）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）分别作出下列函数的大致图像，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数在上为严格减函数，求实数的取值范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 题型十 复合函数的单调性问题 例题1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 例题2．（2024·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 巩固训练 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数（且）满足：对任意，，当时，，则a的取值范围为 ． 题型十一 根据函数的单调性解不等式 例题1．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，在区间上是严格减函数，且.求实数a的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）奇函数是定义在上的增函数，解关于的不等式：． 题型十二 求函数的最值 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数，则它的最大值与最小值的和为 . 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果奇函数在区间上是严格增函数且最小值为5，那么在区间上最大值为 ． 题型十三 根据函数的最值求参数 例题1．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，函数，若函数的值域为，则的值为 . 巩固训练 1．（2023上海青浦·二模）已知函数最小值为，则 ． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 题型十四 根据零点求解析式中的参数 例题1．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 例题2．（23-24高一上·上海·课后作业）函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围． 巩固训练 1．（2023·北京朝阳·二模）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 ． 题型十五 根据零点所在区间求参数 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期末）方程的根，，则 . 例题2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于x的方程的解存在且在（﹣∞，﹣1]内，则实数a的取值范围是 ． 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）关于x的方程在（－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（    ） A．[－2，－1）∪（0，1] B．[－3，－2）∪[0，1] C．[－3，－2）∪（0，1] D．[－2，－1）∪[0，1] 2．（2024高一·上海·专题练习）若方程在内有实数解，则实数的取值范围是 . 题型十六 根据零点个数求参数 例题1．（23-24高一上·上海·期末）已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 . 例题2．（2023·上海嘉定·一模）关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）若函数只有一个零点，则实数的值是 ． 2．（2324高一·广东东莞·期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 题型十七 求函数零点（方程根）的个数 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的零点个数． (1)； (2)． 例题2．（23-24高一·上海·假期作业）设函数，则方程的不同实根的个数可以是 ． 巩固训练 1．（23-24高三下·上海·期中）已知，且，则函数的零点为 . 2．（2023高一·上海·专题练习）已知函数． 当时，函数的零点个数为 ； 如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为 ． 题型十八 求零点和 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是 . 例题2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数的概念、性质及应用 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、函数的单调性 （1）增函数与减函数 ①增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). ②减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). （2）函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、函数的最大（小）值 （1）最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； （2）最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 4函数的奇偶性 （1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 5、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 6、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 03 题型归纳 题型一 求函数的定义域　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 例题2．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数定义域 （1）已知函数的定义域为，求的定义域. （2）已知函数的定义域为，求的定义域 （3）已知函数的定义域为，求的定义域. （4）设函数的定义域为，则的定义域. （5）若的定义域为，求的定义域 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）. 【分析】根据函数的定义域与函数的定义域的关系，即可求得函数的定义域. 【详解】（1）由条件可知，得或， 所以函数的定义域是； （2）函数的定义域为，即，， 所以函数的定义域是； （3）函数的定义域为，即，即， 所以函数的定义域是， 令，即，解得：， 所以函数的定义域是； （4）由条件可知，解得：， 所以函数的定义域是. （5）由条件可知，解得：， 所以函数的定义域是. 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)且 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】（1）对于， 有，解得或. 的定义域为或； （2）对于， 有，解得且. 的定义域为且. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 题型二 已知函数的定义域求参数　 例题1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）关于函数的定义域为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件分情况讨论，再借助方程没有实数根即可计算作答. 【详解】因函数的定义域为R，则，有成立， 当时，成立，则， 当时，恒成立，即不成立，一元二次方程没有实数根， 于是得，解得， 综上得：， 所以实数的取值范围是：. 故选：D 例题2．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数在上有意义，则实数m的范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，使，列不等式即可求解. 【详解】要使函数有意义，则（）， 解得，所以函数的定义域为， 所以，所以，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次型不等式恒成立，分类讨论根据判别式即可求解. 【详解】由于函数的定义域为，则对,恒成立，当时，显然满足要求， 当时，则且， 综上得：， 故答案为： 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若函数的定义域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合已知条件可知，对恒成立，利用二次函数图像性质即可求解. 【详解】由题意可知，对恒成立， 又因为的图像开口向上， 所以的图像与轴最多只有一个交点， 从而，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三 求函数的值域　 例题1．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，并化简函数的解析式，利用反比例函数的值域可求得函数的值域. 【详解】由，可得且，函数的定义域为且， ， 所以且， 所以函数的值域为． 故答案为：． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用换元法转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质求出函数的值域. 【详解】解：令，，则，所以原函数即为，， 对称轴方程为，可知，即， 函数的值域为. 故选：C 2．（23-24高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据二次函数的值域求出被开方数的范围，即可求出函数的值域； （2）根据二次函数的单调性，即可求出值域； （3）分离常数，利用反比例函数的值域，即可求解； （4）分离常数，利用二次函数的值域以及不等式的性质，即可求出函数值域； （5）分类讨论去绝对值，转化为求一次函数的值域； （6）利用二次函数的值域，结合不等式的性质，即可求出结论. 【详解】（1）， ，函数值域为； （2），当时单调递减， 当时单调递增，， 所以函数的值域是； （3）， 所以函数的值域是； （4） ，所以函数值域是； （5），当时，， 当时，，当， 所以函数的值域是； （6）定义域为且， ， 或， 或， 所以函数的值域是. 【点睛】本题考查初等函数的值域，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数的值域，注意不等式性质以及分离常数在求解中的应用，属于中档题. 题型四 根据值域求参数　 例题1．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】设的值域为，的值域为， 由对任意，总存在，使得成立知：； 在上单调递减，，即； 当时，，即，满足； 当时，在上单调递增，， 即，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数的值域为，则的值为 . 【答案】 【分析】设，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值. 【详解】设，可得， 由题意可知，关于的方程在上有解， 若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、， 由韦达定理可得，解得. 综上所述，. 故答案为：. 2．（2024高一·上海·专题练习）已知函数的最大值为4，最小值为—1，则= ，= 【答案】 【分析】函数转化为方程，利用方程有实数根，得，有，由题意可知，求的值. 【详解】函数变形为，即，显然时，方程可以成立，当时，，即，由题意可知， 得，，解得：，. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查利用判别式法求函数的值域，利用，转化为关于的一元二次不等式，求的取值范围. 题型五 函数奇偶性判断　 例题1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着求得函数定义域为R，关于原点对称，再计算求证函数满足即可得解. （2）先判断函数奇偶性，接着求得函数定义域为，关于原点对称，再计算求证函数满足即可得解. 【详解】（1）奇函数，理由如下： 因为， 所以函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. （2）偶函数，理由如下： 由， 所以函数定义域为，关于原点对称， 且 ， 所以函数为偶函数. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 (4)非奇非偶函数，理由见解析 (5)奇函数，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为R，关于原点对称，再计算求得且即可. （4）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为，不关于原点对称即可得解. （5）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为，关于原点对称，再计算求解函数满足即可得解. 【详解】（1）奇函数，理由如下： 函数定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. （2）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 函数定义域为R，关于原点对称， 且，又， 所以且， 所以函数为非奇非偶函数. （4）非奇非偶函数，理由如下： 由，故函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （5）奇函数，理由如下： 由，故函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数. 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 (4)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为R，关于原点对称，再计算求出函数满足即可得解. （2）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为，关于原点对称，再计算求出函数满足即可得解. （3）先判断函数奇偶性，接着由函数定义域为，不关于原点对称即可得解. （4）先判断函数奇偶性，接着函数定义域关于原点对称，再根据题意得即可得解. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数是偶函数. （2）奇函数，理由如下： 由且， 所以函数定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列函数是奇函数： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）（2）根据题意结合奇函数的定义分析证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）令，解得， 可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 题型六 根据函数奇偶性求解析式　 例题1．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时， . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求对称区间的解析式即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，当时，. 则当时，，所以. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知奇函数的定义域是，且，当时，. (1)求证：是周期为2的函数； (2)求在区间上的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由是奇函数，且，可得，即可得是周期为2的函数； （2）由当时，，可得当时，，则当时，可得. 【详解】（1）因为是奇函数，且，所以 ， 所以是周期为2的函数. （2）∵当时，，， ∴当时，， ∴当时， 所以， 即在区间上的解析式为. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，则有，再根据是定义在上的偶函数即可得答案. 【详解】解：当时，， 所以， 又因为是定义在上的偶函数， 所以当时，. 故答案为： 2．（2024高一上·上海·专题练习）已知．若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式； 【答案】 【分析】由偶函数定义可得答案. 【详解】解：根据题意，当时，， 又由当时，， 则当时，. 题型七 根据奇偶性求参数　 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数是偶函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义得出恒等式即可求解. 【详解】由题意显然的定义域为全体实数，它关于原点对称， 恒成立， 即，即，解得. 故答案为：1. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知m、n是常数，而函数为奇函数.求m、n的值. 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解. 【详解】因为的定义域为， 若为奇函数， 则， 可得，则，解得. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据偶函数的定义及性质直接可得解. 【详解】由题设，函数的定义域关于原点对称， 即， 解得或， 故答案为：或. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 【答案】－1 【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即 ，解得， 可得， 因为函数定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. 故答案为：. 题型八 求函数的单调区间　 例题1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解. 【详解】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 例题2．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】， 【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间． 【详解】去绝对值，得函数 当 时，函数 的单调递减区间为 当 时，函数的单调递减区间为 综上，函数  的单调递减区间为， 故答案为：， 巩固训练 1．（23-24高一上·上海金山·期中）函数的单调减区间为 . 【答案】/ 【分析】求出在定义域内的递减区间即可. 【详解】由可解得或，即的定义域为， 因为在单调递减，在单调递增， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解． 【详解】∵， ∴的单调减区间是． 又在上是减函数， ∴，即． ∴所求实数的取值范围是， 故答案为：． 题型九 根据函数的单调性求参数 例题1．（24-25高三·上海·课堂例题）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，，得，构造函数，所以函数在上的增函数，对实数分类讨论即可； 【详解】因为对于任意，，， 所以，即， 构造函数，则， 所以函数在上的增函数， 当时，函数是上的增函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，要使得函数是上的增函数，只需要符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需要. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由，构造新函数是解题的关键. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）分别作出下列函数的大致图像，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间. 【详解】（1）令，解得：或， 令，解得：， ，图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. （2），图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数在上为严格减函数，求实数的取值范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出二次函数的对称轴，则根据二次函数的性质可得即可求解. （2）结合单调性的定义，转化为恒成立的问题，即可得解. 【详解】（1），开口向上，对称轴为． 由二次函数的性质可得，解得． （2）任取，且， 因为函数在区间上是严格增函数 所以恒成立， ∴，即， 整理得． ∵，∴，∴． ∵，∴，， ∴， ∴，即实数的取值范围是． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】对分类讨论，再结合一次、二次函数的性质列不等式组即可求解. 【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【详解】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数，所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即， 整理得． ∵，∴，∴．∵，，∴． 题型十 复合函数的单调性问题 例题1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 例题2．（2024·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致. 【详解】在上单调递增， 在单调递减， 则，即， 同时 需满足，即， 解得， 综上可知 故答案为： 【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数（且）满足：对任意，，当时，，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道且真数恒大于0，求得的取值范围． 【详解】解：令在对称轴左边递减， 当时， 对任意的，当时，，即   故应有 又因为在真数位置上所以须有 综上得 故答案为 【点睛】本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数． 题型十一 根据函数的单调性解不等式 例题1．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意在上严格单调递减，所以原题转换为了恒成立，当时，有，满足题意，得知，即当且仅当满足题意，由此即可得解. 【详解】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数， 所以在上严格单调递减， 所以， 由题意若对于任意的，恒有成立， 则恒成立， 当时，有，满足题意， 当时，恒成立， 此时， 解得，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，在区间上是严格减函数，且.求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由奇函数性质得函数在上是减函数，不等式利用已知式变形后由单调性求解． 【详解】在在区间上是严格减函数，所以上也是减函数，所以在上是减函数， 结合奇函数性质，不等式可化为， 所以， 因为的定义域为， 所以， 所以，解得：， 故a的取值范围为. 巩固训练 1．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 分析】（1）依题意求得即可得证. （2）由题意求得，故可将不等式转化成，再根据函数定义域和单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）奇函数是定义在上的增函数，解关于的不等式：． 【答案】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性，及定义域解不等式. 【详解】∵是奇函数， ∴． ∵， ∴． ∵是增函数， ∴，即， ∴，解得． 又的定义域是， ∴，解得或，即 综上，，故原不等式的解集是． 题型十二 求函数的最值 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数，则它的最大值与最小值的和为 . 【答案】0 【分析】先证明是奇函数，再结合奇函数的性质即可得解. 【详解】因为的定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，不妨设， 则， 所以的最大值与最小值的和为0. 故答案为：0. 例题2．（23-24高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值． 【答案】 【分析】先将函数去绝对值符号化为分段函数并求其单调性，进而可求得参数的不同取值对函数 单调性的影响，从而依据单调性即可求得函数最值. 【详解】令， 所以函数， 又因为是增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，如图： 所以当时，函数在上单调递增， 此时函数的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时函数的最小值为. 所以函数，的最小值为. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】运用函数单调性求最值即可. 【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为. 在内单调递减，在也是单调递减， 则在定义域内单调递减，则. 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果奇函数在区间上是严格增函数且最小值为5，那么在区间上最大值为 ． 【答案】 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，则奇函数在区间上最大值即为在区间上的最小值的相反数，即可得到所求答案． 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称， 所以奇函数在区间上是严格增函数，且最小值为5，即， ，，即， 因为在区间上是严格增函数，所以当时取得最大值， 所以在区间上最大值为. 故答案为：． 题型十三 根据函数的最值求参数 例题1．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在处取到最小值计算即可. 【详解】因为时，， 所以要使是的最小值，则， 又当时，， 当且仅当时取等号， 所以，又因为， 所以. 故答案为：C 例题2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，函数，若函数的值域为，则的值为 . 【答案】 【分析】考虑，，三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到和，分别计算，再验证得到答案. 【详解】当时，时，， ， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，故， 故， 当时，，此时满足值域. 当时，，此时，不满足，故. 当时，时，，当时，，不满足； 当时，时，，单调递增，， 当时，，不成立； 综上所述： 故答案为： 巩固训练 1．（2023上海青浦·二模）已知函数最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题首先可通过函数有最小值得出，然后通过基本不等式得出，最后通过函数最小值为求出，通过检验即可得出结果. 【详解】因为函数有最小值，所以， 因为， 所以， 因为函数最小值为， 所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意， 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，两种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值. 【详解】，对称轴为，开口向上， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减， 故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去； 综上：. 题型十四 根据零点求解析式中的参数 例题1．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，去绝对值整理函数解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案. 【详解】由函数， 当时，方程存在根，则解得，解得； 当时，方程存在根，则解得，解得； 综上所述，. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海·课后作业）函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】讨论三种情况，分别根据一次函数，二次函数的性质研究函数在区间上有且只有一个零点满足的条件即可求解. 【详解】当时，，函数有1个零点3，符合题意； 当时，因为 所以函数在区间上有且只有一个零点， 只需即可 即 ， 解得， 所以， 当时，函数在区间上有且只有一个零点， 只需满足， 即， 解得 综上可得或， 即实数k的取值范围为 【点睛】本题主要考查了函数零点，一次函数、二次函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题. 巩固训练 1．（2023·北京朝阳·二模）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中，作出指数函数，根据函数存在零点，利用数形结合法求解. 【详解】如图所示： 指数函数，没有零点， 有唯一的零点， 所以若函数存在零点， 须有零点，即， 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式可知为偶函数，则只能是，带入求解即可. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以为偶函数， 因为函数的零点有且只有一个，故，即，即. 故答案为： 题型十五 根据零点所在区间求参数 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期末）方程的根，，则 . 【答案】3 【解析】令，利用零点存在定理结合函数的单调性可求的值. 【详解】方程的根等价于的零点， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 又，，故. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：方程的根也是的零点，也是交点的横坐标，解题中注意三者之间的相互转化. 例题2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于x的方程的解存在且在（﹣∞，﹣1]内，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据方程有解，得到，再由方程的解在（﹣∞，﹣1]内，由，且求解. 【详解】方程可化为， 因为方程有解，所以， 因为方程的解在（﹣∞，﹣1]内， 所以，且， 即，且， 即，且， 解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）关于x的方程在（－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（    ） A．[－2，－1）∪（0，1] B．[－3，－2）∪[0，1] C．[－3，－2）∪（0，1] D．[－2，－1）∪[0，1] 【答案】C 【分析】根据方程在（－∞，1]上有解，则由的范围是函数的值域求解. 【详解】当x∈（－∞，1]时，， 因为关于x的方程在（－∞，1]上有解， 所以， 即， 解得或， 所以实数a的取值范围是[－3，－2）∪（0，1]， 故选：C 2．（2024高一·上海·专题练习）若方程在内有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，分析出函数为上的增函数，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由于函数、均为上的增函数， 所以，函数为上的增函数， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十六 根据零点个数求参数 例题1．（23-24高一上·上海·期末）已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得，函数的图象与直线有唯一一个交点，作出函数与的图象，数形结合可得答案. 【详解】关于的方程有唯一解， 则函数的图象与直线有唯一一个交点， 的图象，是由的图象保留轴上方的部分，把轴下方的部分翻折到轴上方得到. 作出函数与的图象，如图所示， 由图可知，当或，即或时，函数的图象与直线有唯一一个交点， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 例题2．（2023·上海嘉定·一模）关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】方程有三个不同的实数解等价于的图象恰好有三个公共点，结合图象可得m的值. 【详解】在同一坐标系中作出的图象， 方程有三个不同的实数解等价于与的图象恰好有三个公共点， 需要满足与的图象在相切， 当时，， 令即， 由得， 当时，方程有两个相等的解，满足题意， 当时，方程有两个相等的解，不满足题意， 故. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）若函数只有一个零点，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】分和讨论，当时，利用求解可得. 【详解】当时，由得，满足题意； 当时，因为只有一个零点， 所以，解得. 综上，实数的值为或. 故答案为：或 2．（2324高一·广东东莞·期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数与二次函数的零点情况，分类讨论的取值，即可求解. 【详解】由于在上只有一个零点4，函数在上的两个零点为1和3， 若,此时在上没有零点，函数在上的两个零点为1和3，满足题意， 当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1和3，不满足题意，舍去 当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1，满足题意， 当时，此时在上有零点4，函数在上没有零点，不满足题意，舍去， 综上：或， 故答案为： 题型十七 求函数零点（方程根）的个数 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的零点个数． (1)； (2)． 【答案】(1)两个零点 (2)只有一个零点 【分析】（1）由，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数； （2）方法一：由，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数；方法二：由，得，令，，在同一坐标系中画出和的图象，由图象交点的个数判断零点的个数. 【详解】（1）由，即得， ∴方程有两个不相等的实数根，分别为3、4， ∴函数有两个零点，分别是3、4． （2）（方法一）由，得，∴，∴且， ∴．故函数只有一个零点． （方法二）由，得．令，， 在同一坐标系中画出和的图象，由图可知两函数图象只有一个交点， 故函数只有一个零点． 例题2．（23-24高一·上海·假期作业）设函数，则方程的不同实根的个数可以是 ． 【答案】1，2，3，6 【分析】作出函数的图像，根据方程求出或，再对a分类讨论，结合函数图像判断根的个数，即可得解． 【详解】解：当时，，图像为抛物线的一部分， 抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和； 当时，，图像过，如图所示： 方程等价于， 所以或， 当时，，由的图像得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图像得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根； 当时，，由的图像得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图像得有1个实根，故原方程有1个实根； 当且时，且，由的图像得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根； 综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6． 故答案为：1，2，3，6． 巩固训练 1．（23-24高三下·上海·期中）已知，且，则函数的零点为 . 【答案】3 【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案. 【详解】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 2．（2023高一·上海·专题练习）已知函数． 当时，函数的零点个数为 ； 如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令求出的零点； 根据与，的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论． 【详解】时，当时，令可得或，符合题意， 当时，令得不符合题意， 当时，有个零点. 若，则在上无零点，在上至多有一零点，不符合题意； 若，则在上有个零点，在上无零点 ，不符合题意； 若，则在上有个零点，，在上无零点，符合题意； 所以． 故答案为：； 题型十八 求零点和 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是 . 【答案】(4，6) 【分析】作出f(x)图像，设a＜b＜c，a、b、c为y＝m与f(x)图像三个交点的横坐标，求出a、b、c的范围和它们之间的关系即可求解. 【详解】如图，设a＜b＜c，a、b、c为y＝m与f(x)图像三个交点的横坐标： 由图可知a＜0，0＜b＜1，1＜c＜2， 且，则，故. 故答案为：(4，6). 例题2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】3 【分析】求出函数的所有零点，再求和，即可得到答案； 【详解】或， 或， 由或， 由或， 为函数的零点， 函数的零点之和为3， 故答案为：3 巩固训练 1．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为 . 【答案】5 【分析】根据是奇函数,可知关于对称,根据解析式可知,关于对称,根据解析式及对称性在同一坐标系下画出两函数图象,判断交点个数及位置,即可得出方程根之和. 【详解】解:由题知是奇函数, 则有:, 关于对称,且, 当时,, , 恒过,且关于对称, 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和, 根据对称性及解析式画出图象如下: 由图像可知,有5个交点,其中一个交点横坐标为1, 另外四个,两两分别关于对称, 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故答案为:5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 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